高中数学数学文化鉴赏与学习专题题组训练25欧几里得学生版

专题25欧几里得一、单选题1．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统确定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（

）A． B． C． D．52．大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明白算术基本定理：每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，假如不考虑这些素数在乘积中的依次，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数（不为素数）能唯一地写成（其中是素数，是正整数，，），将上式称为自然数的标准分解式，且的标准分解式中有个素数．从120的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（

）A．6 B．13 C．19 D．603．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年.该书前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相像形这7章，几乎包含现今平面几何的全部内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修，则学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为（

）A． B． C． D．6．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（

）A． B． C． D．7．公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出k的值．17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a），等边圆柱（底面圆的直径为a），正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为，那么（

）A． B．C． D．8．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PA与BC所成角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°9．欧几里得的《几何原本》，形如的方程的图解法是：画，使，在斜边上截取，则该方程的一个正根是（

）A．的长 B．的长 C．的长 D．的长10．大约在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年，已知为原点，，若，则线段长的最小值为（

）A． B． C． D．11．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统确定义，只惋惜对这确定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统确定义，并对这确定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．12．《几何原本》又称《原本》，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年，该书据克拉维斯的拉丁文本《欧几里得原本十五卷》译出．前6卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相像形这7章内容，几乎包含现今平面几何的全部内容．某高校要求数学专业的学生从这7章里面任选3章进行选修并计人学分．则数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为（

）A． B． C． D．13．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统探讨了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸取了欧多克索斯的探讨成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数.已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为（

）A． B． C．2 D．14．欧几里得在《几何原本》中，以基本定义、公设和公理作为全书推理的动身点．其中第命题是闻名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，书中给出了一种证明思路:如图，中，，四边形、、都是正方形，于点，交于点．先证明与全等，继而得到矩形与正方形面积相等；同理可得到矩形与正方形面积相等；进一步定理得证.在该图中，若，则（）A． B． C． D．15．古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”，类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式求体积（在正四面体中，D表示正四面体的棱长；在正方体中，D表示棱长），假设运用此体积公式求得球（直径为a）、正四面体（正四面体棱长为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为，，，那么的值为（

）A． B． C． D．16．假如一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷13中系统地探讨了正多面体的作图，并证明白每个正多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为（

）A． B． C． D．17．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题18．“出租车几何”或“曼哈顿距离”（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被运用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系内，对于随意两点、，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则下列说法正确的是（

）A．若点为线段上随意一点，则为定值B．对于平面上随意一点，若，则动点的轨迹长度为C．对于平面上随意三点、、，都有D．若、为椭圆上的两个动点，则最大值为19．古希腊闻名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发觉；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满意，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（

）A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10C．在C上存在点M，使得 D．C上的点到直线的最大距离为920．古希腊闻名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发觉：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满意．点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（

）A．曲线的方程为B．曲线被轴截得的弦长为C．直线与曲线相切D．是曲线上随意一点，当的面积最大时点的坐标为三、填空题21．公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积与它的直径的立方成正比”，即，与此类似，我们可以得到：（1）正四面体（全部棱长都相等的四面体）的体积与它的棱长的立方成正比，即；（2）正方体的体积与它的棱长的立方成正比，即；（3）正八面体（全部棱长都相等的八面体）的体积与它的棱长的立方成正比，即．那么________．22．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著.其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.已知直三棱柱中，，，，，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖臑，则鳖臑的体积与其外接球的体积之比为______.23．古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，许多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图，O为线段中点，C为上异于O的一点，以为直径作半圆，过点C作的垂线，交半圆于D，连结，过点C作的垂线，垂足为E.设，则图中线段，线段，线段_______；由该图形可以得出的大小关系为___________.24．欧几里得在《几何原本》中，以基本定义､公设和公理作为全书推理的动身点.其中第卷命题47是闻名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，书中给出了一种证明思路：如图，中，，四边形､､都是正方形，于点，交于点.先证与全等，继而得到矩形与正方形面积相等；同理可得到矩形与正方形面积相等；进一步定理可得证.在该图中，若，则________.四、解答题25．设在二维平面上有两个点，，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或确定值距离；在初中时我们学过的两点之间的距离公式是，这样的距离称为是欧几里得距离（简称欧式距离）或直线距离.（1）已知，两个点的坐标为，，假如它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么的取值范围是多少？（2）已知，两个点的坐标为，，假如它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么的取值范围是多少？（3）已知三个点，，，在平面几何的学问中，很简洁的能够证明与，与的欧氏距离之和