2022-2023学年陕西省西安某中学高一（上）期中数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年陕西省西安高级中学高一（上）期中数学试卷

1.设集合4={x[l<xW2},则CRA=()

A.{x|x<1或x>2}B.(x\x<1或x>2}

C.{x\x<1或x>2}D.[x\x<1或x>2]

2.下列函数是基函数的是()

A.y=_gB.y=x—1C.y=VxD.y=2x2

3.“x>7”是“x>8”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.对于变量“气压”的每一个值，变量“水的沸点”都有唯一确定的值与之对应.对于变量

“油面宽度”，至少存在一个值，使得变量“储油量”的值与之对应的值不唯一.根据这两

条信息，给出下列四个结论：

①水的沸点是气压的函数；

②水的沸点不是气压的函数；

③储油量是油面宽度的函数；

④储油量不是油面宽度的函数.

其中正确结论的序号为（）

A.①④B.①③C.②④D.②③

5.已知函数/(x)满足Vx,yeR,+y)=/(x)+/(y)+1,且/(I)=1,则f⑶=()

A.3B.4C.5D.6

6.若昼+a=1,则4%2+9y2的最小值为()

A.16B.20C.24D.25

7,若函数f(x)=在R上是增函数，则〃的取值范围是()

A.(2,102]B.(2,+oo)C.(2,102)D.[102,+oo)

8.已知函数/（%）=Q/+bx+c（a00）的图象如图所示，则关于x

的不等式8/+ex+a<0的解集为（）

A.B.(-oo,-2]U[l,+oo)

1

C.[-2,1]D.(-8,一目U[1,4-00)

9.已知命题“存在ae[-1,+8),使得/(x)=/_ax+a-2为偶函数”，则()

A.该命题是全称量词命题B.该命题是真命题

C.该命题是存在量词命题D.该命题是假命题

10.如图，在边长为2的正方形ABC。中，点E在线段AO上，

点F在线段A8上,且线段BF与线段QE的长度相等，设DE=x,

△4EF的面积为S(x),则()

A.函数S(x)的定义域为[0,2)

B.5(1)<1

C.函数S(x)的定义域为(0,2)

D.S(x)有最大值

11.已知集合4={x|-1〈xW7},8={x|a+2<x<2a-l},若使BU4成立的实数a的

取值集合为M,则M的一个真子集可以是()

A.(—00,4]B.(—oo,3]C.(3,4]D.[4,5)

12.下列命题是真命题的是()

A.若a>b>0,则：>寝

bb+1

B.若一或<%<0,则:n/2-出的最大值为一i

C.若a>0,b>0,则令一代之逐一白

D.若a2(£>2-1)=1,则@2+Z?2的最小值为3

13.命题p：VmeQ,|m|21的否定为.

14.若f(x)为奇函数,当x>1时,/(x)=3x-7,则〃-2)=.

15.若集合{x《<x<9}恰有8个整数元素，写出整数。的一个值：.

16.如图所示，定义域和值域均为R的函数f(x)的图象给人以

“一波三折”的曲线之美.

(1)若/(乃在(一2,。+2)上有最大值，则a的取值范围是

(2)方程/'(/(乃)=3的解的个数为.

17.已知集合集={1,4,6,7},B=[a,a+b].

(1)若Q=b=4,求AnB,AUB；

(2)若b=3,且4CB=B,求a的值.

18.已知函数/'(x-2)=x2-2x.

(1)求/'(x)的解析式；

(2)若/(尤)在［a-6,a-4］上单调递减,求a的取值范围.

19.己知f(x)是定义在［-3,3］上的偶函数.

(1)将所给的图补充完整;

(2)当一3<m<0时,讨论f(x)在［一3,6］上的值域.

20.小张同学在求解“若ab>0,求4+%谓+》的最小值”这道题时，他的解答过程如下:

(第一步)因为ab>0,所以小b同号，所以《，牛,胃，料为正数，

(第二步)所以&+^>2花田=4,-+^>2区？=2V2,

''ab\abab7ab

(第三步)所以4+卷)常+^)>8V2,故(，+券)谭+》的最小值为8口

请你指出他在解答过程中存在的问题，并作出相应的修改.

21.近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的

节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇.某仪器公

司的生产环境检测仪全年需要固定投入500万元,每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，

(3x2+14x,0<%<50

其中0<x4100,x€可且、=,8000?me，每台检测仪售价2万元，

220%4---——7500,50<x<100

'x-40

且每年生产的检测仪器都可以售完.

(1)求该公司生产的环境检测仪的年利润L(x)(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式；

(2)求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值.

22.已知函数/Xx)

(1)判断f(x)在(0,1］上的单调性，并用定义加以证明；

(2)设函数g(x)=//+1+需岑一a，若VXi€［0,l］,€弓,月，9(/)=f(%2)，求。的

取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={x|l<x<2},

则CR4={x|x>2或x<1}.

故选：D.

根据已知条件，结合补集的定义，即可求解.

