2021年中考数学模拟试题(51)(解析版)

2021年中考数学模拟试题一、单选题1．下列算式中，运算错误的是（）A． B．C． D．＝3【答案】C【解析】根据二次根式的加减法则，乘法，除法，乘方法则计算判断即可.解：∵，正确，∴A选项不合题意；∵，正确，∴B选项不合题意；∵，无法计算，∵C选项符合题意；∵﹣＝3，正确，∴D选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式运算的基本法则是解题的关键.2．下列算式能用平方差公式计算的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】平方差公式为：（a+b）（a-b）=a2-b2，其特点是等式左边有两项完全一样，有两项是相反数关系，据此可解．解：A：没有两项完全相同，也没有两项属于相反数，故不能用平方差公式计算；B：和是相反数，-1和-1是相同项，故可以用平方差公式计算；C：x与-x是相反数，-y与y也是相反数，故不能用平方差公式计算；D：-a和a是相反数，-b和b也是相反数，故不能用平方差公式计算；综上，只有选项B符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平方差公式的形式识别，明确等式左边的特点，是解题的关键．3．甲乙两个超市为了促销一种定价相等的商品，甲超市连续两次降价10%，乙超市一次性降价20%，在哪家超市购买同样数量的这种商品最合算（）A．甲 B．乙 C．相同 D．不能确定【答案】B【解析】此题可设原价为x元，分别计算出两超市降价后的价钱，再比较即可．解：设原价为x元，则甲超市价格为x×（1-10%）×（1-10%）=0.81x乙超市为x×（1-20%）=0.8x，0.81x＞0.8x，所以在乙超市购买合算．故选：B．【点睛】本题考查列代数式，分别计算降价后的价格是原价的百分之多少是解题关键．渗透了转化思想．4．如图，在中，于点，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根据题目已知条件推出∽，则可得，然后根据，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而得出的值，∵在中，，∴,∵于点，∴，∴，，∴∽，∴，即，，∵，∴设，，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角形的性质，解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长．5．已知，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，逐一判断选项，即可．解：∵，∴，故A选项不成立，∵，∴，故B选项不成立，∵，∴，故C选项不成立，∵，∴，故D选项成立，故选D．【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解题的关键．6．若一次函数（都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据一次函数图像在坐标平面的位置，可先确定的取值范围，在根据的取值范围确定一次函数图像在坐标平面的位置，即可求解．根据一次函数经过一、二、四象限，则函数值随的增大而减小，可得；图像与轴的正半轴相交则，因而一次函数的一次项系数，随的增大而增大，经过一三象限，常数，则函数与轴的负半轴，因而一定经过一、三、四象限，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图像与系数的关系，解题关键是根据已知函数图像的位置确定的取值范围．7．为了让市民享受到更多的优惠，相关部门拟确定一个折扣线，计划使左右的人获得折扣优惠．某市针对乘坐地铁的人群进行了调查．调查小组在各地铁站随机调查了该市人上一年乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制了频数分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（）①每人乘坐地铁的月均花费最集中的区域在元范围内；②每人乘坐地铁的月均花费的平均数范围是元范围内；③每人乘坐地铁的月均花费的中位数在元范围内；④乘坐地铁的月均花费达到元以上的人可以享受折扣．A．①④ B．③④ C．