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文档简介
专题18三角恒等变换【考点预测】1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)和角公式(),(),().(2)差角公式(),(),().2、二倍角的正弦、余弦、正切公式(),(),()3、降幂公式,,.4、半角公式,,.其中,符号由所在象限决定.5、辅助角公式,其中,.叫做辅助角,的终边过点.【典型例题】例1.(2023·上海·格致中学高一期中)已知,,且.(1)求的值;(2)求的值.例2.(2023·江苏苏州·高一期末)若,求的值.例3.(2023·天津·高一期末)已知函数(1)求的最小正周期及单调递减区间;(2)求在区间上的最值;(3)若,求的值.例4.(2023·江苏南通·高一期末)已知,(1)求和的值(2)若,,求的大小.例5.(2023·湖北黄石·高一期末)已知,,,,求:(1)的值;(2)的值.例6.(2023·湖南·新邵县教研室高一期末)已知函数,.(1)求的最小正周期、对称轴和单调递增区间;(2)若函数与关于直线对称,求在闭区间上的最大值和最小值.【过关测试】一、单选题1.(2023·浙江·高一期中)若,则=(
)A. B. C. D.2.(2023·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末)下列各式中,值为的是(
)A. B.C. D.3.(2023·甘肃兰州·高一期末)(
)A. B.1 C. D.4.(2023·四川泸州·高一期末)已知,则(
)A. B. C. D.5.(2023·湖南·武冈市教育科学研究所高一期末)若,,,,则(
)A. B. C. D.6.(2023·河南开封·高一期末)已知函数,,则的值域为(
)A. B. C. D.7.(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期末)若函数取最小值时,则(
)A. B. C. D.8.(2023·江西上饶·高一期末)已知函数的图象关于对称,且,则的值是(
)A. B. C. D.二、多选题9.(2023·辽宁·高一期中)若,则的值可能为(
)A. B. C. D.10.(2023·贵州黔东南·高一期末)关于函数,下列说法中错误的是(
)A.其表达式可写成B.曲线关于点对称C.在区间上单调递增D.,使得恒成立11.(2023·江苏宿迁·高一期中)下列说法正确的有(
)A.,B.不存在无穷多个和的值,使得C.存在这样的和的值,使得D.当取最大值时,12.(2023·浙江·杭十四中高一期中)在平面直角坐标系xOy中,圆心为O的单位圆与x轴正半轴的交点为A,角的终边与单位圆相交于点P,将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点,,,以下命题正确的是(
)A.若,则B.若,则C.若,,则D.若,则三、填空题13.(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末)的值为_________.14.(2023·四川成都·高一期末(文))已知,则______.15.(2023·江西·横峰中学高一期末)已知函数(为实数)的最大值为,则的值为___________.16.(2023·上海·华东师范大学附属周浦中学高一期末)我们知道函数的性质中,以下两个结论是正确的:(1)偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的;(2)周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域.由此可求函数的值域为_______.四、解答题17.(2023·上海市光明中学高一期中)已知是方程的两根,且求:(1)(2)18.(2023·浙江·杭州高级中学高一期末)设函数(1)求的最小正周期及其图像的对称中心;(2)若且,求的值.19.(2023·河南南阳·高一期末)如图所示,在平面直角坐标系中,以轴的非负半轴为始边作钝角和锐角,它们的终边分别与单位圆交于两点,过分别作轴于点轴于点,线段的长分别为.(1)求;(2)求.20.(2023·四川眉山·高一期末(理))已知的内角分别为A,B,C,且.(1)求角C的大小;(2)求的取值范围.21.(2023·辽宁丹东·高一期末)已知.(1)证明:;(2)当时,讨论函数的单调性;(3)若,证明:函数在上有且仅有两个零点.22.(2023·湖北咸宁·高一期末)已知函数,,.(1)当,时,①求的单调递增区间②当时,关于的方程恰有个不同的实数根,求的取值范围.(2)函数,是的零点,直线是图象的对称轴,且在上单调,求的最大值.专题18三角恒等变换【考点预测】1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)和角公式(),(),().(2)差角公式(),(),().2、二倍角的正弦、余弦、正切公式(),(),()3、降幂公式,,.4、半角公式,,.其中,符号由所在象限决定.5、辅助角公式,其中,.叫做辅助角,的终边过点.【典型例题】例1.(2023·上海·格致中学高一期中)已知,,且.(1)求的值;(2)求的值.【解析】(1)因为,所以.(2)因为,所以,又因为,所以,,所以,又,所以由,解得,所以,又,,故,所以.例2.(2023·江苏苏州·高一期末)若,求的值.【解析】,,,,,或1,即或1,,,,.故答案为:.例3.(2023·天津·高一期末)已知函数(1)求的最小正周期及单调递减区间;(2)求在区间上的最值;(3)若,求的值.【解析】(1)因为.所以的最小正周期,∵,∴,所以的单调递减区间为;(2)由(1)知的单调递减区间为,∵,∴在上单调递增,在上单调递减,又,故;另∵,∴,∵在单调递增,在上单调递减,∴当时,,∴当时,;(3)∵,∴,由,得,∴,∴,.例4.(2023·江苏南通·高一期末)已知,(1)求和的值(2)若,,求的大小.【解析】(1),;(2),,∵,∴.例5.(2023·湖北黄石·高一期末)已知,,,,求:(1)的值;(2)的值.【解析】(1)因为,,所以,,所以,,所以.(2)因为,,所以,所以,所以.例6.(2023·湖南·新邵县教研室高一期末)已知函数,.(1)求的最小正周期、对称轴和单调递增区间;(2)若函数与关于直线对称,求在闭区间上的最大值和最小值.【解析】(1)由.函数的最小正周期为,令得,故对称轴为,由得,即单调增区间为.(2)设图像上任意一点为,点关于对称的点在函数上,即,又,所以,则,故,所以;.【过关测试】一、单选题1.(2023·浙江·高一期中)若,则=(
