浅谈解析几何中的对称问题

1、浅谈解析几何中的对称问题解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在 直线、曲线部分的题型之中。对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称：线(直线 或曲线)关于点成中心对称：点关于线成轴对称：线(直线或曲线)关于线成轴对称。无论 是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年 对称问题也是高考的热点之一。这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对 这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。本人就此谈一 下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。一、中心对称：即关于点的对称问题定义：把一

2、个图形绕某个点旋转180。后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。这个点叫做对称中心。性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中 心平分。1 .点关于点对称例1. 求P (3, 2)关于M (2, 1)的对称点P的坐标。分析：由中心对称的性质得M点是PP，的中点，可求P (1, 0) .小结：P (xo)大相用点 P，(2a-xo,2b-y0)(依据中点坐标公式)。特例 P (xo,yo)一皿P (fo, 一 y。)。2 .直线关于点对称例2. 求直线L：x+y -1=0关于X (3. 0)的对称直线k的方程。分析：思路一：在直线1二上任取一点P (

3、x, y),则它关于M的对称点Q (6-x, 一y),因 为Q点在h上，把Q点坐标代入直线h中，便得到b的方程：x+y5=0。思路二：在L上取一点P(L 0),求出P关于M点的对称点Q的坐标(5, 0)。再由 kn=ki=,可求出直线L的方程x+y5=0。思路三：由k尸心,可设L： Ax+By+C=0关于点出x,yo)的对称直线为Ax+By+C =0 |Axo + Byo + C I lAxo + Byo + C,且一,/一,求出C及对称直线1)的方程x+y-UO,小结：直线关于点对称的情形：(1)直线L：+4v + C = O关于原点的对称直线设所求直线上一点为P(x,y),则它关于原点的对

4、称点为。(一x,y),因为。点在直线L上，故有A(x) + 8(y) + C = O,即 At + 8y C = O：(2)直线人关于某一点的对称直线乙。它的求法分两种情况：晨当加(%,九)在4上时，它的对称直线为过M点的任一条直线。2、当M点不在右上时，对称直线的求法为：解法(一)：在直线上任取一点尸(x,y), 则它关于M的对称点为。(2%-%2汽一)，)，因为。点在上，把。点坐标代入直线在乙 中，便得到的方程。解法(二)：在乙上取一点尸(王,凹)，求出P关于点的对称点。的 坐标。再由K“=K/2，可求出直线的方程。解法(三)：由K=K/2，可设 ll:Ax + By + C = O关于点

5、 M(x),儿)的对称直线为Ax + By + C = O且 |隼+ 3)，o：C| =如。：的。:I求设c，从而可求的及对称直线方程。yA2 +B2 y/A2 +B23 .曲线关于点对称例3. 求直线C y二X?关于M (2, 1)的对称曲线C2的方程。分析：设P (x,y)是曲线C?的任一点，则P点关于X(1, 1)的对称点为Q(4x,2y), 因为Q在。上，把Q点坐标代入曲线C1上，便得到C?的方程：x=-8x+y+14=0o 小结：曲线C： f(x,y)=O矢卜点对 曲线C2： f(2a-x, 2b-y)=0.曲线C2推导过程：设所求曲线上任意一点M(x,y),其关于点P(a,b)对称

6、的点铲(x，,y) 在曲线f(x,y)=O上.用点关于点对称的方法求出点V的坐标后代入曲线f(x,y)=O中即得 所求曲线方程.特例：f(x,y)R 关-点对称,曲线 C2： f(-x, - y)=0。二、轴对称问题：即关于直线的对称问题定义:把一个图形沿着某条直线对折以后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这条直 线对称。这条直线叫做对称轴。性质：关于某条直线对称的两个图形，对称线段平行且相等：对称线段或其延长线相交, 交点一定在对称轴上：对称点的连线都被对称轴垂直平分。1 .点关于直线对称例4.试求P (-3, 5)关于直线1: 3x-4y+4R的对称点P的坐标。分析：直线1是线段PP的垂

