(人教A版2019选择性必修第一册)重难点题型精讲专题2.3直线的方程(一)：直线方程的几种形式(原卷版+解析)

专题2.3直线的方程（一）：直线方程的几种形式-重难点题型精讲1．直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：

设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.

(2)点斜式方程的使用方法：

①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x=x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.2．直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：

设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.

(3)斜截式方程的使用方法：

已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.3．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义：设直线l经过两点()，则方程叫作直线l的两点式方程.

(2)两点式方程的使用方法：

①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当时，直线方程为(或).

③当时，直线方程为(或).4．直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.

(2)直线的截距式方程的适用范围：

选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.

②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.5．直线的一般式方程(1)直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.

对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.

当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.

(2)一般式方程的使用方法：

直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.6．辨析直线方程的五种形式7．方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以

①.

在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.

由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.【题型1直线的点斜式方程】【方法点拨】(1)当直线的斜率存在时，已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用公式求直线方程.(2)若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，此时直线方程为x=；【例1】(2023·全国·高二课时练习）直线的点斜式方程y−y0=kA．任何一条直线

B．不过原点的直线C．不与y轴垂直的直线

D．不与x轴垂直的直线【变式1-1】(2023·全国·高二课时练习）在等腰三角形AOB中，AO=AB，O0,0、A1,3，点B在A．y−1=3x−3 B．C．y−3=3x−1 D．【变式1-2】(2023·四川乐山·高二期末（文））过点A2,1且斜率为2的直线方程为（

A．2x−y+3=0 B．2x−y−3=0C．x−2y+1=0 D．x−2y=0【变式1-3】(2023·全国·高二专题练习）过点P3,−23且倾斜角为135°A．3x−y−53=0 C．x+y−3=0 【题型2直线的斜截式方程】【方法点拨】已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用公式y=kx+b求直线方程.【例2】（2023·全国·高二课时练习）过点P13,−1与P2A．y=25x+C．y=−25x−【变式2-1】（2023·全国·高二课时练习）直线2x+y−3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（

）A．x32+C．y−3=−2(x−0) D．x=−【变式2-2】（2023·辽宁·高一开学考试）已知直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（

）A．±3 B．43 C．−43【变式2-3】(2023·江苏·高二课时练习）已知k∈R，b=k2−2k+3，则下列直线的方程不可能是y=kx+bA． B．C． D．【题型3直线的两点式方程】【方法点拨】已知直线上的两个点，且时，可以直接使用公式求直线方程.

注：①当时，直线方程为(或).

②当时，直线方程为(或).【例3】(2023·全国·高二课时练习）过(1,1),(2,−1)两点的直线方程为（

）A．2x−y−1=0 B．x−2y+3=0C．2x+y−3=0 D．x+2y−3=0【变式3-1】(2023·全国·高二课时练习）已知直线l经过−2,−2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【变式3-2】(2023·全国·高二课时练习）经过两点x1,y1、A．x−x1xC．y−y1x【变式3-3】(2023·全国·高二课时练习）已知直线l过点G1,−3，H−2,1，则直线l的方程为（A．4x+y+7=0 B．2x−3y−11=0 C．4x+3y+5=0 D．4x+3y−13=0【题型4直线的截距式方程】【方法点拨】(1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用公式求直线方程.

(2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.【例4】(2023·全国·高二）已知直线l过点P2,3，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点．若△AOB的面积为12（O为坐标原点），则直线l的截距式方程为（

A．x4+y6=1 B．x8【变式4-1】(2023·全国·高一课时练习）已知△ABC三顶点坐标A(1,2),B(3,6),C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的截距式方程为()A．x4+yC．x6+y【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为【变式4-3】（2023·全国·高一课时练习）已知直线经过点A−5,6和点B−4,8，求直线的一般式方程和截距式方程，并根据方程指出直线在x轴、【题型5直线的一般式方程】【方法点拨】(1)设所求直线的一般式方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0)，根据条件，列出方程（组），解方程（组），得出直线方程.(2)根据条件，选择适当的直线方程形式，设出直线方程，结合条件，进行求解，最后化为直线的一般式方程.【例5】(2023·全国·高二课时练习）直线ax+by+c=0经过第一、三、四象限，则（）A．ab>0,bc>0 B．ab<0,bc>0C．ab>0,bc<0 D．ab<0,bc<0【变式5-1】(2023·全国·高二课时练习）若方程m2−1x+m2A．m≠0 B．m≠1C．m≠−1 D．m≠1且m≠−1且m≠0【变式5-2】(2023·吉林·高二阶段练习（理））经过点A8,−2，斜率为−2的直线方程为（

A．x+2y−4=0 B．x−2y−12=0 C．2x+y−14=0 D．x+2y+4=0【变式5-3】(2023·全国·高二课时练习）关于x、y的方程a2x−ay−1=0(a≠0)表示的直线（图中实线）可能是（A． B．C． D．【题型6由直线的方向向量求直线方程】【方法点拨】根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合直线所过的点，利用点斜式方程的求法即可求出直线方程.【例6】(2023·全国·高二专题练习）过点1,−1且方向向量为−2,3的直线的方程为（

