2023-2024学年四川省阿坝藏族羌族自治州高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省阿坝藏族羌族自治州高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z=2−i，则|z−z|=(    )．A.2 B.2i C.2 D.2.若|a|=2，a与b夹角为60∘，且b⊥(aA.32 B.1 C.33.已知tanα=2，α为锐角，则sin(α+πA.−1010 B.1010 4.将函数f(x)=sinx的图象先向左平移π3个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)的一条对称轴可能为(    )A.5π12 B.π12 C.5π35.已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且α∩β=m，给出下列四个命题： ①若m/​/n，则n/​/α或n/​/β ②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β ③若α⊥β，γ⊥β，则α/​/γ ④若γ∩β=n，m/​/n，则γ//α则上述命题中正确的个数为(    )．A.0 B.1 C.2 D.36.同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子，则所得点数之差绝对值小于2的概率为(    )．A.23 B.59 C.497.羌族是中国西部地区的一个古老民族，被称为“云朵上的民族”，其建筑颇具特色.碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑，一般多建于村寨住房旁.现有一碉楼，其主体部分可以抽象成正四棱台ABCD−A1B1C1D1，如图，已知该棱台的体积为224m3，AB=8m，A.3 B.322 C.8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，A=60∘，设O，G分别是△ABC的外心和重心，则AO⋅AGA.12 B.13 C.14二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a=(1,λ)，b=(λ+2,3)，则(    )．A.“λ=1”是“a/​/b”的必要条件

B.“λ=−3”是“a/​/b”的充分条件

C.“λ=−12”是“a⊥b10.已知一组样木数据x1，x2，⋯，x20，(x1A.该样本数据的第60百分位数为x12

B.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数

C.若样本数据的方差s2=120i=120xi2−25，则这组样本数据的总和为100

D.若由y11.如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，AB=BC=2，AA′=4，N为棱C′D′中点，D′M=12，P为线段A′B上一动点，下列结论正确的是(    )．

A.线段DP长度的最小值为655

B.存在点P，使AP+PC=23

C.存在点P，使A′C⊥平面MNP

D.以B为球心，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.习主席曾提出“绿水青山就是金山银山”的科学论断，为响应国家号召，农学专业毕业的小李回乡创业，在自家的田地上种植了A，B两种有机生态番茄共5000株，为控制成本，其中A品种番茄占40%.为估计今年这两种番茄的总产量，小李采摘了10株A品种番茄与10株B品种番茄，其中A品种番茄总重17kg，B品种番茄总重23kg，则小李今年共可收获番茄约

kg．13.已知三棱锥A−BCD，△ABC是边长为2的等边三角形，△BCD是面积为2的等腰直角三角形，且平面ABC⊥平面BCD，则三棱锥A−BCD的外接球表面积为

．14.在△ABC中，AB⊥AC，AB=4，AC=3，P为斜边BC上一动点，点Q满足|PQ|=2，且AQ=mAB+nAC，则2m+n的最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是(Ⅰ)当F是AB的中点时，证明：平面EFO//平面A(Ⅱ)当F是靠近B的三等分点时，求异面直线FO与A1C16.(本小题15分)

2024年4月26日，主题为“公园城市、美好人居”的世界园艺博览会在四川成都正式开幕，共建成113个室外展园，涵盖了英式、法式、日式、意式、中东、东南亚等全球主要园林风格，吸引了全球各地游客前来参观游玩.现从展园之一的天府人居馆中随机抽取了50名游客，统计他们的参观时间(从进入至离开该展园的时长，单位：分钟，取整数)，将时间分成[45,55)，[55,65)，⋯，[85,95]五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

(Ⅰ)求图中a的值;(Ⅱ)由频率分布直方图，试估计该展园游客参观时间的第75百分位数(保留一位小数);(Ⅲ)由频率分布直方图，估计样本的平均数x(每组数据以区间的中点值为代表)．17.(本小题15分)甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下：在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球;若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权;比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局．已知在每回合中，甲获胜的概率均为23(Ⅰ)求甲至少赢1个回合的概率;(Ⅱ)求第二回合中有选手得分的概率;(Ⅲ)求甲乙两人在比赛中平局的概率．18.(本小题17分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，c=2，asinA+csinC=2bsinB.D是线段AC上的一点，满足AD=13AC，过D作一条直线分别交射线(Ⅰ)求b，并判断△ABC的形状;(Ⅱ)求BD的长;(Ⅲ)求BM⋅BN19.(本小题17分)

