高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)19函数零点问题的三种常考点方法总结(原卷版+解析)

常考题型19函数零点问题的三种常考点方法总结必备知识必备知识1.函数零点的定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。2.几个等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.3.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。方法指导方法指导一、判断函数零点所在区间1.解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上。2.定理法：当容易判断区间端点所对应函数值的正负时，利用函数零点的存在性定理进行判断。3.图象法：当容易画出函数的图象时，画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。二、判断函数零点的个数1.解方程法：若对应方程f(x)=0可解，通过解方程，则方程有几个解，对应函数就有几个零点。2.函数零点存在性定理法：利用该定理时，不仅要求函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性（以后学到）、对称性）。3.数形结合法：合理转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，再看其交点的个数，其中交点的个数就是函数零点的个数。三、利用函数的零点求参数的取值范围1.直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围。2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决。3.数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解。题型探究一题型探究一探究一：判断函数零点所在的区间函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根据公共定义域内判断函数的单调性及复合函数的单调性，得出函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理即可求解.【变式练习】1．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．2．函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．探究二：判断函数零点的个数已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（

）A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点思路分析：思路分析：根据已知可得：，当时利用零点存在定理，可以判定区间内至少有一个零点，进而判定，，…，上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有1011个零点；当时，可以得到，此时在上至少有1012个零点．从而排除BC,判定D正确；举特例函数，或者构造函数，可以排除A.【变式练习】1．已知函数，（），若关于的方程无实根，则方程的实根个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．与的值有关2．已知函数，则方程的实数根的个数为（

）A． B． C． D．探究三：利用函数的零点求参数的取值范围已知函数关于x的方程有5个不同的实数根，则实数c的取值范围是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：使用换元的方法并画出函数的图像，然后根据与交点个数有5个进而可知，的范围，然后根据根的分布进行计算即可.【变式练习】1．已知函数，若它们同时满足：①，与中至少有一个小于0；②，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．2．已知函数（且）有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型突破训练题型突破训练一、单选题1．函数的零点所在区间为，则整数k等于（

）A．2 B．1 C．0 D．-12．函数的零点个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．13．若函数的零点在区间内，则的取值范围为（

）A． B．C． D．4．函数零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．5．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．6．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知函数，.若存在，，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知a，b，，函数，，对任意的，，，两两相乘都不小于0，且，则一定有（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知函数有两个零点，，则（

）A． B．且C．若，则 D．函数有四个零点或两个零点10．已知函数，下列说法中正确的有（

）A．B．函数单调减区间为C．若，则的取值范围是D．若方程有三个解，则的取值范围是11．已知定义域为R的函数,及关于x的方程，则下列说法正确的是（

）A．当k>0时，若方程有且仅有3个不同解，则1+a+b=0B．当k<0时，若方程有且仅有3个不同解，则1-a+b=0C．当k<0时，方程最多有4个不同解，当k>0时，方程最多有5个不同解D．当k>0时，若方程有且仅有5个不同解，则实数b的取值范围是（0，+∞）12．已知函数，以下结论正确的是（

