2024八年级数学下册专题5.6四边形中的折叠问题专项训练含解析新版浙教版

Page1专题5.6四边形中的折叠问题专项训练（30道）考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对折叠问题的理解！1．（淅川县期末）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．要使四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数是（）A．30° B．40° C．45° D．50°【解题思路】证出∠BAE＝∠CAE＝∠DAC，即可解决问题．【解答过程】解：由折叠的性质得：∠BAE＝∠CAE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACE，∵四边形AECF是菱形，∴AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACE，∴∠BAE＝∠CAE＝∠DAC，∴∠BAE=1故选：A．2．（嘉兴二模）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（）A．5 B．52 C．655【解题思路】过点E作EH⊥FG，易得四边形GHED为矩形，则GH＝DE，HE＝GD；由已知可得：GD＝2，AG＝4，利用勾股定理可求FG＝25；设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝25-x，在Rt△HEF中，由勾股定理列出方程，解方程可求DE【解答过程】解：过点E作EH⊥FG，交FG于点H，如图，由题意：△AEF≌△AED，则AF＝AD＝6，DE＝EF．∵AD＝6，AD＝3GD，∴GD＝2．∴AG＝AD﹣DG＝6﹣2＝4．∵FG⊥AD，∴FG=A∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵FG⊥AD，EH⊥FG，∴四边形GHED为矩形．∴GH＝DE，HE＝GD＝2．设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝25-x在Rt△HEF中，∵HF2+HE2＝EF2，∴(25解得：x=6∴DE=6故选：C．3．（南岗区校级二模）如图，矩形ABCD，点E是AD边上的一点，将矩形沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处，若AB＝10，AD＝8，则线段AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】由轴对称的性质可得：△EFB≌△EAB，则AE＝EF，BF＝AB＝10；在Rt△BCF中，由勾股定理可得FC＝6，则DF＝4；设AE＝x，则DE＝8﹣x，在Rt△DEF中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论．【解答过程】解：∵△EFB是由△EAB沿直线BE翻折得到，∴△EFB≌△EAB，则AE＝EF，BF＝AB＝10．∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10，∠C＝∠D＝90°．在Rt△BCF中，CF=B∴DF＝DC﹣CF＝10﹣6＝4．设AE＝x，则EF＝AE＝x，DE＝8﹣x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，∴（8﹣x）2+42＝x2．解得：x＝5．则AE＝5．故选：C．4．（南岗区模拟）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【解题思路】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．【解答过程】解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵DC′是AB的垂直平分线，∴P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故选：D．5．（江北区期末）如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB＝4，BC＝2，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE，则EF的长为（）A．8-43 B．23 C．43【解题思路】由翻折的性质可知：BF＝AB＝4，AE＝EF，设AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答过程】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝4，∠D＝∠C＝90°，由翻折的性质可知：BF＝AB＝4，AE＝EF，设AE＝EF＝x，∴CF=B在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，∴(2-x)∴x=8-43故选：A．6．