2022年河南省漯河市名校九年级数学第一学期期末联考试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在△ABC中，∠A=90°，sinB=，点D在边AB上，若AD=AC，则tan∠BCD的值为()A． B． C． D．2．如图，在中，，，，是线段上的两个动点，且，过点，分别作，的垂线相交于点，垂足分别为，.有以下结论：①；②当点与点重合时，；③；④.其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道大题，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹小马能拉片瓦，匹大马能拉片瓦，求小马、大马各有多少匹，若设小马有匹，大马有匹，依题意，可列方程组为（）A． B．C． D．4．在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A． B． C． D．5．如图，在中，，，，则A． B． C． D．6．有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为A． B． C． D．7．在同一时刻，身高1.5米的小红在阳光下的影长2米，则影长为6米的大树的高是（）A．4.5米 B．8米 C．5米 D．5.5米8．如图，内接于⊙，是⊙的直径，，点是弧上一点，连接，则的度数是（）A．50° B．45° C．40° D．35°9．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（）A．0 B．﹣ C．2 D．﹣210．如图，⊙O是直角△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，点P是上任意一点（不与点E，D重合），则∠EPD＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°二、填空题(每小题3分,共24分)11．计算：=______．12．如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数的图象上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为____________．13．方程的根是___________．14．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“”的概率是________．15．如图，在中，，于点D，于点E，F、G分别是BC、DE的中点，若，则FG的长度为__________．16．反比例函数的图像的两支曲线分别位于第二、四象限内，则应满足的条件是_________．17．设分别为一元二次方程的两个实数根，则______．18．中，若，，，则的面积为________.三、解答题(共66分)19．（10分）（1）问题发现：如图1，在等腰直角三角形中，，将边绕点顺时针旋转90°得到线段，连接，则的面积为__________；（请用含的式子表示的面积；提示：过点作边上的高）（2）类比探究：如图2，在一般的中，，将边绕点顺时针旋转90°得到线段，连接．（1）中的结论是否成立，若成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，将边绕点顺时针旋转90°得到线段，连接．试直接用含的式子表示的面积．（不写探究过程）20．（6分）已知二次函数的图象经过点A(0,4)，B(2，m).(1)求二次函数图象的对称轴.(2)求m的值.21．（6分）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．22．（8分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过、两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量，位于的北偏东的方向上，的北偏东的方向上，且.(1)求景点与的距离.(2)求景点与的距离.(结果保留根号)23．（8分）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点，且对称轴为直线．（1）求该抛物线的解析式；（2）点是第四象限内抛物线上的一点，当的面积最大时，求点的坐标；（3）如图2，点是抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为．当时，直接写出点的坐标．24．（8分）校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？25．（10分）如图，已知是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的移动速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间的秒，解答下列问题．（1）时，求的面积；（2）若是直角三角形，求的值；（3）用表示的面积并判断能否成立，若能成立，求的值，若不能成立，说明理由．26．（10分）深圳国际马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组.（1）小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为.（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目标组进行志愿服务的概率.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】作DE⊥BC于E，在△CDE中根据已知条件可求得DE,CE的长，从而求得tan∠BCD.【详解】解：作DE⊥BC于E.∵∠A=90°，sinB=，设AC=3a=AD，则AB=4a,BC=5a,∴BD=AB-AD=a.∴DE=BD·sinB=a,∴根据勾股定理，得BE=a,∴CE=BC-BE=a,∴tan∠BCD=故选C.【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键．2、B【分析】利用勾股定理判定①正确；利用三角形中位线可判定②正确；③中利用相似三角形的性质；④中利用全等三角形以及勾股定理即可判定其错误.【详解】∵，，∴，故①正确；∵当点与点重合时，CF⊥AB，FG⊥AC，∴FG为△ABC的中位线∴GC=MH=，故②正确；ABE不是三角形，故不可能，故③错误；∵AC=BC，∠ACB=90°∴∠A=∠5=45°将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF∵∠2=45°∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°∴∠DCE=∠2在△ECF和△ECD中，CF=CD，∠DCE=∠2，CE=CE∴△ECF≌△ECD（SAS）∴EF=DE∵∠5=45°∴∠BDE=90°∴，即故④错误；故选：B.【点睛】此题主要考查等腰直角三角形、三角形中位线以及全等三角形的性质、勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.3、A【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①小马数+大马数=100；②小马拉瓦数+大马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．【详解】设小马有x匹，大马有y匹，由题意得：，故选：A．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．4、B【分析】根据反比例函数中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即可．【详解】解：A、图形面积为|k|=1；B、阴影是梯形，面积为6；C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（|k|）=1．故选B．【点睛】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．5、A【解析】先利用勾股定理求出斜边AB，再求出sinB即可．【详解】∵在中，，，，∴，∴.故答案为A.【点睛】本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题关键是熟记三角函数的定义.6、C【解析】正面的数字是偶数的情况数是2，总的情况数是5，用概率公式进行计算即可得.【详解】从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，正面的数字是偶数的概率为，故选C．【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7、A【解析】根据同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似即可得.【详解】如图，由题意可得：由相似三角形的性质得：，即解得：（米）故选：A.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，理解题意，将问题转化为利用相似三角形的性质求解是解题关键.8、A【分析】根据直径所对的圆周角是直角可知∠ABC=90°，计算出∠BAC的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠D的度数．【详解】解：∵是⊙的直径，∴∠ABC=90°，又∵，∴∠BAC=90°-40°=50°，又∵∠BAC与所对的弧相等，∴∠D=∠BAC=50°，故答案为A．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对圆周角相等等知识点，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角及同弧所对圆周角相等．9、C【分析】先求出点A1的坐标，再根据旋转的性质求出点A1的坐标，然后根据图象上点的纵坐标循环规律即可求出m的值.【详解】当y＝0时，x1﹣3x＝0，解得：x1＝0，x1＝3，∴点A1的坐标为（3，0）．由旋转的性质，可知：点A1的坐标为（6，0）．∵1010÷6＝336……4，∴当x＝4时，y＝m．由图象可知：当x＝1时的y值与当x＝4时的y值互为相反数，∴m＝﹣（1×1﹣3×1）＝1．故选：C．【点睛】此题考查的是探索规律题和求抛物线上点的坐标，找出图象上点的纵坐标循环规律是解决此题的关键.10、B【分析】连接OE，OD，由切线的性质易证四边形OECD是矩形，则可得到∠EOD的度数，由圆周角定理进而可求出∠EPD的度数．【详解】解：连接OE，OD，∵⊙O是直角△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，∴OE⊥BC，OD⊥AC，∴∠C＝∠OEC＝∠ODC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∴∠EOD＝90°，∴∠EPD＝∠EOD＝45°，故选：B．【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质等知识，得出∠EOD＝90°是解题关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时符号的变化．【详解】解：==故答案为：.【点睛】此题考查了平面向量的运算．此题难度不大，注意掌握运算法则是解此题的关键．12、（2，）．【详解】解：由题意可知：抛物线y＝ax2－2ax＋(a＜0)的对称轴是直线x＝1，与y轴的交点坐标是（2，），即点B的坐标是（2，）由菱形ABCD的三个顶点在二次函数y＝ax2－2ax＋(a＜0)的图象上，点A，B分别是抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，∴点B与点D关于直线x＝1对称，得到点D的坐标为（2，）．故答案为（2，）．13、，.【解析】试题分析：，∴，∴，.故答案为，.考点：解一元二次方程-因式分解法．14、【分析】让点数为6的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率．【详解】∵没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张，