7、直平分线。解：设P3, 5)关于直线1的对称点为P (x,y),则PP中点为N( = , 二), 22则有r 3x -4x+4=0 (因为N在直线1上)J 221v-5 3I -x- = -l (因为PP 11)x + 3 4、联立，解得工二3,行-3,所求对称点P (3,-3)。小结：(1)点关于常见直线的对称点的坐标：A (a, b)关于x轴的对称点为A (a,-b)B (a,b)关于y轴的对称点为B (-a, b)C (a,b)关于直线行x的对称点为C (b, a)D (a, b)关于直线y=-x的对称点为D (-b, -a)P (a,b)关于直线x=m的对称点为P (2ma,b)Q (

8、a, b)关于直线y=n的对称点为Q (a, 2n-b)(2)点P(a,b)关于某直线L :Ax + By + C = O的对称点P的坐标。解法(一)：由尸尸LL知，除夕=0=直线尸产的方程一 y = g(x )由 AAAx + By + C = 0, B 可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点P的坐标，yb = (x-a)、 A解法(二)：设对称点P(x,y)由中点坐标公式求得中点坐标为(二，住2：)把中点坐 22标代入L中得到A二+8竺:+。= 0；再由K“ =刍得匕=刍，联立、 22A a- x A可得到产点坐标。解法(三)：设对称点为PUy)，由点到直线的距离公式有 如产+q=43

9、1,再由K3g得0=o由、可得到p，点 坐标。2 .直线关于直线对称例5.求直线L：x-2y+l=0关于直线1: x+y 1=0的对称直线L的方程。分析：思路一：先解L与1组成的方程组，求出交点A的坐标。则交点必在对称直线L上, 由A、B两点可求出直线k的方程。思路二：在k上任取一点P(x, y),则P点关于直线1的对称点Q (x“ yj在直线L 上，再由PQ_L 1得kpQki=-lo又PQ的中点在1上,由此解得xi=f(x,y),yi=g(x,y),把Q(xi, yi)代人h的方程中可求出b的方程。小结：直线乙关于直线/的对称直线/一(I)当4与/不相交时，则/2。在4上取一点PC%，汽)

10、求出它关于/的对称点。的坐 标。再利用外 =月，可求出/，的方程。 当人与/相交时，/、三线交于一点。解法(一)：先解与/组成的方程组，求出 交点A的坐标。则交点必在对称直线，2上。再在人上找一点8,点8的对称点9也在乙上, 由A、8两点可求出直线A的方程。解法(二)：在上任取一点尸(为,%)，则P点关于 直线/的对称点。在直线上，再由PQU，kpQki=-lo又PQ的中点在/上，由此解得 应用一：思维发散1与物理中的光线问题相结合。例7.光线通过点A (2, 3)在直线1： x+y+l=O上反射，反射光线过点B (1, 1),求入 射光线和反射光线所在直线的方程。分析：本题表而上为一道物理中

11、的光线问题，但本质上是数学中点关于线的对称问题。根据 几何光学知识，A关于直线1： x+y+l=O的对称点A在反射光线所在直线上，B关于直线 1： x+y+l=O的对称点B在入射光线所在直线上，所以入射光线即直线AB,反射光线即 直线BA ,应用二：思维发散2与最值问题相结合。例8.已知两点A(2,3),B (4, 1),直线1： x + 2y-2 = 0,在直线1上求一点P.(1)使|尸川+ |回最小；(2)使|241Tp邳最大。解：(1)可判断A,B在直线1的同侧，设A点关于1的对称点上的坐标为(x1,w),则有r X. + 2 - y. + 3 八 八F 2 x 2 = 0,222iz2

12、x(_1)= _ijI 玉 - 222 解得：c玉=一二，I 9 =-o7 由两点式求得直线A：B的方程为,，=打*-4) + 1 ,直线A：B与1的交点可求得为P(,由平而几何知识可知|尸耳+|尸耳最小。(2)由两点式求得直线AB的方程为)，1 = “一4),即x+)， 5 = 00直线AB与1的交点可求得为P(8, -3),它使|尸4-卢训最大。【变题引申】求函数y =正+ 9 + 8+ 41的最小值解:因为y = J(x- 0)2+(0 - 3尸+ J-4尸+(0 5)2，所以函数丫是x轴上的点p区0) 与两定点A(0,3)、B(4,5)距离之和，y的最小值就是|PA| + |P囿的最小值。由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A (0, -3),则|PA| 十 |P目的最小值等于 |A卦即，(4-0)2+。+ 3)2 =475,即)，=4不。思悟小结1 .对称问题分为点对称和轴对称，点对