）A．在区间上是增函数B．C．若方程恰有3个实根，则D．若函数在上有6个根，则三、填空题13．已知函数的图象关于y轴对称，且关于x的方程有两个相等的实根，写出满足上述条件的一个函数______.14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，设，则满足方程的所有解之和为________.15．已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是___________．16．设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______．四、解答题17．已知.(1)若，，求方程的解；(2)若关于的方程在上有两解.①求的取值范围；②证明：.18．已知，为常数，函数．(1)当时，求关于的不等式的解集；(2)对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实根；(3)若为偶函数，且，设，若对任意，均成立，求实数的取值范围．19．已知函数有两个不同的零点．(1)求实数m的取值范围；(2)甲同学在探究“若恰有一个在区间内，求实数的取值范围”这一问题时，经过分类讨论研究后甲同学给出了如下解答：由，解得.据此他得出实数的取值范围为．请你评判甲同学的解答完整吗？如果不够完整．请你补充甲同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数的取值范围．20．设函数，（，）.(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.21．已知函数，．(1)若函数在上单调，求实数a的取值范围；(2)用表示m，n中的最小值，设函数，试讨论函数的图象与函数的图象的交点个数．22．已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)当函数恰有两个零点时，求的值；(3)若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围.常考题型19函数零点问题的三种常考点方法总结必备知识必备知识1.函数零点的定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。2.几个等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.3.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。方法指导方法指导一、判断函数零点所在区间1.解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上。2.定理法：当容易判断区间端点所对应函数值的正负时，利用函数零点的存在性定理进行判断。3.图象法：当容易画出函数的图象时，画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。二、判断函数零点的个数1.解方程法：若对应方程f(x)=0可解，通过解方程，则方程有几个解，对应函数就有几个零点。2.函数零点存在性定理法：利用该定理时，不仅要求函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性（以后学到）、对称性）。3.数形结合法：合理转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，再看其交点的个数，其中交点的个数就是函数零点的个数。三、利用函数的零点求参数的取值范围1.直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围。2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决。3.数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解。题型探究一题型探究一探究一：判断函数零点所在的区间函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根据公共定义域内判断函数的单调性及复合函数的单调性，得出函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理即可求解.答案：B【详解】由题意可知，的定义域为，令，则，由在上单调递减，在定义域内单调递增，所以在单调递减.所以函数在上单调递减.所以故，根据零点的存在性定理，可得函数的零点所在区间为.故选：B.【变式练习】1．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．答案：B【详解】函数,是单调递增函数，当时，，，故故函数的零点所在的区间为，故选：B2．函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．答案：B【详解】函数的定义域为，且函数在上单调递减；在上单调递减，所以函数为定义在上的连续减函数，又当时，，当时，，两函数值异号，所以函数的零点所在区间是，故选：B.探究二：判断函数零点的个数已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（

）A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点思路分析：思路分析：根据已知可得：，当时利用零点存在定理，可以判定区间内至少有一个零点，进而判定，，…，上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有1011个零点；当时，可以得到，此时在上至少有1012个零点．从而排除BC,判定D正确；举特例函数，或者构造函数，可以排除A.答案：D【详解】因为对任意的实数恒成立，令，得．若，则与异号，即，由零点存在定理得在上至少存在一个零点．由于，得到，进而，所以在区间，，…，内均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点．构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有1011个零点.若，则，此时在上至少有1012个零点．综上所述，在上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B错误；对于A,[解法一]取函数，满足，但在上处处是零点，故A错误.[解法二]构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有2023个零点，故A错误.故选：D．【变式练习】1．已知函数，（），若关于的方程无实根，则方程的实根个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．与的值有关答案：A【详解】解：因为，且关于的方程无实根，当时的开口向上，与没有交点，则，当时的开口向下，与没有交点，则，综上可得或，当时，恒成立，故，故当时，无解，而当时，在上为增函数，而对任意，恒成立，故，故时，无解，故方程无实数根，同理当时，方程也无实数根；故选：A2．已知函数，则方程的实数根的个数为（

）A． B． C． D．答案：B【详解】令，则，①当时，，，，即，②当时，，，画出函数的图象，如图所示，若，即，无解；若，直线与的图象有3个交点，即有3个不同实根；若，直线与的图象有2个交点，即有2个不同实根；综上所述，方程的实数根的个数为5个，故选：．探究三：利用函数的零点求参数的取值范围已知函数关于x的方程有5个不同的实数根，则实数c的取值范围是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：使用换元的方法并画出函数的图像，然后根据与交点个数有5个进而可知，的范围，然后根据根的分布进行计算即可.答案：A【详解】设，则原方程即，的图象如图所示，函数关于x的方程有5个不同的实数根，则方程必有两根为，，，且其中一个根为1，不妨设，即与图象有3个交点，方程有2个根，由图知，，即.故选：A.【变式练习】1．已知函数，若它们同时满足：①，与中至少有一个小于0；②，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【详解】对于①，当时，成立，只需当时，恒成立即可，，解得：；对于②，当时，，则只需，即可；令，解得：，；由①得：，，，若，，则只需，解得：；综上所述：的取值范围为.故选：D.2．已知函数（且）有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【详解】由可得，在等式两边平方得，令，可知方程有两个不等的正根、，所以，，解得.故选：A.题型突破训练题型突破训练一、单选题1．函数的零点所在区间为，则整数k等于（