（海东市三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝6，将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若∠BAC＝30°，则点D的坐标为（）A．(33，-2) B．(33，-3) C．【解题思路】过D点作DF⊥x轴，垂足为F，则DF∥y轴，由矩形的性质及30°角的直角三角形的性质可求解AB=63，OE=23，AE=43，结合折叠的性质可求解AD的长，进而求解ED，由勾股定理可求解EF，DF，即可求解OF【解答过程】解：过D点作DF⊥x轴，垂足为F，则DF∥y轴，∵四边形AOCB为矩形，∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，BC＝AO＝6，AB＝OC，∵∠BAC＝30°，∴AC＝12，OC＝AB=63由折叠可知：∠DAC＝∠BAC＝30°，AD＝AB=63∴∠OAE＝30°，∴OE=23，AE=4∴ED=23∵DF∥y轴，∴∠EDF＝∠EAO＝30°，∴EF=3，DF∴OF＝OE+EF=33∴D点坐标为（33故选：B．7．（玉田县一模）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（）度时，四边形AECF是菱形．A．30° B．40° C．45° D．50°【解题思路】由折叠性质得到∠BAE＝∠CAE＝30°，求得∠ACE＝90°﹣60°＝30°，即∠CAE＝∠ACE，得到EA＝EC，于是得到结论．【解答过程】解：当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，∵∠B＝90°，∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°，即∠CAE＝∠ACE，∴EA＝EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形，故选：A．8．（莲湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，6），若将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，则点D的坐标为（）A．（38，6） B．（74，6） C．（34，6） 【解题思路】依据B点的坐标和矩形的性质得出AB＝OC＝6，BC＝OA＝8，∠OCB＝∠OAB＝90°，依据旋转的性质得出∠E＝∠OAB＝90°＝∠OCD，BE＝AB＝6，求出BE＝OC，依据全等三角形的判定得出△OCD≌△BED，依据全等三角形的性质得出CD＝ED，设CD＝ED＝x，则BD＝8﹣x，依据勾股定理求出x即可．【解答过程】解：∵B（8，6），四边形ABCO是矩形，∴AB＝OC＝6，BC＝OA＝8，∠OCD＝∠OAB＝90°∵将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，∴△OAB≌△OEB，∴∠E＝∠OAB＝90°＝∠OCD，BE＝AB＝6，∴BE＝OC，在△OCD和△BED中，∠CDO=∠EDB∠OCD=∠E∴△OCD≌△BED（AAS），∴CD＝ED，设CD＝ED＝x，则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即62+x2＝（8﹣x）2，解得：x=7即CD=7∴点D的坐标是（74故选：B．9．（金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，8），点C在线段AB上，点D在y轴上，将∠ABO沿直线CD翻折，使点B与点A重合．若点E在线段CD延长线上，且CE＝5，点M在y轴上，点N在坐标平面内，假如以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，那么点N有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解题思路】分别以EC为边，EC为对角线探讨可知满足条件的菱形．【解答过程】解：如图中，分别以EC为边，EC为对角线探讨可知满足条件的菱形有5个．故选：D．10．（大鹏新区二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为234-6；④当OD⊥AD时，BPA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】①由矩形的性质得到∠OBC＝90°，依据折叠的性质得到OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，推出四边形OBPD是矩形，依据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD为正方形；故①正确；②过D作DH⊥OA于H，得到OA＝10，OB＝6，依据直角三角形的性质得到DH=12OD=3，依据三角形的面积公式得到△OAD的面积为12OA③连接OC，于是得到OD+CD≥OC，即当OD+CD＝OC时，CD取最小值，依据勾股定理得到CD的最小值为234-④依据已知条件推出P，D，A三点共线，依据平行线的性质得到∠OPB＝∠POA，等量代换得到∠OPA＝∠POA，求得AP＝OA＝10，依据勾股定理得到BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确．