本题主要考查补集的运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：根据形如丫=乂。（a为常数）的函数为募函数，

由选项可知，C符合.

故选：C.

利用幕函数的定义即可得出结论.

本题主要考查某函数的定义，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：丫{x|x>8}些{x\x>7）,

:.“x>7”是“x>8”的必要不充分条件.

故选：B.

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,

属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：根据函数定义，自变量每确定一个值，变量就有唯一确定的值与之对应，根据题意,

水的沸点与气压符合这个对应关系，而储油量与油面宽度的对应不唯一，不符合定义.

故①④正确，

故选：A.

结合函数的定义即可判断.

本题考查函数的定义，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：函数/(X)满足Vx,y&R,f(x+y)=/Q)+/(>)+1，且f(1)=1，

令x=y=1,则/(2)=/(I)+/(I)+1=3,

令久=1,y=2,贝疗(3)=/(l)+/(2)+1=1+3+1=5.

故选：C.

利用赋值法可先求出f(2),再令x=Ly=2,即可求出/(3)的值.

本题主要考查抽象函数及其应用，考查赋值法的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：由已知可得4/+9y2=(4/+9、2)6+电=4+9+竽+餐213+

2/岑考=13+12=25,

、yL

当且仅当等=等,即/=|,y2=|时取得最小值为25,

故选：D.

利用“1”的代换以及基本不等式化简即可求解.

本题考查了基本不等式的应用，涉及到“1”的代换，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：因为函数在R上是增函数，

所以忆父；+99,

解得2<aS102.

故选：A.

由已知结合分段函数的单调性即可求解.

本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：由图可知，函数/(x)的图象与x轴相切，对称轴为直线x=l,

函数的图象开口向下，

所以，a<0,且f(x)=a/+bx+c=a(x—1产=a/-2ax+a,则b=-2a,c=a,

所以，不等式b/+ex+aW0即为—2a/+ax+aW0,BP2x2—x—1<0,解得一

故不等式b/+ex+a<0的解集为[一^,1].

故选：A.

分析可知a<0,/(x)=a(x-l)2,可得出b=-2a,c=a,再利用二次不等式的解法解不等式

bx2+ex+a<0,即可得解.

本题考查二次函数的图象与性质的应用，二次不等式的解法，是基础题.

9.【答案】BC

【解析】解：“存在a+8),使得/(%)=/一。%+。一2为偶函数”为存在量词命题，c正

确，

当a=0时,f［x}=x2-2为真命题.

故选：BC.

由己知结合量词的定义及偶函数定义即可判断.

本题主要考查了含有量词的命题的真假判断，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解:依题意DE=BF=X,四边形A3C£>是正方形，于是4E=AF=2—%,故S(x)=«之"),

点E在线段4。上，故04%42,定义域是［0,2］,故AC错误；

5(1)=1<1,故8正确；

S。)=生券是开口向上，对称轴为x=2的二次函数，故在［0,2］上单调递减，故x=0时，S(x)有

最大值S(0)=2,故。正确.

故选：BD.

根据题意用x表示出S(x),然后分析该函数的性质即可.

本题考查函数的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.

11.【答案】BC

【解析】解：当8=。时，a+2>2a-l,解得a<3,

当BH0时，-1Wa+2W2a-1W7,解得3<a<4,

故实数。的取值范围为(一8,旬,即M=(-8,旬，

所以”的一个真子集可以是(一8,3］或(3,4］.

故选：BC.

根据已知条件，分集合8是否为空集讨论，求出a的取值范围，再结合真子集的定义，即可求解.

本题主要考查真子集的定义，以及集合的包含关系，属于基础题.

12.【答案】ACD

【解析】解：A：当a>b>0时，称一得=迪转等9=品>0，故A正确，

B：因为-&<x<0,则-=—Jx2(2—/)2-X+=一1,当且仅当*2=2—

即工=-1时取得最小值为-1,故B错误，

C：因”0,8>0,则*_乃_(窈_9)=*_四_曰+9=嗟一若=(。—)4一盍)

2

(Va-V5)(Va+V5)n

海-u，

故C正确；

D：a2(62-1)=1,

匕2=+1,

■■.a2+b2=a2+-^+1>2Ja2x~2+1=3,当且仅当a?=今即a=±1时取等号，故D正确.

故选：ACD.

对选项进行逐个分析，即可解出.

本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题.

13.【答案】3mGQ,|7n|<1

【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为mnieQ,

故答案为：3mG(?,|m|<1.

根据含有量词的命题的否定即可得到结论.

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.

14.【答案】1

【解析】解：若/Q)为奇函数，当x21时，/(x)=3x-7,

则/'(-2)=-/(2)=-(6-7)=1,

故答案为：1.

由奇函数的定义和已知区间上的解析式，计算可得所求值.

本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于基础题.

15.【答案】1(答案不唯一)

【解析】解：当a=l时，集合｛*<x<9｝的整数元素为1,2,3,4,5,6,7,8.