①③ D．①②【答案】A【解析】根据频数分布直方图中的数据，求得平均数，中位数，众数，即可得出结论．①根据频数分布直方图，可得众数为元范围，所以每人乘坐地铁的月均花费最集中的区域在元范围内，故①正确；②每人乘坐地铁的月均花费的总数为，则平均数元，所以每人乘坐地铁的月均花费的平均数范围不在元范围内，故②错误；③每人乘坐地铁的月均花费的中位数约为，不在元范围内，故③错误；④为了让市民享受到更多的优惠，使左右的人获得折扣优惠，则乘坐地铁的月均花费达到元以上的人可以享受折扣，故④正确．故选：A．【点睛】本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数以及众数的应用，注意求中位数时需要将数据排序是解题的关键．8．已知抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，则b的值为（）A．4 B．2 C．6 D．9【答案】D【解析】根据抛物线y=x2+mx+n与x轴只有一个公共点，可知△=0，从而可以得到m与n的关系，再根据抛物线y=x2+mx+n过点A（a，b），B（a-6，b），可以得到a和m的关系，从而可以求得b的值．解：∵抛物线y=x2+mx+n与x轴只有一个公共点，∴△=m2-4×1×n=m2-4n=0，∴n=m2，∵抛物线y=x2+mx+n过点A（a，b），B（a-6，b），∴b=a2+ma+n，b=（a-6）2+m（a-6）+n，∴a2+ma+n=（a-6）2+m（a-6）+n，化简，得a=，∴b=a2+ma+n=（）2+m×（）+m2=9，故选：D．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出b的值．9．如图，点在上，是的直径，若，则的度数为（）A．25° B．50° C．65° D．75°【答案】C【解析】根据直径所对的圆周角是直角可得，利用直角三角形两锐角互余得到，根据同弧所对的圆周角相等即可求解．解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，根据直径所对的圆周角是直角得到是解题的关键．10．已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1<y2，（）A．若x1<x2，则x1+x2﹣2＜0 B．若x1<x2，则x1+x2﹣2>0C．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）＞0 D．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）<0【答案】D【解析】根据二次函数的性质和题目中的条件，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1<y2，∴若,,则可能出现，故选项A错误；若，，则x1+x2﹣2＜0，故选项B错误；若，，则x1+x2﹣2＜0，则a（x1+x2-2）＜0，故选项C错误；若，x1＞x2，则x1+x2﹣2＜0，则a（x1+x2-2）<0；若，x1＞x2，则x1+x2﹣2＞0，则a（x1+x2-2）<0；故选项D正确；故选：D.【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题11．当______时，分式值为零．【答案】﹣2．【解析】根据分式值为零及分式成立的条件求解即可．解：要使分式为零，则分子x2﹣4＝0解得：x＝±2，而x＝﹣2时，分母x﹣2＝﹣4≠0，x＝2时分母x﹣2＝0，分式没有意义，所以x的值为﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了分式值为零的条件，分母为零分式无意义，分子为零且分母不为零分式的值为零．12．如图，直线，直线c与直线a、b相交．已知，，则________度．【答案】34【解析】先根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可得．如图，，，，，故答案为：34．【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差，熟练掌握平行线的性质是解题关键．13．若多项式的值为3．则的值是________．【答案】8【解析】依据等式的性质求得4m-2n的值，然后代入计算即可．解：∵2m-n=3，