）A．3x−2y−5=0 B．2x−3x−5=0C．3x+2y−1=0 D．2x+3y+1=0【变式6-1】（2023·全国·高二课时练习）过点2,−1且方向向量为1,2的直线的方程为（

）A．y=2x+5 B．y=−2x+5C．y=2x−5 D．y=−2x−5【变式6-2】(2023·上海·高三专题练习）过点(−1,0)，且与直线x+15=y+1A．3x+5y−3=0 B．3x+5y+3=0C．3x+5y−1=0 D．5x−3y+5=0【变式6-3】（2023·全国·高二课时练习）过点P0，1，且以aA．y=−2x+1 B．y＝2x+1 C．y=−12x+1专题2.3直线的方程（一）：直线方程的几种形式-重难点题型精讲1．直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：

设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.

(2)点斜式方程的使用方法：

①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x=x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.2．直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：

设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.

(3)斜截式方程的使用方法：

已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.3．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义：设直线l经过两点()，则方程叫作直线l的两点式方程.

(2)两点式方程的使用方法：

①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当时，直线方程为(或).

③当时，直线方程为(或).4．直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.

(2)直线的截距式方程的适用范围：

选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.

②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.5．直线的一般式方程(1)直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.

对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)，当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.

当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.

(2)一般式方程的使用方法：

直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.6．辨析直线方程的五种形式7．方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以

①.

在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.

由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.【题型1直线的点斜式方程】【方法点拨】(1)当直线的斜率存在时，已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用公式求直线方程.(2)若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，此时直线方程为x=；【例1】(2023·全国·高二课时练习）直线的点斜式方程y−y0=kA．任何一条直线

B．不过原点的直线C．不与y轴垂直的直线

D．不与x轴垂直的直线【解题思路】由点斜式方程的定义可得答案.【解答过程】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．故选：D.【变式1-1】(2023·全国·高二课时练习）在等腰三角形AOB中，AO=AB，O0,0、A1,3，点B在A．y−1=3x−3 B．C．y−3=3x−1 D．【解题思路】设线段OB的中点为M，连接AM，可知AM⊥x轴，求出点B的坐标，进而可求得直线AB的点斜式方程.【解答过程】设线段OB的中点为M，连接AM，∵AO=AB，则AM⊥x轴，则点M所以，直线AB的斜率为k=3所以直线AB的点斜式方程为y−3=−3x−1故选：D．【变式1-2】(2023·四川乐山·高二期末（文））过点A2,1且斜率为2的直线方程为（

A．2x−y+3=0 B．2x−y−3=0C．x−2y+1=0 D．x−2y=0【解题思路】利用点斜式可得出所求直线的方程.【解答过程】由题意可知所求直线的方程为y−1=2x−2，即2x−y−3=0故选：B.【变式1-3】(2023·全国·高二专题练习）过点P3,−23且倾斜角为135°A．3x−y−53=0 C．x+y−3=0 【解题思路】根据直线的点斜式方程即可得出答案.【解答过程】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率k=tan所以直线方程为y+23=−x−故选：D．【题型2直线的斜截式方程】【方法点拨】已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用公式y=kx+b求直线方程.【例2】（2023·全国·高二课时练习）过点P13,−1与P2A．y=25x+C．y=−25x−【解题思路】设所求直线的斜截式方程为y=kx+b，将点P1、P2的坐标代入直线方程，求出k、【解答过程】设所求直线的斜截式方程为y=kx+b，则3k+b=−1−2k+b=1，解得k=−因此，直线P1P2故选：B.【变式2-1】（2023·全国·高二课时练习）直线2x+y−3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（

）A．x32+C．y−3=−2(x−0) D．x=−【解题思路】化方程为斜截式即可.【解答过程】直线2x+y−3=0用斜截式表示为y=−2x+3，故选：B．【变式2-2】（2023·辽宁·高一开学考试）已知直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（

）A．±3 B．43 C．−43【解题思路】求出直线与y轴交点和与x轴交点的坐标，利用面积公式计算即可.【解答过程】对于直线y=kx+4，能与两坐标轴围成三角形，则k≠0，令x=0，得y=4，所以直线与y轴交点坐标为0,4，令y=0，得x=−4k，所以直线与x轴交点坐标为所以直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为12解得k=±4故选：D.【变式2-3】(2023·江苏·高二课时练习）已知k∈R，b=k2−2k+3，则下列直线的方程不可能是y=kx+bA． B．C． D．【解题思路】根据直线斜率k与y轴上的截距b的关系判断选项即可得解.【解答过程】∵b=k∴直线的方程y=kx+b在y轴上的截距不小于2，且当k=1时，y轴上的截距为2，故D正确，当k=−1时，b=6,故B不正确，当b=3时，k=0或k=2，由图象知AC正确.故选：B.【题型3直线的两点式方程】【方法点拨】已知直线上的两个点，且时，可以直接使用公式求直线方程.

