第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025领航备考路径新课标核心考点2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.古典概型、排列组合第3题第6题

第5题第5题第13题第3题2.二项式定理

第13题

3.正态分布、相互独立

第8题第6题

第13题

第12题4.概率分布列、期望、方差

第18题第21题

第19题第21题

优化备考策略考情分析:1.概率与统计在高考命题中常整体统筹,本章在高考中至少命制一道小题,而解答题则要么倾向于考查概率和分布列,要么侧重成对数据的统计分析,有时也把二者融合命题.2.从考查内容上看,选择、填空题中主要考查排列组合、古典概型、条件概率、正态分布等,解答题常以现实生产、生活、科技等真实情境为背景,考查离散型随机变量分布列、期望、方差等,多与独立事件、超几何分布、二项分布等交汇,难度中高等.复习策略:1.重视条件概率与全概率公式等知识,在理解的基础上能熟练运用相关公式计算.2.本部分题目多以实际问题为背景,一般阅读量较大,需要重视阅读理解训练,抓住材料本质,提炼关键内容,通过数学建模达到处理题目信息的目的.3.提升运算正确率,理清几种特殊分布,尤其是二项分布和超几何分布,平时多注意数学运算的训练,力求会的题目做对.课标解读1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类”和“步”.2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理两个基本计数原理

名称分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N=

种不同的方法

完成这件事共有N=

种不同的方法

依据能否独立完成整件事能否逐步完成整件事

类类独立,不重不漏

步步相依,步骤完整

m+nm×n名称分类加法计数原理分步乘法计数原理推广完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法微点拨1.分类加法计数原理中,完成一件事的各种方法是相互独立的.从集合角度看,如果完成一件事有A,B两类方案,集合A与B的交集为空集,在A中有m1个元素(m1种方法),在B中有m2个元素(m2种方法),则完成这件事的不同方法的种数即为集合A∪B中元素的个数,即m1+m2.2.分步乘法计数原理中,必须且只需连续完成n个步骤后才能完成这件事,各个步骤之间不重复、不遗漏.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(

)2.在分类加法计数原理中,每类方案中的每种方法都能直接完成这件事.(

)3.在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(

)4.在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(

)×√√×题组二回源教材5.(人教A版选择性必修第三册习题6.1第2题改编)如图,从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路;从甲地到丙地有2条路,从丙地到丁地有4条路.则从甲地到丁地不同的路线有(

)A.11条

B.12条 C.13条

D.14条

D解析

从甲到丁分为两类,第一类,从甲过乙到丁分两步,从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路,由分步乘法计数原理得,从甲到丁有6条路线;第二类,从甲过丙到丁分两步,从甲地到丙地有2条路,从丙地到丁地有4条路,由分步乘法计数原理得,从甲到丁有8条路线.再由分类加法计数原理得,从甲到丁共有6+8=14(条)路线.6.(人教B版选择性必修第二册3.1.1节练习B第3题)已知n是一个小于10的正整数,且由集合A={x|x∈N*,x≤n}中的元素可以排成数字不重复的两位数共20个,求n的值.解

第一步:排十位上的数,有n种方法.第二步:排个位上的数,有(n-1)种方法.由n(n-1)=20,解得n=5或n=-4(舍去),故n的值是5.题组三连线高考7.(2023·全国乙,理7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(

)A.30种

B.60种 C.120种

D.240种C8.(2015·四川,理6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有(

)A.144个 B.120个

C.96个

D.72个B解析

根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4,5其中1个,末位数字为0,2,4中其中1个,分两种情况讨论:①首位数字为5时,末位数字有3种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有

=24种情况,此时比40

000大的偶数有3×24=72(个);②首位数字为4时,末位数字有2种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有

=24种情况,此时比40

000大的偶数有2×24=48(个).综上,比40

000大的偶数共有72+48=120(个).2研考点精准突破考点一分类加法计数原理例1(1)甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有(

)A.4种

B.6种

C.10种

D.16种B解析

分两类:甲第一次踢给乙时,有3种满足条件的传递方式(如图);同理,甲第一次踢给丙时,满足条件的也有3种传递方式,由分类加法计数原理,可知不同传递方式的种数为3+3=6.故选B.(2)椭圆1(m>0,n>0)的焦点在x轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为

.