【解答过程】解：①∵四边形OACB是矩形，∴∠OBC＝90°，∵将△OBP沿OP折叠得到△OPD，∴OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，∵∠BOP＝45°，∴∠DOP＝∠BOP＝45°，∴∠BOD＝90°，∴∠BOD＝∠OBP＝∠ODP＝90°，∴四边形OBPD是矩形，∵OB＝OD，∴四边形OBPD为正方形；故①正确；②过D作DH⊥OA于H，∵点A（10，0），点B（0，6），∴OA＝10，OB＝6，∴OD＝OB＝6，∠BOP＝∠DOP＝30°，∴∠DOA＝30°，∴DH=1∴△OAD的面积为12OA•DH=③连接OC，则OD+CD≥OC，即当OD+CD＝OC时，CD取最小值，∵AC＝OB＝6，OA＝10，∴OC=OA2∴CD＝OC﹣OD＝234-即CD的最小值为234-④∵OD⊥AD，∴∠ADO＝90°，∵∠ODP＝∠OBP＝90°，∴∠ADP＝180°，∴P，D，A三点共线，∵OA∥CB，∴∠OPB＝∠POA，∵∠OPB＝∠OPD，∴∠OPA＝∠POA，∴AP＝OA＝10，∵AC＝6，∴CP=1∴BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确；故选：D．11．（阜新）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为6.8．【解题思路】由题知，当E点与D点重合时GH最长，设BH＝x，则CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，依据勾股定理计算出x的值即可．【解答过程】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长，设BH＝x，则CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，由勾股定理得，HC2+CE2＝HE2，即（10﹣x）2+62＝x2，解得x＝6.8，故答案为：6.8．12．（红桥区三模）如图，正方形纸片ABCD的边长为6，G是BC的中点，沿着AG折叠该纸片，得点B的对应点为点F，延长GF交DC于点E，则线段DE的长为2．【解题思路】由折叠的性质可得AF＝BA，∠ABC＝∠AFG＝90°，BG＝GF＝3，由“HL”可证Rt△AEF≌Rt△AED，可得DE＝EF，在Rt△GEC中，由勾股定理可求DE的长．【解答过程】解：如图，连接AE，∵正方形纸片ABCD的边长为6，G是BC的中点，∴BG＝GC＝3，∵折叠，∴AF＝BA，∠ABC＝∠AFG＝90°，BG＝GF＝3，∴AD＝AF，在Rt△AEF和Rt△AED中，AF=ADAE=AE∴Rt△AEF≌Rt△AED（HL），∴DE＝EF，∵GE2＝EC2+GC2，∴（3+DE）2＝（6﹣DE）2+9，∴DE＝2，故答案为：2．13．（渝中区校级二模）如图，点E在矩形ABCD边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在BC上的点F处，若AB＝2CF，CE＝3，连接DF，与AE交于H点，连接BH，则点F到BH的距离为655【解题思路】在Rt△EFC和Rt△ABF中，分别利用勾股定理求得DE、AD的长，再利用三角形面积公式即可求得．【解答过程】解：依据折叠的性质知：AD＝AF＝BC，DE＝EF，AE是线段DF的垂直平分线，H是DF的中点，设DE＝EF＝x，则DC＝AB＝x+3，FC=12AB=1在Rt△EFC中，FC2+EC2＝EF2，即[12（x+3）]2+32＝x2解得：x＝5或x＝﹣3（舍去），∴DC＝AB＝5+3＝8，FC＝4，设AD＝AF＝BC＝y，则BF＝y﹣4，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即82+（y﹣4）2＝y2，解得：y＝10，∴BF＝6，过H作HN⊥BC于N，过F作FM⊥BH于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，∴HN∥CD，∴HN=12CD＝4，FN=∴BN＝BF+FN＝8，由勾股定理得：BH=BN2∵S△BHF=12BF×HN=12∴FM=BF×HN故答案为：6514．（河南模拟）如图，在矩形ABCD中，CD＝3，对角线AC＝5，点G，H分别是线段AD，AC上的点，将△ACD沿直线GH折叠，点C，D分别落在点E，F处．当点E落在折线CAD上，且AE＝1时，CH的长为2或157【解题思路】分两种状况探讨，由折叠的性质和勾股定理可求解．【解答过程】解：∵AC＝5，CD＝3，∴AD=AC当点E落在AC上时，∵将△ACD沿直线GH折叠，∴CH＝EH，∵AE＝1，∴EC＝4，∴CH＝2；当点E落在AD上时，如图2，连接EC，过点E作EN⊥AC于N，∵S△AEC=12×AE×CD=1∴1×3＝5×EN，∴EN=3∴AN=AE∴NC=21∵将△ACD沿直线GH折叠，∴CH＝EH，∵EN2+NH2＝EH2，∴925+（215-HC）2∴HC=15综上所述：CH的长为2或15715．