人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题04等式的性质与不等式的性质(原卷版+解析)

专题04等式的性质与不等式的性质考点预测：1、比较原理；；.2、等式的基本性质性质1如果，那么；性质2如果，，那么；性质3如果，那么；性质4如果，那么；性质5如果，，那么.3、不等式的基本性质性质1如果，那么；如果，那么.即性质2如果，，那么.即，.性质3如果，那么.由性质3可得，.这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.性质4如果，，那么；如果，，那么.性质5如果，，那么.性质6如果，，那么.性质7如果，那么（，）.【典型例题】例1．(2023·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）已知，.(1)分别求a，c的取值范围；(2)求的取值范围.例2．(2023·江苏·明达中学高一阶段练习）设，，比较与的大小例3．(2023·全国·高一课时练习）已知，，求，的取值范围．例4．(2023·全国·高一课时练习）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，靠墙的一边长为xm.（1）若要求菜园的面积不小于110m2，试用不等式组表示其中的不等关系;（2）若矩形的长、宽都不能超过11m，试求x满足的不等关系.【过关测试】一、单选题1．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；若，则（

）A．甲先到达终点 B．乙先到达终点C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点2．(2023·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知，，，则P与Q的大小关系为（

）A． B． C． D．不确定3．(2023·河南·高一阶段练习）若，则下列各式恒成立的是（

）A． B．C． D．4．(2023·河南·高一阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．的大小无法确定5．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．6．(2023·湖南·株洲市渌口区第三中学高一阶段练习）设，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定7．(2023·上海市控江中学高一期中）已知为实数，若且，则下列结论中，正确的是（

）A． B．C． D．8．(2023·江苏省如皋中学高一阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．(2023·广东·东莞实验中学高一阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．(2023·全国·高一课时练习）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则11．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）已知均为实数，下列命题正确的是（

）A．已知，则存在负数使成立B．“”是“”的充分不必要条件C．若，，，则D．若正数满足，则12．(2023·全国·高一单元测试）下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则三、填空题13．(2023·北京·101中学高一阶段练习）“且”是“且”的______条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）．14．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）已知，下列命题中正确的是______(将正确命题的序号填在横线上)①若，则

②若，则;③若，则;

④若，则.15．(2023·全国·高一课时练习）已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示）16．(2023·全国·高一）已知，，且，记，，，则按从小到大的顺序排列是________.四、解答题17．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）已知三个不等式：①；②；③（其中m，n，x，y均为实数），命题p：__________，____________________（横线上填①，②，③）．请写出2种可能的命题，并判断其真假．18．(2023·全国·高一课时练习）已知，证明：.19．(2023·全国·高一课时练习）设实数，满足，，求的最大值．20．(2023·全国·高一课时练习）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积.（1）若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件是变好了还是变差了？（2）无论原设计方案中窗户面积和地板面积是多大，增加的窗户面积和地板面积的比值为多少时，住宅的采光条件必定会变差？21．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知，求证：；（2）已知，且，比较与的大小．22．(2023·北京石景山·高一期末）若实数，，满足，则称比远离.(1)若比远离，求实数的取值范围；(2)若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由.专题04等式的性质与不等式的性质考点预测：1、比较原理；；.2、等式的基本性质性质1如果，那么；性质2如果，，那么；性质3如果，那么；性质4如果，那么；性质5如果，，那么.3、不等式的基本性质性质1如果，那么；如果，那么.即性质2如果，，那么.即，.性质3如果，那么.由性质3可得，.这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.性质4如果，，那么；如果，，那么.性质5如果，，那么.性质6如果，，那么.性质7如果，那么（，）.【典型例题】例1．(2023·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）已知，.(1)分别求a，c的取值范围；(2)求的取值范围.【解析】（1）设，，则，，，，由，则，，则的取值范围是，的取值范围是；（2），由，，则，，则.例2．(2023·江苏·明达中学高一阶段练习）设，，比较与的大小【解析】，又，，，，，，，，，，．例3．(2023·全国·高一课时练习）已知，，求，的取值范围．【解析】因为，所以．

又，所以，即．

因为，所以，因为，所以，

所以，即．

所以的取值范围是，的取值范围是．例4．(2023·全国·高一课时练习）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，靠墙的一边长为xm.（1）若要求菜园的面积不小于110m2，试用不等式组表示其中的不等关系;（2）若矩形的长、宽都不能超过11m，试求x满足的不等关系.【解析】（1）因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为，所以，这时菜园的另一边长为，，所以菜园的面积，依题意有，即，故该题中的不等关系可用不等式组表示为（2）因为矩形的另一边长，所以，又，且，所以.【过关测试】一、单选题1．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；若，则（

）A．甲先到达终点 B．乙先到达终点C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点答案：A【解析】由题意可知对于选手甲，，则设选手乙总共用时，则对于选手乙，，则即，即甲先到达终点故选:A.2．(2023·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知，，，则P与Q的大小关系为（

