七年级数学上册数学 2.6.1 有理数的乘法与除法-有理数的乘法（四大题型）（解析版）

2.6.1有理数的乘法与除法——有理数的乘法分层练习考察题型一乘法相关的符号判断1．一个有理数与它的相反数的积A．一定不小于0 B．符号一定为正 C．一定不大于0 D．符号一定为负【详解】解：若有理数是0，则0的相反数是0，；若有理数不是0，它们的积是负数；综上，一个有理数与它的相反数的积一定不大于0．故本题选：．2．下列说法中：①一定是负数；②一个有理数的绝对值是它的相反数，则这个数是非正数；③几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；④几个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个．其中正确的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】解：①不一定是负数，错误；②一个有理数的绝对值是它的相反数，则这个数是非正数，正确；③几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，不一定积为负，可能为0，错误；④几个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个，正确．故本题选：．3．、是两个有理数，若，且，则下列结论正确的是A．， B．、两数异号，且正数的绝对值大 C．， D．、两数异号，且负数的绝对值大【详解】解：，、异号，又，正数的绝对值较大．故本题选：．4．三个数相乘，积为正数，则其中正因数的个数为A．1 B．2 C．3 D．1或3【详解】解：三个数相乘，积为正数，其中正因数的个数有1个或3个．故本题选：．5．如果有理数、、满足，，，那么、、中负数的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【详解】解：，、、中有2个负数或没有一个负数，若没有一个负数，则，不符合的要求，故、、中必有2个负数．故本题选：．6．若，，，，则．【详解】解：，，，，，，，．故本题答案为：．考察题型二有理数的乘法运算1．规定：水位上升为正，水位下降为负：几天后为正，几天前为负．若水位每天下降，今天的水位记为，那么2天前的水位用算式表示正确的是A． B． C． D．【详解】解：由题意可得：2天前的水位用算式表示是：．故本题选：．2．在下列各数：，，，中，恒为负数的个数为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】解：，，，的正负不确定，则恒为负数个数只有1个．故本题选：．3．若有理数、满足，则．【详解】解：由题意可知：，，，，．故本题答案为：．4．算式可以化为A． B． C． D．【详解】解：．故本题选：．5．绝对值不大于3的所有整数的积是．【详解】解：绝对值不大于3的所有整数是：，，，0，它们的积是：．故本题答案为：0．6．在，，，0，2，4，6中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最大乘积是．【详解】解：，三个数相乘，最大乘积是90．故本题答案为：90．7．已知四个互不相等的整数、、、的乘积等于14，则它们的和等于A． B．5 C．9 D．5或【详解】解：四个互不相等的整数、、、的乘积等于14，这四个数为，1，2，，或，1，，7，它们的和等于或5．故本题选：．8．已知：，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【详解】解：，，，，（1），①，，此时，②，，此时，的值为；（2），，①，，此时，②，，此时，的值为．9．某同学把□错抄为□，抄错后算得答案为，若正确答案为，则．【详解】解：根据题意得：□①，□②，①②得：□□□□．故本题答案为：．10．有理数、、在数轴上的位置如图：（1）0；0；（2）化简．【详解】解：（1）由数轴知：，，，，故本题答案为：；；（2）．11．若“！”是一种数学运算符号，并且1！，2！，3！，4！，，则的值为A．2023 B．2022 C．2023！ D．2022！【详解】解：．故本题选：．12．按如图程序计算，如果输入的数是，那么输出的数是．【详解】解：，，，．故本题答案为：．13．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如．（1）求的值；（2）求的值．【详解】解：（1）；（2）．14．计算：（1）；（2）；（3）．【详解】解：（1）；（2）；（3）（共2023个相乘）．15．计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【详解】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．16．求值：（1）；（2）．【详解】解：（1）；（2）．17．小明说：“请你任意想一个数，把这个数乘3后加12，然后除以6，再减去你原来所想的那个数的，我都可以知道你计算的结果．”请根据小明的说法进行探索．（1）如果你想的那个数是，请列式并计算结果；（2）你觉得小明说的话可信吗？请说明你的理由．【详解】解：（1）根据题意得：；（2）小明说的话可信，理由如下：设这个数是，根据题意得：，结果和无关，是个定值，小明说的话可信．考察题型三简便运算1．在简便运算时，把变形成最合适的形式是A． B． C． D．【详解】解：，根据有理数的乘法分配律，把变形成最合适的形式为：，可以简便运算．故本题选：．2．用简便方法计算：（1）；（2）．【详解】解：（1）原式；（2）原式．3．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：小明：原式；小军：原式；（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？（2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；（3）用你认为最合适的方法计算：【详解】解：（1）小军解法较好；（2）还有更好的解法：；（3）．4．简便计算（1）（2）【详解】解：（1）原式；（2）原式．5．简便方法计算：①；②．【详解】解：①原式；②原式．6．如图为乘法表的一部分，每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，则16个阴影空格中填入的数之和是A．87464 B．87500 C．87536 D．87572【详解】解：每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，个阴影空格中填入的数之和是：．故本题选．考察题型四数字规律1．已知；；；，则．【详解】解：；；；，．故本题答案为：12345654321．2．观察：等式（1）等式（2）等式（3）等式（4）（1）仿此：请写出等式（5），，等式．（2）按此规律计算：①；②求的值．【详解】解：（1）等式（5）为，等式为，故本题答案为：，；（2）①原式，故本题答案为：306；②原式．3．阅读理解：李华是一个勤奋好学的学生，他常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是他从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”例如：①．计算过程：24两数拉开，中间相加，即，最后结果264；②．计算过程：68两数分开，中间相加，即，满十进一，最后结果748．（1）计算：①，②；（2）若某个两位数十位数字是，个位数字是，将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是，十位数字是，个位数字是；（用含、的代数式表示）（3）请你结合（2）利用所学的知识解释其中原理．【详解】解：（1）①，，②，，故本题答案为352，858；（2）两位数十位数字是，个位数字是，这个两位数乘11，三位数百位数字是，十位数字是，个位数字是，故本题答案为：，，；（3）两位数乘以11可以看成这个两位数乘以10再加上这个两位数，若两位数十位数为，个位数为，则，根据上述代数式，可以总结出规律口诀为：“头尾一拉，中间相加，满十进一”．1．任何一个正整数都可以进行这样的分解：、是正整数，且，如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成，，这三种，这时就有．给出下列关于的说法：①（2）；②；③；④若非0整数，则，其中正确说法的是（将正确答案的序号填写在横线上）．【详解】解：，（2），故语句①符合题意；，，故语句②不符合题意；，，故语句③符合题意；，，故语句④符合题意．故本题答案为：①③④．2．阅读：一个正整数可以分解为两个正整数、的积，即（规定，在的所有这种分解中，如果两因数、之差的绝对值最小，则称是的最优分解，称为的最优分解比．尝试：（1）24可以分解成、、、，其中是24的最优分解，最优分解比为；（2）的最优分解是，的最优分解比为；（3）请写出一个在20到40范围之间正整数：，使它的最优分解比为1；探索：（4）是一个正整数，已知的最优分解比为，求的最小值，写出简要过程．【详解】解：（1）24的最优分解比为：，故本题答案为：；（2）的最优分解比为，故本题答案为：；（3），，，，在20到40范围之间，25和36的最优分解比为1，故本题答案为：25或36；（