（宁波模拟）如图，将边长为12的正方形纸片ABCD折叠，点A与CD边中点M重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与BC交于点G，则DE长度为92，BG与BC的数量关系为BG=25【解题思路】过A作AH⊥MG于H，连接AG，设DE＝x，则AE＝ME＝12﹣x，Rt△DME中，由勾股定理可得x=92，即DE=92，证明△ADM≌△AHM，可得AD＝AH，MH＝MD＝6，可证明Rt△AHG≌Rt△ABG，有HG＝BG，设BG＝y，则HG＝y，CG＝12﹣y，Rt△CMG中，由CM2+CG2＝MG2，可列方程62+（12﹣y）2＝（6+y）2，解得y=245，即BG【解答过程】解：过A作AH⊥MG于H，连接AG，如图：设DE＝x，则AE＝ME＝12﹣x，Rt△DME中，DM=12DC＝6，DM2+DE2＝ME∴62+x2＝（12﹣x）2，解得x=9∴DE=9∵正方形纸片ABCD折叠，点A与CD边中点M重合，∴∠MAB＝∠AMG，∵DC∥AB，∴∠DMA＝∠MAB，∴∠DMA＝∠AMG，在△ADM和△AHM中，∠D=∠AHM=90°，∠DMA=∠AMG∴△ADM≌△AHM（AAS），∴AD＝AH，MH＝MD＝6，∴AH＝AD＝AB，在Rt△AHG和Rt△ABG中，AH=ABAG=AG∴Rt△AHG≌Rt△ABG（HL），∴HG＝BG，设BG＝y，则HG＝y，CG＝12﹣y，Rt△CMG中，CM=12DC＝6，MG＝MH+HG＝6+y，CM2+CG2＝MG∴62+（12﹣y）2＝（6+y）2，解得y=24∴BG=24∴BGBC∴BG=25故答案为：92，BG=216．（邵阳县模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D＝45°，点E在BC边上，将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AB1E，AB1交CD于点F，使EB1经过点C，则CB1的长度为22-2【解题思路】由菱形的性质可得AB＝BC＝2，∠D＝∠B＝45°，由折叠的性质可得BE＝B1E，AE⊥B1B，AB＝AB1，可求∠BAB1＝90°，由等腰直角三角形的性质可求BB1的长，即可求解．【解答过程】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，∠D＝∠B＝45°，∵将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AB1E，∴BE＝B1E，AE⊥B1B，AB＝AB1，∴∠B＝∠B1＝45°，∴∠BAB1＝90°，∴BB1=2AB＝22∴CB1＝BB1﹣BC＝22-故答案为22-17．（拱墅区校级月考）如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC一个动点，点F是AD上的一个动点，把△DEF沿EF折叠，点D的对应点为D′，D′落在∠ABC的平分线上，满足条件的点D′有且仅有一个，则AF的长为3﹣22．【解题思路】过点D′作D′G⊥BC，D′H⊥AC，交BC于G，AB于H，过点F作FI⊥D′H，交D′H于I，连接BD′，先证明出四边形D′HBG为正方形，然后依据翻折的性质把线段之间的关系转化成方程思想，然后依据满足条件的点D′有且仅有一个说明Δ＝0，求出方程的解即可．【解答过程】解：如图所示，过点D′作D′G⊥BC，D′H⊥AC，交BC于G，AB于H，过点F作FI⊥D′H，交D′H于I，连接BD′，∵D′落在∠ABC的平分线上，∴则四边形D′HBG为正方形，设AF＝x，设D′H＝y，则DF＝5﹣x＝D′F，AH＝AB﹣BH＝7﹣y＝IF，D′I＝D′H﹣AF＝y﹣x，∵D′I2+IF2＝D′F2，∴（y﹣x）2+（7﹣y）2＝（5﹣x）2，化简得：2y2﹣2xy﹣14y+10x+24＝0，即2y2﹣（2x+14）y+10x+24＝0，将y看成未知数，x看成常数，∵D′有且仅有一个，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，故（2x+14）2﹣8（10x+24）＝0，∴x＝3±22，∵x＝3+22＞5＝AD∴AF＝3﹣22．故答案为：3﹣22．18．（泰山区期末）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为（85，-6【解题思路】先证明BE＝OE，由勾股定理可求BE＝OE=52，由面积法可求【解答过程】解：设BD与OA交于点E，作DF⊥OA于点F，∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），∴OC＝2，OA＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥OA，∴∠CBO＝∠AOB，由翻折变换的性质可知，∠DBO＝∠CBO，∴∠OBD＝∠AOB，∴BE＝OE，在Rt△EAB中，设BE＝OE＝x，则AE＝4﹣x，由勾股定理得22+（4﹣x）2＝x2，解得x=52，即BE∴OE＝BE=5在Rt△ODE中，OD＝OC＝2，DE＝BD﹣BE＝4-5由12OE•DF=12OD•DE得12×5∴DF=6在Rt△ODF中，由勾股定理得OF2＝OD2﹣DF2＝22﹣（65）2=∴OF=8∴点D的坐标为（85，-故答案为：（85，-19．