∴随机抽取一张点数为6的扑克，其概率是

故答案为【点睛】本题考查的是随机事件概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．15、1【分析】连接EF、DF，根据直角三角形的性质得到EF=BC=20，得到FE=FD，根据等腰三角形的性质得到FG⊥DE，GE=GD=DE=12，根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接EF、DF，

∵BD⊥AC，F为BC的中点，

∴DF=BC=20，

同理，EF=BC=20，

∴FE=FD，又G为DE的中点，

∴FG⊥DE，GE=GD=DE=12，由勾股定理得，FG==1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．16、【分析】根据反比例函数图象所在的象限求得，然后得到的取值范围即可．【详解】∵反比例函数的图象位于第二、四象限内，

∴，

则．故答案是：．【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质，重点是比例系数k的符号．17、1【分析】先根据m是的一个实数根得出，利用一元二次方程根与系数的关系得出，然后对原式进行变形后整体代入即可得出答案．【详解】∵m是一元二次方程的一个实数根，∴，即．由一元二次方程根与系数的关系得出，∴．故答案为：1．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．18、【分析】过点A作BC边上的高交BC的延长线于点D，在中，利用三角函数求出AD长，再根据三角形面积公式求解即可.【详解】解：如图，作于点D，则，在中，所以的面积为故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角函数，灵活添加辅助线利用三角函数求出三角形的高是解题的关键.三、解答题(共66分)19、（1）；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】(1)如图1，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a进而由三角形的面积公式得出结论；