）A． B． C． D．不确定答案：A【解析】∵，∴∴又∵∴，即．故选：A．3．(2023·河南·高一阶段练习）若，则下列各式恒成立的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因为，所以，又，则.故选：D.4．(2023·河南·高一阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．的大小无法确定答案：C【解析】，故，所以.故选：C.5．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】对于A，因为，故，即，故A错误；对于B，，无法判断，故B错误；对于C，因为，，故C正确；对于D，因为，故，即，故D错误．故选：C．6．(2023·湖南·株洲市渌口区第三中学高一阶段练习）设，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定答案：A【解析】因为，，所以，∴，故选：A7．(2023·上海市控江中学高一期中）已知为实数，若且，则下列结论中，正确的是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】当为负数时，A选项显然不成立；当时，B选项显然不成立；根据不等式的同向可加性可知C正确；当为负数时，D选项显然不成立；故选：C.8．(2023·江苏省如皋中学高一阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.故选：B二、多选题9．(2023·广东·东莞实验中学高一阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则答案：AC【解析】对于A，易知，则，即，故由得，即，故A正确；对于B，不妨令，易知，但，故B错误；对于C，易知，故，即，故C正确；对于D，不妨令，易知，但，故D错误.故选：AC.10．(2023·全国·高一课时练习）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则答案：ABC【解析】对于A选项，由，得，．所以，故正确；对于B选项，由，得，故正确；对于C选项，由，故正确；对于D选项，当，，，时，满足，，但，故错误.故选：ABC11．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）已知均为实数，下列命题正确的是（

）A．已知，则存在负数使成立B．“”是“”的充分不必要条件C．若，，，则D．若正数满足，则答案：AC【解析】A：，而，若为负数，则，当时，此时成立，正确；B：当时，的大小不确定，即“”不能推出“”，充分性不成立，错误；C：，而，，，则，故，，故，即，正确；D：，故时，原不等式也成立，错误.故选：AC12．(2023·全国·高一单元测试）下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则答案：AB【解析】对于A：因为，所以，利用同向不等式相加可以得到：.故A正确；对于B：因为，所以，又因为，利用同向不等式相乘可以得到：，所以.故B正确；对于C：因为，所以.因为，所以.故C错误；对于D：取特殊值满足，但是，，所以.故D错误.故选：AB三、填空题13．(2023·北京·101中学高一阶段练习）“且”是“且”的______条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）．答案：充分不必要【解析】若且，则由不等式的同向可加性可得：，由不等式的同向正可乘性可得：，即“且”是“且”的充分条件，反之，“且”，则“且”不一定成立，如.所以，“且”是“且”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.14．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）已知，下列命题中正确的是______(将正确命题的序号填在横线上)①若，则

②若，则;③若，则;

④若，则.答案：②③【解析】①若，当时，则，故①错误；②若，不等式两边同时乘以，则，故②正确；③若，不等式两边同时乘以，则，故③正确；④若，当时，则，故④错误；故答案为：②③15．(2023·全国·高一课时练习）已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示）答案：【解析】,则解得，则，又，∴，即，故答案为：．16．(2023·全国·高一）已知，，且，记，，，则按从小到大的顺序排列是________.答案：B＜C＜A【解析】方法一：，不妨令，，，，故答案为：B＜C＜A.方法二：∵，，∴由排序原理可知：，∵，，∴A＞C＞B﹒故答案为：B＜C＜A.四、解答题17．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）已知三个不等式：①；②；③（其中m，n，x，y均为实数），命题p：__________，____________________（横线上填①，②，③）．请写出2种可能的命题，并判断其真假．【解析】命题1：①，②③．若①，②成立，即，，不等式两边同除以可得，即命题1为真命题．命题2：①，③②．若①，③成立，即，，不等式两边同乘，可得，即命题2为真命题．命题3：②，③①．若③，②成立，即，，则．又，则，即命题3为真命题．（以上三个命题中可以任意选择两个命题）18．(2023·全国·高一课时练习）已知，证明：.【解析】证明：，，，，

，，.19．(2023·全国·高一课时练习）设实数，满足，，求的最大值．【解析】令，则，所以，解得，所以，由题意得，所以，所以.故的最大值为.故答案为：20．(2023·全国·高一课时练习）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积.（1）若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件是变好了还是变差了？（2）无论原设计方案中窗户面积和地板面积是多大，增加的窗户面积和地板面积的比值为多少时，住宅的采光条件必定会变差？【解析】设窗户面积为，地板面积为，由题意知，.（1）设增加的窗户面积和地板面积均为，则，因为，所以，故，因此，住宅的采光条件变好了.（2）设增加的窗户面积和地板面积分别为和，则，要使住宅的采光条件必定会变差，需满足恒成立，即，