)A. B. C. D.答案:D【解析】.故选:D.2.(2023·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末)下列各式中,值为的是(
)A. B.C. D.答案:D【解析】,,,,故选:D.3.(2023·甘肃兰州·高一期末)(
)A. B.1 C. D.答案:C【解析】.故选:C.4.(2023·四川泸州·高一期末)已知,则(
)A. B. C. D.答案:C【解析】,.故选:C5.(2023·湖南·武冈市教育科学研究所高一期末)若,,,,则(
)A. B. C. D.答案:C【解析】由题意,可得,,因为,,可得,,则.故选:C.6.(2023·河南开封·高一期末)已知函数,,则的值域为(
)A. B. C. D.答案:A【解析】由题意知,,由,得,又函数在上单调递增,在上单调递减,令,所以函数在上单调递增,在上单调递减,有,所以,故的值域为.故选:A7.(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期末)若函数取最小值时,则(
)A. B. C. D.答案:B【解析】,其中,因为当时取得最小值,所以,故.故选:B.8.(2023·江西上饶·高一期末)已知函数的图象关于对称,且,则的值是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】因为,其中,,由于函数的图象关于对称,所以,即,化简得,所以,即,所以,故选:C.二、多选题9.(2023·辽宁·高一期中)若,则的值可能为(
)A. B. C. D.答案:AC【解析】由题意得,所以,所以的值可能为,.故选:AC10.(2023·贵州黔东南·高一期末)关于函数,下列说法中错误的是(
)A.其表达式可写成B.曲线关于点对称C.在区间上单调递增D.,使得恒成立答案:ABD【解析】,,所以A不正确;当时,有,所以B不正确;当时,有,因为,所以C正确;的最小正周期,若,使得恒成立,说明是f(x)的一个周期,而,与“f(x)最小正周期为”矛盾,因此D不正确.故选:ABD11.(2023·江苏宿迁·高一期中)下列说法正确的有(
)A.,B.不存在无穷多个和的值,使得C.存在这样的和的值,使得D.当取最大值时,答案:CD【解析】A:,错误;由,要使已知条件成立,则即可,故存在无穷多个和的值,B错误,C正确;D:由且,故,则,解得,正确.故选:CD12.(2023·浙江·杭十四中高一期中)在平面直角坐标系xOy中,圆心为O的单位圆与x轴正半轴的交点为A,角的终边与单位圆相交于点P,将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点,,,以下命题正确的是(
)A.若,则B.若,则C.若,,则D.若,则答案:ABD【解析】对于A,由三角函数的定义可知,,故选项A正确;对于B:因为的终边与单位圆相交于点又,所以,故B正确;对于C,由三角函数的定义可知,,由可知,点在第二象限,则,所以,故选项C错误;对于D:因为,所以,所以,因为,所以,所以,即,故D正确;故选:ABD三、填空题13.(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末)的值为_________.答案:1【解析】因为,所以;故答案为:1.14.(2023·四川成都·高一期末(文))已知,则______.答案:【解析】因,所以故答案为:15.(2023·江西·横峰中学高一期末)已知函数(为实数)的最大值为,则的值为___________.答案:【解析】的最大值为,则,,所以,,所以故答案为:116.(2023·上海·华东师范大学附属周浦中学高一期末)我们知道函数的性质中,以下两个结论是正确的:(1)偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的;(2)周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域.由此可求函数的值域为_______.答案:【解析】因为,所以是偶函数,又因为,所以是的一个周期,所以当时,,因为,所以,由结论(1)可得在区间上的取值范围也为,即在区间上的取值范围为,又由结论(2)可得在定义域上的值域为,故答案为:四、解答题17.(2023·上海市光明中学高一期中)已知是方程的两根,且求:(1)(2)【解析】(1)因为是方程的两根,所以,所以;(2)因为,所以,故,所以,所以.18.(2023·浙江·杭州高级中学高一期末)设函数(1)求的最小正周期及其图像的对称中心;(2)若且,求的值.【解析】(1)因为,即,所以的最小正周期为.令,解得,,所以函数的对称中心为.(2)因为,即,所以,因为,所以,所以,所以19.(2023·河南南阳·高一期末)如图所示,在平面直角坐标系中,以轴的非负半轴为始边作钝角和锐角,它们的终边分别与单位圆交于两点,过分别作轴于点轴于点,线段的长分别为.(1)求;(2)求.【解析】(1)因为,所以,所以;(2)由题可知,所以,所以,由(1)可得,所以.20.(2023·四川眉山·高一期末(理))已知的内角分别为A,B,C,且.(1)求角C的大小;(2)求的取值范围.【解析】(1)因为,所以,解得或,由于,所以,可得;(2),因为,所以,则,所以,所以的取值范围是.21.(2023·辽宁丹东·高一期末)已知.(1)证明:;(2)当时,讨论函数的单调性;(3)若,证明:函数在上有且仅有两个零点.【解析】(1).(2)当时,,当或,即或时,单调递减;当,即时,单调递增;综上所述:在和上单调递减;在上单调递增.(3)在的零点个数等价于与的图象在上的交点个数;,,,,大致图象如下图所示,当时,由图象可知:与有有且仅有两个不同的交点,函数在上有且仅有两个零点.22.(2023·湖北咸宁·高一期末)已知函数,,.(1)当,时,①求的单调递增区间②当时,关于的方程恰有个不同的实数根,求的取值范围.(2)函数,是的零点,直线是图象的对称轴,且在上
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