）A．2 B．1 C．0 D．-1答案：A【详解】∵，，在R上为单调递增函数，∴零点所在区间为，∴．故选：A.2．函数的零点个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1答案：B【详解】，或，，，或，时，不合题意，舍去，满足题意．因此方程有三个解，即函数有三个零点．故选：B．3．若函数的零点在区间内，则的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：B【详解】因为在上单调递增，且的图象是连续不断的，所以，解得．故选：B.4．函数零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】令，解得：，只有一个零点.而，，由零点存在性定理知，函数零点所在的一个区间是.故选：C.5．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：B【详解】解：由题意得：点是曲线的“优美点”，则点也在曲线上，当时，关于原点对称的函数与有交点，当时，，其关于原点对称的函数为，由与联立得，在时有解；而，当且仅当，即时，等号成立，则实数的取值范围为故选：B6．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．答案：D【详解】不妨设，，如图所示，，由，故，，故.故选：D7．已知函数，.若存在，，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：A【详解】时单调递增函数，的值域是，的对称轴是，在上，函数单调递减，的值域是，因为存在，，使得，所以,若，则或，解得或，所以当时，，故选：A8．已知a，b，，函数，，对任意的，，，两两相乘都不小于0，且，则一定有（

）A． B．C． D．答案：D【详解】对任意的，，，两两相乘都不小于0，故，，的零点相同，设为，恒成立，，故，解得，故，即，，故，，，A错误；，B错误；，C错误，，D正确.故选：D.二、多选题9．已知函数有两个零点，，则（

）A． B．且C．若，则 D．函数有四个零点或两个零点答案：AC【详解】由有两个零点可知：，故，故A正确，由韦达定理可得：，由于，故可正可负可为0，因此无法判断，的正负，故B错误；时，则，故C正确，，比如当时，令，可得,此时有3个零点，故D错误，故选:AC10．已知函数，下列说法中正确的有（

）A．B．函数单调减区间为C．若，则的取值范围是D．若方程有三个解，则的取值范围是答案：ACD【详解】，A正确；画出函数图像，根据图像知函数单调减区间为和，B错误；当时，，解得；当时，，解得，故，C正确；，方程有三个解，根据图像知，，D正确.故选：ACD

11．已知定义域为R的函数,及关于x的方程，则下列说法正确的是（

）A．当k>0时，若方程有且仅有3个不同解，则1+a+b=0B．当k<0时，若方程有且仅有3个不同解，则1-a+b=0C．当k<0时，方程最多有4个不同解，当k>0时，方程最多有5个不同解D．当k>0时，若方程有且仅有5个不同解，则实数b的取值范围是（0，+∞）答案：AC【详解】当时，，则关于直线对称，当时，，其图象如下：当时，，其图象如下：对于A，由方程有且仅有3个不同解，可得为其中的一个解，则，，故A正确；对于B，由方程有且仅有3个不同解，则有两个值，由，结合图象，则其中一个为，另外一个小于零，此时可得不一定满足方程，故B错误；对于C，由图象，当时，若存在两个不相等且小于零的值满足方程，则方程有四个根；当时，当存在一个不为且大于零的值与1满足方程时，方程有个根，故C正确；对于D，若方程有个不同的根，则且有两个不相等的值，其中一个为满足方程，等价于方程有两个不相等且大于零的根，其中一个为，则，将，代入，则，由两个根大于零，则，故，故D错误.故选：AC.12．已知函数，以下结论正确的是（