∴4m-2n=6．

∴=6+2=8．

故答案为：8．【点睛】本题考查了求代数式的值，利用等式的性质得到4m-2n的值是解题的关键．14．如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为__________．【答案】+1【解析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK=，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故答案为：+1．【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．15．在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____．【答案】20【解析】利用频率估计概率，设原来红球个数为x个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x的方程，解方程即可得.设原来红球个数为x个，则有=，解得，x=20，经检验x=20是原方程的根.故答案为20.【点睛】本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键.16．中，，，，对角线AC，BD交于点O，将绕点O顺时针旋转，使点D落在AD上处，点C落在处，交AD于点P，则的面积是___________．

【答案】【解析】过点作，作，，，，为垂足，根据，，，可证是直角三角形，，可求△各边长，以及的长，由可求的长，即可求的面积．解：过点作，作，，，，为垂足，

，，，，，．，，，是平行四边形，，，，，在中，，旋转，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，且，，，故答案为．【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是灵活运用这些性质解决问题．三、解答题17．对于方程＝1，某同学解法如下：解：方程两边同乘6，得3x﹣2（x﹣1）＝1①去括号，得3x﹣2x﹣2＝1②合并同类项，得x﹣2＝1③解得x＝3④∴原方程的解为x＝3⑤（1）上述解答过程中的错误步骤有（填序号）；（2）请写出正确的解答过程．【答案】（1）错误步骤在第①②步．（2）x＝4.【解析】（1）第①步在去分母的时候，两边同乘以6，但是方程右边没有乘，另外在去括号时没有注意到符号的变化，所以出现错误；（2）注重改正错误，按以上步骤进行即可．解：（1）方程两边同乘6，得3x﹣2（x﹣1）＝6①去括号，得3x﹣2x+2＝6②∴错误步骤在第①②步．（2）方程两边同乘6，得3x﹣2（x﹣1）＝6去括号，得3x﹣2x+2＝6合并同类项，得x+2＝6解得x＝4∴原方程的解为x＝4【点睛】本题考查的解一元一次方程，注意去分母与去括号中常见错误，符号也经常是出现错误的原因．18．某校九（1）班同学在街头随机调查了一些骑共享单车出行的市民，并将他们对各种品牌单车的选择情况绘制成如下两个不完整的统计图（A：摩拜单车；B：ofo单车；C：HelloBike）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求出本次参与调查的市民人数；（2）将上面的条形图补充完整；（3）若某区有10000名市民骑共享单车出行，根据调查数据估计该区有多少名市民选择骑摩拜单车出行？【答案】（1）200人；（2）答案见解析；（3）3000名．【解析】（1）根据B品牌人数与所对应的百分比，计算可得总人数．（2）总人数分别乘A、D所占百分比，求出其人数，补全图形．（3）总人数乘样本中A的百分比即可得．解：（1）本次参与调查的市民人数（人）；（2）A品牌人数为（人），D品牌人数为（人），补全图形如下：（3）（人），∴估计该区有3000名市民选择骑摩拜单车出行．【点睛】本题考查条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题关键．19．已知：如图，在的中，是角平分线，E是上一点，且．求证：（1）．（2）是等腰三角形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）利用两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似证明△ABE∽△ACD，即可证明；（2）利用得出，再根据平角的定义得出，进而得出结论．证明：（1）∵是角平分线，∴，又∵，∴，（2）∵，∴，∴180°-∠3=180°-∠4，即，∴．即△BDE是等腰三角形．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．20．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．（1）分别求出当时，两个函数：的最大值和最小值；（2）若的值不大于2，求符合条件的x的范围；（3）若，当时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围．【答案】（1）的y最小＝5，y最大＝9，的y最小＝3，y最大＝19；（2）或；（3）a＜0．【解析】（1）结合一次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y＝2x＋1的最大值和最小值；根据二次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y＝2（x−1）2＋1的最大值和最小值；（2）令≤2，解之即可得出x的取值范围；（3）分别从以下两种情况分类讨论：①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，得到无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，得到y≤有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y＝无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤有最小值，无最大值，于是得到结论．解：（1）∵中，∴y随x的增大而增大，∴当时，y最小＝5；当时，y最大＝9．∵中，且抛物线的对称轴为，∴当时，y最小＝3；当时，y最大＝19．（2）令，解得：或，∴符合条件的x的范围为或．（3）如图所示，从下面两种情况进行讨论：①当k＞0时，如左图得当0＜x≤2时，无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤有最大值，无最小值；②当k＜0时，如右图得当0＜x≤2时，无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤有最小值，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，解题的关键是根据一次（二次）函数的性质解决最值问题，根据题意找出相关数量关系列出不等式进行求解．21．如图，在中，．将线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接．（1）求证：；（2）点H在边上（不含端点），且，连接交于点N．请在答卷上将图形补充完整并解答：①判断与的位置关系，并证明你的结论；②若和的面积分别为a和b，求四边形的面积（用含a和b的代数式表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）①，证明见解析；②．【解析】（1）证明△FAD≌△FAB（SAS）即可解决问题；（2）①首先证明四边形ABCD是正方形，再证明∠BAH=∠CBF即可解决问题；