如图，斜三棱柱A1B1C1−ABC中，∠ABC=90∘，四边形ABB1A1是菱形，D为AB中点，A1D⊥平面ABC，点A

(Ⅰ)求证：CB⊥平面AB(Ⅱ)求A1C与平面BC(Ⅲ)若E，F分别为AA1，AC的中点，求此斜三棱柱被平面B1参考答案1.C

2.B

3.D

4.D

5.B

6.C

7.A

8.B

9.BC

10.BCD

11.AC

12.10300

13.28π314.1315.证明：(Ⅰ)由正方体可知，O，E是AC，AA1中点，F是AB中点，

因此OE为△A1AC的中位线，OF为△ABC的中位线，

故OE//A1C，OF//BC//A1D1．

又由于A1D1，A1C⊂平面A1D1C，OF，OE⊄平面A1D1C，

所以有OE/​/平面A1D1C，OF/​/平面A1D1C.

且OE∩OF=O，OE，OF⊂平面EFO，

故平面EFO//平面A1D1C.

(Ⅱ)由OE//A1C可知，异面直线FO与A1C所成角即为∠EOF或其补角．

由于AA1⊥平面ABCD，AB，AO⊂平面ABCD，

所以有∠EAF=∠EAO=90∘．

由题意得16.解：(Ⅰ)由样本频率分布直方图可知(0.01+2a+0.025+0.035)×10=1，解得a=0.015;

(Ⅱ)样本频率直方图前三组频率之和为(0.010+0.025+0.035)×10=0.7<0.75，

前四组频率之和为(0.010+0.025+0.035+0.015)×10=0.85>0.75，

所以样本数据的第七十五百分位数在第四组内，

设其为x，则(x−75)×0.015+0.70=0.75，解得x=78.3，

所以样本数据的第七十五百分位数为78.3．

由样本估计总体，估计该展园游客参观时间的第七十五百分位数也为78.3;

(Ⅲ)x=0.01×10×50+0.035×10×60+0.025×10×70+0.015×10×80+0.015×10×90，

计算可得，样本的平均数

17.解：(Ⅰ)设事件Ai=“第i回合甲胜”，

事件M=“甲至少赢一回合”，

故M=“甲每回合都输”．Ai，Ai为对立事件，P(Ai)=23，故P(Ai)=13．

P(M)=1−P(M)=1−P(A1A2A3)

=1−P(A1)P(A2)P(A3)=1−(13)3=2627，

故甲至少赢1个回合的概率为2627．

(Ⅱ)设事件N=“第二回合有人得分”，

18.解：(Ⅰ)由正弦定理得，a2+c2=2b2，解得b=10．

又因为b2+c2−a2=−2<0，

故cosA=b2+c2−a22bc<0，则A>π2，

所以△ABC是钝角三角形．

(Ⅱ)由平面向量基本定理，BA，BC可作为一组基底向量，

且有|BA|=2，|BC|=4，

cos<BA，BC>=cosB=a2+c2−b22ac=58．

由于AD=13AC，所以BD=23BA19.解:(Ⅰ)因为A1D⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故A1D⊥BC．

又由∠ABC=90∘，即AB⊥BC，AB∩A1D=D，因此BC⊥平面ABB1A1．

(Ⅱ)由于菱形ABB1A1，且A1D为AB的垂直平分线，因此可知△A1AB和△B1A1B均为等边三角形．

由BC⊥平面ABB1A，BB1⊂平面ABB1A，可得BC⊥BB1，

结合斜三棱柱进一步可得B1BCC1是矩形．

此时作A1P⊥BB1，A1Q⊥CC1，连接PQ，PC，A1C.由题知，A1Q=2，A1P⊂平面ABB1A1，可