）A．在区间上是增函数B．C．若方程恰有3个实根，则D．若函数在上有6个根，则答案：BD【详解】由题意，作出函数的图像，如图所示，对于A中，当，若，即，可得，当时，为周期为的函数，画出在区间的函数，可知在区间上为减函数，所以A错误；对于B中，因为时，函数为周期为的函数，又由，所以，，所以，所以B正确；对于C中，直线恒过定点，函数的图像和函数的图像有三个交点，当，设与相切于点，则，解得，当，根据对称性可知，当与相切时，，则，即，综上可得，当函数的图像和函数的图像有三个交点时，，所以C错误．对于D中，又由函数在上有6个零点，故直线与在上由6个交点，不妨设，由图像可知关于直线对称，关于直线对称，关于直线对称，所以，所以D正确.故选：BD.三、填空题13．已知函数的图象关于y轴对称，且关于x的方程有两个相等的实根，写出满足上述条件的一个函数______.答案：（答案不唯一，只需满足即可）【详解】解：已知，∵的图象关于y轴对称，∴对称轴，∴，则方程即为，即，∴，∴，当时，，∴满足条件的二次函数可以为.故答案为：.（答案不唯一，只需满足即可）14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，设，则满足方程的所有解之和为________.答案：【详解】方程的解，即函数与函数的图象交点的横坐标，作出函数与函数的图象如下图所示：由图象可知，两函数除以交点之外，其余的交点关于点对称，所以，方程的解之和为.故答案为：15．已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是___________．答案：或【详解】解：当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，当时，图象始终在的下方；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，且，.作出函数的图象如下图所示：令，解得或，而和的图象有个交点，即有个实数根，所以只需有个实数根即可，即和的图象有个交点，观察可知，当或时，符合题意，解得或.故答案为：或.16．设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______．答案：【详解】当时，，当时，，当时，，则f(x)图像如图所示：当时，，当时，．令，则，∵关于x的方程恰有六个解，∴关于t的方程有两个解、，设＜，则，，令，则，∴且，要存在a满足条件，则，解得．故答案为：．四、解答题17．已知.(1)若，，求方程的解；(2)若关于的方程在上有两解.①求的取值范围；②证明：.答案：(1)(2)①；②证明见解析【详解】（1）当时，，当时，方程化为，解得，因为，舍去，所以；（2），因为方程在上至多有1个实根，方程，在，上至多有一个实根，结合已知，可得方程在上的两个解，中的1个在，1个在，不妨设，，，设，数形结合可分析出，解得，，，，，令，，在上递增，当时，，因为，所以；18．已知，为常数，函数．(1)当时，求关于的不等式的解集；(2)对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实根；(3)若为偶函数，且，设，若对任意，均成立，求实数的取值范围．答案：(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)或.【详解】（1）当时，；当时，；当时，，综上，当时，；当时，；当时，.（2）设，则，，．因为，所以，又函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，由零点的判定定理可得：在内有一个实数根，故关于的方程在区间内有一个实根得证.（3）由题意得，，，则因为对任意恒成立，即对恒成立，则，即对恒成立，令，则，，该二次函数开口向下，对称轴为，所以当时，，故，或.19．已知函数有两个不同的零点．(1)求实数m的取值范围；(2)甲同学在探究“若恰有一个在区间内，求实数的取值范围”这一问题时，经过分类讨论研究后甲同学给出了如下解答：由，解得.据此他得出实数的取值范围为．请你评判甲同学的解答完整吗？如果不够完整．请你补充甲同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数的取值范围．答案：(1)；(2)甲同学解答不完整，满足题意的.【详解】（1）由题设，，可得.（2）甲同学解答不完整，补充如下：由恰有一个在区间内，所以（不能同时为0），解得，经检验或满足题意，所以.20．设函数，（，）.(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.答案：(1)答案见解析(2)【详解】（1）函数有且只有一个零点，所以方程有且仅有一个根，当时，，即，满足题设；当时，，即，此时，满足题设；综上，时，零点为2；，零点为4.（2）因为对任意的，总，使得成立，所以的值域是的值域的子集，可得时，在上单调递增，且，所以的值域为.当时，在上单调递增，故，即，所以可得

解得