人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题18三角恒等变换(原卷版+解析)

专题18三角恒等变换【考点预测】1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）和角公式（），（），（）．（2）差角公式（），（），（）．2、二倍角的正弦、余弦、正切公式（），（），（）3、降幂公式，，．4、半角公式，，．其中，符号由所在象限决定．5、辅助角公式，其中，．叫做辅助角，的终边过点．【典型例题】例1．(2023·上海·格致中学高一期中）已知，，且．(1)求的值；(2)求的值．例2．(2023·江苏苏州·高一期末）若，求的值．例3．(2023·天津·高一期末）已知函数(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)求在区间上的最值；(3)若，求的值．例4．(2023·江苏南通·高一期末）已知，(1)求和的值(2)若，，求的大小．例5．(2023·湖北黄石·高一期末）已知，，，，求：(1)的值；(2)的值.例6．(2023·湖南·新邵县教研室高一期末）已知函数，.(1)求的最小正周期、对称轴和单调递增区间；(2)若函数与关于直线对称，求在闭区间上的最大值和最小值.【过关测试】一、单选题1．(2023·浙江·高一期中）若，则=（

）A． B． C． D．2．(2023·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．3．(2023·甘肃兰州·高一期末）（

）A． B．1 C． D．4．(2023·四川泸州·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．5．(2023·湖南·武冈市教育科学研究所高一期末）若，，，，则（

）A． B． C． D．6．(2023·河南开封·高一期末）已知函数，，则的值域为（

）A． B． C． D．7．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）若函数取最小值时，则（

）A． B． C． D．8．(2023·江西上饶·高一期末）已知函数的图象关于对称，且，则的值是（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·辽宁·高一期中）若，则的值可能为（

）A． B． C． D．10．(2023·贵州黔东南·高一期末）关于函数，下列说法中错误的是（

）A．其表达式可写成B．曲线关于点对称C．在区间上单调递增D．，使得恒成立11．(2023·江苏宿迁·高一期中）下列说法正确的有（

）A．，B．不存在无穷多个和的值，使得C．存在这样的和的值，使得D．当取最大值时，12．(2023·浙江·杭十四中高一期中）在平面直角坐标系xOy中，圆心为O的单位圆与x轴正半轴的交点为A，角的终边与单位圆相交于点P，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点，，，以下命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，则三、填空题13．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）的值为_________.14．(2023·四川成都·高一期末（文））已知，则______．15．(2023·江西·横峰中学高一期末）已知函数（为实数）的最大值为，则的值为___________.16．(2023·上海·华东师范大学附属周浦中学高一期末）我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：(1)偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；(2)周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域．由此可求函数的值域为_______．四、解答题17．(2023·上海市光明中学高一期中）已知是方程的两根，且求：(1)(2)18．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）设函数(1)求的最小正周期及其图像的对称中心；(2)若且，求的值.19．(2023·河南南阳·高一期末）如图所示，在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边作钝角和锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，过分别作轴于点轴于点，线段的长分别为.(1)求；(2)求.20．(2023·四川眉山·高一期末（理））已知的内角分别为A，B，C，且．(1)求角C的大小；(2)求的取值范围．21．(2023·辽宁丹东·高一期末）已知.(1)证明：；(2)当时，讨论函数的单调性；(3)若，证明：函数在上有且仅有两个零点.22．(2023·湖北咸宁·高一期末）已知函数，，．(1)当，时，①求的单调递增区间②当时，关于的方程恰有个不同的实数根，求的取值范围．(2)函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，求的最大值.专题18三角恒等变换【考点预测】1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）和角公式（），（），（）．（2）差角公式（），（），（）．2、二倍角的正弦、余弦、正切公式（），（），（）3、降幂公式，，．4、半角公式，，．其中，符号由所在象限决定．5、辅助角公式，其中，．叫做辅助角，的终边过点．【典型例题】例1．(2023·上海·格致中学高一期中）已知，，且．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）因为，所以．（2）因为，所以，又因为，所以，，所以，又，所以由，解得，所以，又，，故，所以．例2．(2023·江苏苏州·高一期末）若，求的值．【解析】，，，，，或1，即或1，，，，．故答案为：．例3．(2023·天津·高一期末）已知函数(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)求在区间上的最值；(3)若，求的值．【解析】（1）因为．所以的最小正周期，∵，∴，所以的单调递减区间为；（2）由（1）知的单调递减区间为，∵，∴在上单调递增，在上单调递减，又，故；另∵，∴，∵在单调递增，在上单调递减，∴当时，，∴当时，；（3）∵，∴，由，得，∴，∴，．例4．(2023·江苏南通·高一期末）已知，(1)求和的值(2)若，，求的大小．【解析】（1），；（2），，∵，∴.例5．(2023·湖北黄石·高一期末）已知，，，，求：(1)的值；(2)的值.【解析】（1）因为，，所以，，所以，，所以.（2）因为，，所以，所以，所以.例6．(2023·湖南·新邵县教研室高一期末）已知函数，.(1)求的最小正周期、对称轴和单调递增区间；(2)若函数与关于直线对称，求在闭区间上的最大值和最小值.【解析】（1）由.函数的最小正周期为，令得，故对称轴为，由得，即单调增区间为.（2）设图像上任意一点为，点关于对称的点在函数上，即，又，所以，则，故，所以；.【过关测试】一、单选题1．(2023·浙江·高一期中）若，则=（