②设设，，再根据△ABH≌△DCE，△BCF≌△DCF，得出，进而求解．（1）证明：如图1中，∵，∴，∵线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，∴，∴．∵，∴，∴．（2）①解：结论：．理由：如图2中，连接．∵，∴．∵，∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是矩形．∵，∴四边形是正方形．∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．②如图2，△ABH≌△DCE，△BCF≌△DCF，设，，则，∴=(x+y+b)+b=x+y+2b，，即a+x=x+y+2b，∴y=a-2b．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．22．如图，已知抛物线经过，，三点．过点作垂直于轴的直线．在抛物线上有一动点，过点作直线平行于轴交直线于点．连结．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点，使得以三点构成的三角形与相似．如果存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由（3）当点位于抛物线的对称轴的右侧．若将沿对折，点的对应点为点．求当点落在坐标轴上时直线的解析式．【答案】（1）；（2）存在，，，，，，；（3），，【解析】（1）将，，分别代入抛物线，列出方程组，即可求出函数解析式．（2）当在下方时，令，，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；当在y轴左侧和上方时，令，，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；（3）画出函数图形，利用三角形相似，求出点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式．解：（1）将，，分别代入抛物线得，，解得，函数解析式为．（2）在下方时，令①，，即，由于，则有，解得（舍去）或，此时，，点坐标为，．②，，即，由于，则有，解得，（舍去）或，点坐标为．③在y轴左侧时，令，，即，，，解得，（舍去）或，点坐标为．④P在l上方时，，，即，解得，（舍去）或，点坐标为，．（3）①如图（1），若对称点在轴，则，设解析式为，则或，当时，把代入得，当时，把代入得，此时在对称轴右侧，符合题意，，或；②如图（2），若对称点在轴，设点，，则，．则有，，，，，解得：，，中，由勾股定理得，，解得，，均在抛物线对称轴的右侧，故点的坐标为或．设一次函数解析式为，把，，分别代入解析式得，解得，函数解析式为．把，，分别代入解析式得，解得，函数解析式为．综上所述，函数解析式为，，．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法、二次函数解析式、相似三角形的性质、翻折变换、待定系数法求一次函数解析式等，题目错综复杂，涉及知识面广，旨在考查逻辑思维能力．23．我们规定：对角互补的四边形，若其中一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们就把这个四边形成为奇特四边形．这条对角线称之为奇特线．（1）如图1，四边形ABCD是奇特四边形，AD∥BC（AD≠BC），奇特线AC恰好平分∠BCD，求∠B的度数．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，DO⊥BC，，求证：四边形ABCD为奇特四边形．（3）在（2）的条件下，连接BD，AC，若AB＝a，BD＝b，请用含a，b的代数式表示AC．（4）如图3，在（2）的条件下，连结BO并延长交CD于点E，交⊙O于点F，连结FC，设tan∠FCD＝x，＝y，求y与x之间的函数关系式．【答案】（1）∠B＝72°；（2）见解析；（3）AC＝；（4）y与x之间的函数关系式为y＝（1﹣x2）．【解析】（1）由奇特四边形的定义得∠BAD+∠BCD=180°，∠B+∠D=180°，由平行线的性质得∠D+∠BCD=180°，则∠B=∠BCD，证出△ADC和△ABC为等腰三角形，证∠DAC=∠ACB=∠ACD，则AD=CD，分三种情况，①当AB=AC时，②当AB=BC时，③当AC=BC时，分别求解即可；

（2）连接BD，由圆内接四边形的性质得∠A+∠C=∠ABC+∠ADC=180°，证出AB=AD，OD所在的直线垂直平分BC，则BD=CD，进而得出结论；

（3）作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，证△BMD≌△CND（AAS），得BM=CN，由角平分线的性质得AN=AM，由三角函数得BM=CN=，进而得出答案；

（4）连接BD，延长DO交BC于P、交⊙O于M，连接BM，由圆周角定理得∠BCF=90°，证OP是△BCF的中位线，∠ODC=∠DCF，∠DOF=∠OFC，则CF=2OP，△ODE∽△FCE，得，证，由垂径定理得∠BDO=∠CDO=∠FCD，则BP=DP•tan∠FCD=DP•x，PM=BP•tan∠FCD=DP•x2，进而得出结论．（1）解：∵四边形ABCD是奇特四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∠B+∠D＝180°，∵AD∥BC，∴∠D+∠BCD＝180°，∴∠B＝∠BCD，∵AC为奇特线，∴△ADC和△ABC为等腰三角形，∵AC平分∠BCD，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝∠ACD，∴AD＝CD，∵△ABC为等腰三角形，①当AB＝AC时，∠B＝∠