注：①当时，直线方程为(或).

②当时，直线方程为(或).【例3】(2023·全国·高二课时练习）过(1,1),(2,−1)两点的直线方程为（

）A．2x−y−1=0 B．x−2y+3=0C．2x+y−3=0 D．x+2y−3=0【解题思路】根据两点式方程直接求解即可.【解答过程】解：∵直线过两点(1,1)和(2,−1)，∴直线的两点式方程为y−(−1)1−(−1)＝x−21−2，整理得故选：C.【变式3-1】(2023·全国·高二课时练习）已知直线l经过−2,−2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【解题思路】根据直线的两点式方程即可求解.【解答过程】由题意知l不与x,y轴平行，故由直线l的两点式方程可得m+21348+2=m−4故选：C.【变式3-2】(2023·全国·高二课时练习）经过两点x1,y1、A．x−x1xC．y−y1x【解题思路】根据两点式直线方程即可求解.【解答过程】当经过x1,y1、x2由于x1,x故选:C.【变式3-3】(2023·全国·高二课时练习）已知直线l过点G1,−3，H−2,1，则直线l的方程为（A．4x+y+7=0 B．2x−3y−11=0 C．4x+3y+5=0 D．4x+3y−13=0【解题思路】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.【解答过程】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为y+31+3=x−1故选：C．【题型4直线的截距式方程】【方法点拨】(1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用公式求直线方程.

(2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.【例4】(2023·全国·高二）已知直线l过点P2,3，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点．若△AOB的面积为12（O为坐标原点），则直线l的截距式方程为（

A．x4+y6=1 B．x8【解题思路】设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论．【解答过程】解：设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，则因为直线l过点P(2,3)，所以2a+联立①②，解得a=4，b=6，故直线l的方程为x4故选：A．【变式4-1】(2023·全国·高一课时练习）已知△ABC三顶点坐标A(1,2),B(3,6),C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的截距式方程为()A．x4+yC．x6+y【解题思路】由中点坐标公式得到点M,N的坐标，即可得到直线MN的两点式方程，由两点式方程转化为截距式方程即可.【解答过程】解：因为△ABC三顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2)，又M为AB的中点，N为AC的中点，由中点坐标公式可得：M(2,4),N(3,2)，则直线MN的两点式方程为：y−42−4=x−2故选：A．【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为x【解题思路】根据已知两点可直接得出.【解答过程】解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3.由截距式可知，方程为x−2故答案为：x−2【变式4-3】（2023·全国·高一课时练习）已知直线经过点A−5,6和点B−4,8，求直线的一般式方程和截距式方程，并根据方程指出直线在x轴、【解题思路】根据直线过A−5,6【解答过程】解：∵直线过A−5,6∴由两点式得y−68−6整理得一般式方程为2x−y+16=0，两边同除以−16，整理得截距式方程为x−8由截距式方程可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为−8、16．【题型5直线的一般式方程】【方法点拨】(1)设所求直线的一般式方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0)，根据条件，列出方程（组），解方程（组），得出直线方程.(2)根据条件，选择适当的直线方程形式，设出直线方程，结合条件，进行求解，最后化为直线的一般式方程.【例5】(2023·全国·高二课时练习）直线ax+by+c=0经过第一、三、四象限，则（）A．ab>0,bc>0 B．ab<0,bc>0C．ab>0,bc<0 D．ab<0,bc<0【解题思路】数形结合根据斜率与截距列不等式求解即可.【解答过程】直线ax+by+c=0经过第一、三、四象限，如图所示，则a≠0,b≠0,c≠0，且−cb<0故选：B．【变式5-1】(2023·全国·高二课时练习）若方程m2−1x+m2A．m≠0 B．m≠1C．m≠−1 D．m≠1且m≠−1且m≠0【解题思路】若Ax+By+C=0表示一条直线，则A,B不能同时为0，即A2【解答过程】当m2−1=0时，m＝1或m＝－1；当m2−m=0时，要使方程m2−1x+m2所以m≠1，故选：B.【变式5-2】(2023·吉林·高二阶段练习（理））经过点A8,−2，斜率为−2的直线方程为（

A．x+2y−4=0 B．x−2y−12=0 C．2x+y−14=0 D．x+2y+4=0【解题思路】先求出直线方程的点斜式，然后化为一般式即可.【解答过程】解：由题意得，经过点A8,−2，斜率为−2的直线方程为y+2=−2即2x+y−14=0.故选：C.【变式5-3】(2023·全国·高二课时练习）关于x、y的方程a2x−ay−1=0(a≠0)表示的直线（图中实线）可能是（A． B．C． D．【解题思路】由题意可得直线的斜率为a，在y轴上的截距为−1a，直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积