(2)如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有.DE=BC=a进而由三角形的面积公式得出结论；

(3)如图3，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．【详解】解：（1）如图1，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E，

∴∠BED=∠ACB=90°，

由旋转知，AB=BD，∠ABD=90°，

∴∠ABC+∠DBE=90°，

∵∠A+∠ABC=90°，

∴∠A=∠DBE，

在△ABC和△BDE中，

，

∴△ABC≌△BDE(AAS)

∴BC=DE=a．

∵S△BCD=BC⋅DE=

故答案为（2）（1）中结论仍然成立，理由：如图，过点作边上的高，在中，∵，由旋转可知：，∴，∴，又∵，∴，∴，（3）.如图3，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，

∴∠AFB=∠E=90°，BF=BC=a.

∴∠FAB+∠ABF=90°

∵∠ABD=90°，

∴∠ABF+∠DBE=90°，

∴∠FAB=∠EBD

∵线段BD是由线段AB旋转得到的，

∴AB=BD

在△AFB和△BED中，

，

∴△AFB≌△BED(AAS)，

∴BF=DE=a.

∵S△BCD=BC⋅DE=⋅a⋅a=．

∴△BCD的面积为．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，判断出△ABC≌△BDE是解本题的关键．20、（1）x=1；（2）m=4【分析】（1）由顶点式即可得出该二次函数图象的对称轴；（2）利用二次函数的对称性即可解决问题.【详解】解：（1）∵，∴该二次函数图象的对称轴为：直线x=1，（2）∵该二次函数图象的对称轴为：直线x=1，∴A(0,4)，B(2，m).是关于直线x=1成对称，故m=4.【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的性质，掌握顶点式的顶点坐标及对称性是解题的关键.21、（1）y＝x，；（2）存在，Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；（3）2+1【分析】（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），待定系数法可求它们解析式；

（2）由点Q在y＝x上，设出Q点坐标，表示△OBQ，由反比例函数图象性质，可知△OAP面积为1，则根据面积相等可构造方程，问题可解；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．【详解】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx，将点M（﹣2，﹣1）坐标代入得k＝，所以正比例函数解析式为y＝x，同样可得，反比例函数解析式为；（2）当点Q在直线OM上运动时，设点Q的坐标为Q（m，m），于是S△OBQ＝OB•BQ＝×m×m＝m2，而S△OAP＝|（﹣1）×（﹣2）|＝1，所以有，m2＝1，解得m＝±2，所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，），由勾股定理可得OQ2＝n2+＝（n﹣）2+1，所以当（n﹣）2＝0即n﹣＝0时，OQ2有最小值1，又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）＝2（+2）＝2+1．（或因为反比例函数是关于y＝x对称，所以当Q在反比例函数时候，OQ最短的时候，就是反比例与y＝x的交点时候，联立方程组即可得到点Q坐标）【点睛】此题考查一次函数反比例函数的图象和性质，解答关键是运用数形结合思想解决问题．22、(1)BC=10km；(2)AC=10km.【分析】（1）由题意可求得∠C=30°，进一步根据等角对等边即可求得结果；（2）分别在和中利用锐角三角函数的知识解直角三角形即可求得结果.【详解】解：(1)过点作直线，垂足为，如图所示.根据题意，得：，，∴∠C=∠CBD－∠CAD=30°，∴∠CAD=∠C，∴BC=AB=.(2)在中，，∴，在中，，∴.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于基本题型，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.23、（1）；（2）（3）或或或【分析】（1）由对称性可知抛物线与轴的另一个交点为，将点，坐标代入，联立方程组求解即可得到，即可得到抛物线的解析式.（2）作轴交直线于点，设直线BC：y=kx+b,代入B、C两点坐标求得直线为，设点为，则点为，，表示出S，化简整理可得，根据二次函数的性质得当时，的面积最大，此时点坐标为（3）根据A、B坐标易得AB=4，当PQ=3时满足条件，P点的纵坐标为±3，代入函数解析式求得P点的横坐标，即可得到P点的坐标.【详解】解：（1）由对称性可知抛物线与轴的另一个交点为把点，坐标代入，，解得抛物线的解