故答案为：1(答案不唯一).

根据已知条件，结合元素与集合关系，即可求解.

本题主要考查元素与集合关系的判断，属于基础题.

16.【答案】(-3,3]4

【解析】解：(1)由图象可知函数在(一8,-1)上单调递增，在(-1,3)上单调递减，在(3,+8)上单

调递增，且/(一1)=f(5)=3,

若在(—2,a+2)上有最大值，

则有{彳m，，

1—1<a+2<5

所以—3<a43,

故a的取值范围是(—3,3]；

(2)令/'(x)=t,/(t)=3nt=—1,或t=5,

若“切=-1,根据函数的图象可知，方程有三个不相等实根；

若f(x)=5,根据函数的图象可知，方程有一个实根，

所以方程/(/(%))=3的解的个数为4,

故答案为：(—3,3];4.

(1)利用数形结合思想，结合最大值的定义进行求解即可；

(2)利用换元法，结合数形结合法进行求解即可.

本题主要考查了函数的定义域及值域的求解，还考查了方程的根与函数图象的交点之间关系的转

化，体现了数形结合思想的应用，属于中档题.

17.【答案】解：(l)a=6=4.

则B={4,8},

A={146,7},

则力CB={4},AUB={1,4,6,7,8}.

(2)AC\B=B,

•••BQA,

当a=l时，集合8={1,4},符合题意，

当a=4时，集合B={4,7},符合题意，

当a=6时，集合B={6,9},不符合题意，

当a=7时，集合B={7,10},不符合题意，

综上所述，a的值为1或4.

【解析】(1)先求出集合8,再结合交集、并集的定义，即可求解.

(2)由题意可得，BQA,再分类讨论，即可求解.

本题主要考查并集、交集及其运算，属于基础题.

18.【答案】解：(1)因为/(x-2)=/—2x,令t=x—2,则x=t+2,

则/'«)=«+2)2-2(t+2)=t2+2t,

则/(%)=x2+2x；

(2)因为/"(X)=X2+2X,根据二次函数的性质可得，“X)在(―8,-1］上单调递减，

则a-4W-l,即aW3,

故a的取值范围为(-8,3］.

【解析】(1)根据换元法可解；

(2)根据二次函数的性质可解：

本题考查函数解析式求法以及性质，属于基础题.

19.【答案】解：⑴因为/(x)是定义在［一3,3］上的偶函数，所以图像关于y轴对称，作出图像如下

图所示：

(2)可设/(x)=kx+b,(-3<%<-1)

由图像可知：/(-3)=4,/(-I)=-2.

所以｛-氏第U，解得：｛?=

所以f(x)=-3x-5,(-3<x<-1).

同理可求：/(x)=5x4-3,(-1<x<0).

当一3<mW-l时，/(%)在［-3,利上单减，，则f(x)的值域为［-3m-5,4］；

当一l<m<0时，/(乃在上单减，在［-1,涧上单增,且/(m)</(0)=3<4,则f(x)的

值域为［-2,4］.

综上,当一3cm4—1时,f(x)的值域为［一3巾—5,4］：当—l<m<0时，f(x)的值域为［―2,4］.

【解析】(1)利用偶函数的性质，保持)，轴右侧图象不变，将右侧图像关于y轴对称；

(2)利用单调性及函数图象求值域.

本题考查偶函数的图象和性质，以及分段函数求值域，属于基础题.

20.【答案】解：第二步，两次等号成立的条件分别为6=2a且a=夜儿此时a,〃不存在，显然

等号不成立，

修改：因为ab>0,所以小b同号，所以巴卷，织奥为正数，

abab

(1+y)(^+》=今+整+929+4历当且仅当/=夜a2时取等号，

故(5+专)谭+9的最小值9+4^2.

【解析】由已知结合基本不等式即可求解.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是应用条件的配凑，属于中档题.

21.【答案】解：(1)由题意知，当0<x<50时，L(x)=200x-3x2-14x-500=-3x2+186x-

500,

当50<x<100,L(x)=200x-220x-+7500-500=-(20x++7000,

3x2+186x—500,0<x<50,x6N

综上，'(x)=1(20%+鬻)+7000,50<x<100,%GN'

(2)当0<x<50时，L(x)=-3x2+186%-500=-3(x-31)2+2383,

所以当x=25时，L(x)取得最大值2383,

当50d)0,L(x)=-(20%+鬻)+7000,

L'M=-20+-^2，

(x-40)z

令-20+8。00=o则x=60,

(x-40)z

当50Wx<60时,L'(x)>0,L(x)递增，当x>60时,Lz(x)<0,L(x)递减，

故当x=60时，L(x)取得最大值L(60)=5400,因为5400>2383,

故当x=60(百台)，该公司生产的环境检测仪年利润最大，最大值为5400万元.

【解析】(1)根据利润=销售收入-固定成本-投入成本，即可得到年利润〃%)(万元)关于