）A． B． C． D．答案：D【解析】.故选：D.2．(2023·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】，，，，故选：D.3．(2023·甘肃兰州·高一期末）（

）A． B．1 C． D．答案：C【解析】.故选：C.4．(2023·四川泸州·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，.故选：C5．(2023·湖南·武冈市教育科学研究所高一期末）若，，，，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意，可得，，因为，，可得，，则.故选：C.6．(2023·河南开封·高一期末）已知函数，，则的值域为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由题意知，，由，得，又函数在上单调递增，在上单调递减，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，有，所以，故的值域为.故选：A7．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）若函数取最小值时，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，其中，因为当时取得最小值，所以，故.故选：B.8．(2023·江西上饶·高一期末）已知函数的图象关于对称，且，则的值是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，其中，，由于函数的图象关于对称，所以，即，化简得，所以，即，所以，故选：C.二、多选题9．(2023·辽宁·高一期中）若，则的值可能为（

）A． B． C． D．答案：AC【解析】由题意得，所以，所以的值可能为，．故选：AC10．(2023·贵州黔东南·高一期末）关于函数，下列说法中错误的是（

）A．其表达式可写成B．曲线关于点对称C．在区间上单调递增D．，使得恒成立答案：ABD【解析】，，所以A不正确；当时，有，所以B不正确；当时，有，因为，所以C正确；的最小正周期，若，使得恒成立，说明是f(x)的一个周期，而，与“f(x)最小正周期为”矛盾，因此D不正确．故选：ABD11．(2023·江苏宿迁·高一期中）下列说法正确的有（

）A．，B．不存在无穷多个和的值，使得C．存在这样的和的值，使得D．当取最大值时，答案：CD【解析】A：，错误；由，要使已知条件成立，则即可，故存在无穷多个和的值，B错误，C正确；D：由且，故，则，解得，正确.故选：CD12．(2023·浙江·杭十四中高一期中）在平面直角坐标系xOy中，圆心为O的单位圆与x轴正半轴的交点为A，角的终边与单位圆相交于点P，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点，，，以下命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，则答案：ABD【解析】对于A，由三角函数的定义可知，，故选项A正确；对于B：因为的终边与单位圆相交于点又，所以，故B正确；对于C，由三角函数的定义可知，，由可知，点在第二象限，则，所以，故选项C错误；对于D：因为，所以，所以，因为，所以，所以，即，故D正确；故选：ABD三、填空题13．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）的值为_________.答案：1【解析】因为，所以；故答案为：1.14．(2023·四川成都·高一期末（文））已知，则______．答案：【解析】因，所以故答案为：15．(2023·江西·横峰中学高一期末）已知函数（为实数）的最大值为，则的值为___________.答案：【解析】的最大值为，则，，所以，，所以故答案为：116．(2023·上海·华东师范大学附属周浦中学高一期末）我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：(1)偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；(2)周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域．由此可求函数的值域为_______．答案：【解析】因为，所以是偶函数，又因为，所以是的一个周期，所以当时，，因为，所以，由结论（1）可得在区间上的取值范围也为，即在区间上的取值范围为，又由结论（2）可得在定义域上的值域为，故答案为：四、解答题17．(2023·上海市光明中学高一期中）已知是方程的两根，且求：(1)(2)【解析】（1）因为是方程的两根，所以，所以；（2）因为，所以，故，所以，所以.18．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）设函数(1)求的最小正周期及其图像的对称中心；(2)若且，求的值.【解析】（1）因为，即，所以的最小正周期为．令，解得，，所以函数的对称中心为．（2）因为，即，所以，因为，所以，所以，所以19．(2023·河南南阳·高一期末）如图所示，在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边作钝角和锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，过分别作轴于点轴于点，线段的长分别为.(1)求；(2)求.【解析】（1）因为，所以，所以；（2）由题可知，所以，所以，由（1）可得，所以.20．(2023·四川眉山·高一期末（理））已知的内角分别为A，B，C，且．(1)求角C的大小；(2)求的取值范围．【解析】(1)因为，所以，解得或，由于，所以，可得；(2)，因为，所以，则，所以，所以的取值范围是.21．(2023·辽宁丹东·高一期末）已知.(1)证明：；(2)当时，讨论函数的单调性；(3)若，证明：函数在上有且仅有两个零点.【解析】(1).(2)当时，，当或，即或时，单调递减；当，即时，单调递增；综上所述：在和上单调递减；在上单调递增.(3)在的零点个数等价于与的图象在上的交点个数；，，，，大致图象如下图所示，当时，由图象可知：与有有且仅有两个不同的交点，函数在上有且仅有两个零点.22．(2023·湖北咸宁·高一期末）已知函数，，．(1)当，时，①求的单调递增区间②当时，关于的方程恰有个不同的实数根，求的取值范围．(2)函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上