（江汉区模拟）如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝18°，则∠DCF＝36度．【解题思路】由折叠的性质得：FE＝BE，∠FAE＝∠BAE，∠AEB＝∠AEF，求出∠BAE＝∠FAE＝36°，由直角三角形的性质得出∠AEF＝∠AEB＝54°，求出∠CEF＝72°，求出FE＝CE，由等腰三角形的性质求出∠ECF＝54°，即可得出∠DCF的度数．【解答过程】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠BCD＝90°，由折叠的性质得：FE＝BE，∠FAE＝∠BAE，∠AEB＝∠AEF，∵∠DAF＝18°，∴∠BAE＝∠FAE=1∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣36°＝54°，∴∠CEF＝180°﹣2×54°＝72°，∵E为BC的中点，∴BE＝CE，∴FE＝CE，∴∠ECF=1∴∠DCF＝90°﹣∠ECF＝36°；故答案为：36．20．（沈河区二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，点E为边AD上一点，将点C折叠与点E重合，折痕与边CD和BC分别交于点F和G，当DE＝2时，线段CF的长是267【解题思路】过点F作FH⊥AD于H，易证∠DFH＝30°，设CF＝x，则DF＝6﹣x，DH=12（6﹣x），HF=32（6﹣x），EH＝DE+DH＝5-x2，由折叠的性质得EF＝CF＝x，在Rt△EFH中，EF2＝【解答过程】解：过点F作FH⊥AD于H，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴AB＝CD＝6，∠EDF＝120°，∴∠FDH＝60°，∴∠DFH＝30°，设CF＝x，则DF＝6﹣x，DH=12DF=12（6﹣x），HF∴EH＝DE+DH＝2+12（6﹣x）＝5由折叠的性质得：EF＝CF＝x，在Rt△EFH中，EF2＝EH2+HF2，即x2＝（5-x2）2+[32（6﹣x解得：x=26∴CF=26故答案为：26721．（南岗区模拟）已知：将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，其中点E，F分别在AB，CD上，点D的对应点为点G，连接AF．（1）如图1，求证：四边形AECF为菱形；（2）如图2，若∠CFG＝60°，连接AC交EF于点O，连接DO，GO，在不添加任何帮助线的状况下，请干脆写出图2中全部的等边三角形．【解题思路】（1）由折叠性质得AE＝CE，AF＝FC，∠AEF＝∠CEF，由矩形性质得出∠ADC＝∠BAD＝90°，AE∥CF，证出AE＝CF，得出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论；（2）先证出∠DAF＝30°，得出∠EAF＝60°，证出△AEF和△CEF是等边三角形；再证出OD=12AC＝OA，∠OAD＝60°，得出△AOD是等边三角形；证出CG＝OC＝OG，得出△【解答过程】解：（1）证明：由折叠性质得AE＝CE，AF＝FC，∠AEF＝∠CEF，∵四边形ABCD为矩形，∴AE∥CF，∴∠AEF＝∠EFC，∵∠AEF＝∠FEC，∴∠FEC＝∠EFC，∴CE＝CF，∵AE＝CE，∴AE＝CF，∵AF＝FC，∴AE＝CE＝CF＝AF，∴四边形AECF为菱形．（2）解：等边三角形为：△AEF、△CEF、△AOD、△COG；理由如下：∵∠CFG＝60°，∴∠DFA＝60°，∠CFA＝120°，∵四边形AECF是菱形，∴AO⊥EF，AO＝OC，AF＝FC＝CE＝AE，∠AFE＝∠CFE＝60°，∴△AEF和△CEF是等边三角形，∴∠DAF＝∠DAB﹣∠FAE＝30°，∠FAO＝30°，∴∠DAO＝60°，∵∠ADC＝90°，∴OD=12AC＝∴△AOD是等边三角形，∵CG＝AD＝OC，OG=12∴CG＝OC＝OG，∴△COG是等边三角形．22．（鼓楼区校级期中）已知，如图，四边形ABCD中，∠D＝90°，AB＝AC，∠DAC＝∠B，点E是BC的中点．（1）求证：四边形AECD是矩形；（2）若AD＝8，CD＝6，点F是AD上的点，连接CF，把∠D沿CF折叠，使点D落在点G处．当△AFG为直角三角形时，求CF的长度．【解题思路】（1）由AB＝AC，点E是BC的中点，可得∠DAC＝∠ACB，∠AEC＝90°；进而得到AD∥EC，∠EAD＝180°﹣∠AEC＝90°，由于∠D＝90°,利用三个角是直角的四边形是矩形，可得结论；（2）分∠AGF＝90°，∠AFC＝90°，∠FAG＝90°三种情形解答，分别利用勾股定理求得CF的长．【解答过程】解：（1）证明：∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB．∵∠DAC＝∠B,∴∠DAC＝∠ACB．∴AD∥EC．∵AB＝AC,E是BC的中点，∴AE⊥BC．∴∠AEC＝90°．∴∠EAD＝180°﹣∠AEC＝90°．∵∠D＝90°,∴四边形AECD为矩形．(2)当∠AGF＝90°时，G在AC上，如图，∵AD＝8,CD＝6,∴AC=A∵CG＝CD,∴AG＝AC﹣CG＝4．设DF＝x,则AF＝8﹣x,GF＝DF＝x,由勾股定理得：AG2+GF2＝AF2．∴42+x2＝(8﹣x)2．解得：x＝3．