10

解析

因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>n,以m的值为标准分类,分为四类.第一类:m=5时,n有4种选择;第二类:m=4时,n有3种选择;第三类:m=3时,n有2种选择;第四类:m=2时,n有1种选择.由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有4+3+2+1=10(个).[对点训练1](2024·江苏宿迁模拟)如图,一条电路从A处到B处接通时,可以有

种不同的线路(每条线路仅含一条通路).

9解析

依题意按上、中、下三条线路可分为三类:上线路中有2种;中线路中只有1种;下线路中有2×3=6(种).根据分类加法计数原理,共有2+1+6=9(种).考点二分步乘法计数原理例2(1)(2024·辽宁大连模拟)某天的值日工作由4名同学负责,且其中1人负责清理讲台,另1人负责扫地,其余2人负责拖地,则不同的分工方法共有

种.

12解析

根据题意,分3步分析:③剩下的2人负责拖地,有1种情况,则有4×3×1=12种不同的分工方法.(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项恰好报一人,且每人至多参加一项,则共有

种不同的报名方法.

120

解析

每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有6×5×4=120(种).变式探究1(换条件)本例(2)中若将条件“每项恰好报一人,且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项,每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法?解

每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有36=729(种).变式探究2(换条件)本例(2)中若将条件“每项恰好报一人,且每人至多参加一项”改为“每项恰好报一人,但每人参加的项目不限”,则有多少种不同的报名方法?解

每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参加,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有63=216(种).[对点训练2](多选题)现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是(

)A.所有可能的方法有34种B.若甲工厂必须有同学去,则不同的安排方法有37种C.若同学A必须去甲工厂,则不同的安排方法有12种D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种BD

解析

A.三位同学依次选择都有4种方法,根据分步乘法计数原理所有可能的方法有4×4×4=64(种),A错误;B.因为所有可能的方法有64种,甲工厂没有同学去有3×3×3=27(种),故甲工厂必须有同学去有64-27=37(种),B正确;C.同学A必须去甲工厂,另外两名同学到工厂各有4种方法,故有4×4=16(种),C错误;D.三名同学所选工厂各不相同,不同的安排方法有

=24(种),D正确.故选BD.考点三两个计数原理的综合应用(多考向探究预测)考向1与数字有关的问题例3用0,1,2,3,4,5这六个数字.(1)可以组成多少个数字不重复的三位数;(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数;(3)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数.解

(1)若组成的数字为数字不重复的三位数,则首位数字不为零,个位和十位的数字无限制,所以组成数字不重复的三位数个数为5×5×4=100(个).(2)若组成的数字为数字允许重复的三位数,则首位数字不为零,个位和十位的数字无限制,所以组成数字允许重复的三位数的个数为5×62=180(个).(3)若组成的数字为数字不重复的小于1

000的自然数,分以下三种情况讨论:①数字为个位数,共6个;②数字为两位数,则首位不能为零,个位无限制,共5×5=25(个);③数字为三位数,由(1)知,共有100个.综上所述,数字不重复的小于1

000的自然数个数为6+25+100=131(个).[对点训练3](2024·河南新乡模拟)用0,2,3,4,5五个数组成无重复数字的四位数,则四位数共有

个,其中偶数共有

个.

9660

解析

由题可知,满足条件的四位数共有4×4×3×2=96个;其中偶数分为个位数是0和个位数不是0,若这个偶数的个位数是0,则有考向2涂色(种植)问题例4(2024·河北唐山模拟)如图,某城区的一个街心花园共有五个区域,中心区域⑤是代表城市特点的标志性塑像,要求在周围①②③④四个区域内种植鲜花,现有四个品种的鲜花供选择,要求每个区域只种一个品种且相