∴CF=C当∠AFC＝90°时，G在CE上，此时四边形CDFG为正方形，如图：∴CF＝62；当∠FAG＝90°时，G在AB上，此时CG＝CD＝6,而CE＝AD＝8,∵斜边大于直角边，∴G不行能在AB边上．综上，CF＝62或35．23．（灌南县二模）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．【解题思路】（1）首先证明△ABE≌△CDF，则DF＝BE，然后可得到AF＝EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；（2）由折叠性质得到∠BAE＝∠CAE＝30°，求得∠ACE＝90°﹣30°＝60°，即∠CAE＝∠ACE，得到EA＝EC，于是得到结论．【解答过程】解：（1）方法一：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝∠DCA．由翻折的性质可知：∠EAC=12∠BAC，∠NCF=∴∠EAC＝∠NCF，∴AE∥CF，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；方法二：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝∠DCA．由翻折的性质可知：∠EAB=12∠BAC，∠DCF=1∴∠EAB＝∠DCF．在△ABE和△CDF中∠B=∠DAB=CD∴△ABE≌△CDF（ASA），∴DF＝BE．∴AF＝EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，∵∠B＝90°，∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°，即∠CAE＝∠ACE，∴EA＝EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形．24．（下城区模拟）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．假如其次次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，求矩形ABCD长与宽的比值．【解题思路】连接DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD＝45°，而M点正好在∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，易证Rt△DGE≌Rt△DCE，得到DC＝DG，而△AGD为等腰直角三角形，得到AD=2DG=2【解答过程】解：连接DE，如图：∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，∴四边形ABEF为正方形，∴∠EAD＝45°，由其次次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，∴DE平分∠GDC，∴∠GDE＝∠CDE，∵DG为折痕，∴∠DGE＝90°＝∠C，而DE＝DE，∴Rt△DGE≌Rt△DCE（AAS），∴DC＝DG，∵∠EAD＝45°，∠DGA＝90°，∴△AGD为等腰直角三角形，∴AD=2DG=2∴矩形ABCD长与宽的比值为2，故答案为2．25．（中山市校级月考）一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．（1）求证：AF∥CE；（2）当∠BAC＝30度时，四边形AECF是菱形？说明理由．【解题思路】（1）证出∠HAF＝∠MCE，即可得出AF∥CE；（2）证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF＝CF，即可得出四边形AECF是菱形．【解答过程】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由翻折知，∠DAF＝∠HAF=12∠DAC，∠BCE＝∠MCE=1∴∠HAF＝∠MCE，∴AF∥CE；（2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，由（1）得：AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠BAC＝30°，∴∠DAC＝60°．∴∠ACD＝30°，由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°，∴∠HAF＝∠ACD，∴AF＝CF，∴四边形AECF是菱形；故答案为：30．26．（道里区二模）在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．（1）如图1，求证：AE⊥BF；（2）如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB＝4，求QF的值【解题思路】（1）首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可证明AE⊥BF；（2）由△BCF沿BF对折，得到△BPF可得FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90，在利用角的关系求出QF＝QB，设QF＝x，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立关于x的方程解方程求出x的值即可．【解答过程】（1）证明：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，AB=BC∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF；（2）解：∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，∴FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，设QF＝x，PB＝BC＝AB＝4，CF＝PF＝2，∴QB＝x，PQ＝x﹣2，在Rt△BPQ中，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得：x＝5，即QF＝5．27．（崂山区一模）已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE．（1）求证：AE＝CE；（2）若将△ABE沿AB翻折后得到△ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．【解题思路】（1）利用正方形的性质和SAS证明△ABE≌△CBE即可；（2）由折叠的性质得出∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE，由直角三角形斜边上的中线性质得出AE=12BD＝BE＝DE，证出AE＝BE＝AF＝BF，得出四边形AFBE是菱形，AE⊥【解答过程】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝45°，在△ABE和△CBE中，AB=CB∠ABE=∠CBE∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE．（2）解：点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形；理由如下：由折叠的性质得：∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE，∵∠BAD＝90°，E是BD的中点，∴AE=12BD＝BE＝∵BF＝BE，∴AE＝BE＝AF＝BF，∴四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点，∴AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴四边形AFBE是正方形．28．（睢宁县期中）把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．（1）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形，并说明理由；（2）若AB＝8cm，BC＝16cm，求线段DF及折痕EF的长．【解题思路】（1）由EF垂直并平分BDBD与EF交于点O，四边形ABCD是矩形，易证得△DOE≌△BOF，继而证得DE＝BE＝BF＝DF，则可得四边形BFDE是菱形；（2）首先设DF＝x，则FC＝16﹣x，在Rt△CDF中，利用勾股定理即可求得菱形的边长，再过点E作EG⊥BC于G，即可求得答案．【解答过程】解：（1）四边形BFDE是菱形．由折叠可知：EF垂直并平分BDBD与EF交于点O，则BE＝DEBF＝DF，∵四边形ABCD是矩形，∴DE∥BF，∴∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中，∠EDO=∠FBOOB=OD∴△DOE≌△BOF（ASA），∴DE＝BF，∴DE＝BE＝BF＝DF，∴四为形BFDE为菱形；（2）设DF＝x，则FC＝16﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得：FC2+DC2＝DF2，即82+（16﹣x）2＝x2，解得：x＝10，即DF的长为10，过点E作EG⊥BC于G，则GF＝4，由勾股定理得：EF=82+29．（梅列区校级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【解题思路】（1）由正方形的性质可得DC＝DA．∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，由折叠的性质得出∠DFE＝∠C，DC＝DF，∠1＝∠2，再求出∠DFG＝∠A，DA＝DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3＝∠4，得出∠2+∠3＝45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE＝EF＝BE，∠DEF＝∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5＝∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即