2025八年级上册数数学(RJ)12.2 第4课时“斜边、直角边”

2025八年级上册数数学(RJ)12.2第4课时“斜边、直角边”第十二章全等三角形教学备注学生在课前完成自主学习部分教学备注学生在课前完成自主学习部分1.情景引入（见幻灯片3-6）第4课时“斜边、直角边”学习目标：1.经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.2.掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题.3.在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单推理.重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题．难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题．自主学习自主学习一、知识链接1.我们学过的判定三角形全等的方法有______________.2.如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）；若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）；若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）.二、新知预习1.如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E.（1）△ABC与△DEF全等吗？（2）若∠B=∠E=90°，猜想Rt△ABC是否全等于Rt△DEF.动手画一画.三、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

教学备注配套PPT讲授2.探究点1新知讲授教学备注配套PPT讲授2.探究点1新知讲授（见幻灯片7-21）课堂探究要点探究探究点1：直角三角形全等的判定--“斜边、直角边”问题1：两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？问题2：两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？问题3：两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？做一做：任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？要点归纳：相等的两个直角三角形全等(简称“斜边、直角边”或“HL”).几何语言：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，典例精析例1：如图，∠ACB=∠ADB=90，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）【变式1】如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.

教学备注3.课堂小结【变式2】如图：AB⊥AD，CD⊥教学备注3.课堂小结例2：如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？针对训练已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.二、课堂小结直角三角形判定简称图示符号语言斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等“斜边、直角边”或“HL”∴Rt△ABC≌Rt△A1B1C1(HL)．注意：利用“斜边、直角边”来证明两个三角形全等的前提条件是在直角三角形中.

当堂检测教学备注配套PPT当堂检测教学备注配套PPT讲授4.当堂检测（见幻灯片22-28）1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点EAD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为（）A．1B．2C．3D．4第2题图第3题图3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）.4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.5.如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.【变式1】如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF.【变式2】如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?第十二章全等三角形教学备注学生在课前完成自主学习部分1.复习引入教学备注学生在课前完成自主学习部分1.复习引入（见幻灯片3-5）第1课时角平分线的性质学习目标：1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.重点：掌握角的平分线的性质定理，用直尺和圆规作角的平分线.难点：角平分线定理的应用.自主学习自主学习一、知识链接1.判定两个三角形全等的方法有哪几种？2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，则∠=∠.过点D作DE⊥BC，垂足为E，则图中线段的长度表示点D到BC的距离.二、新知预习1.OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论PDPE第一次第二次第三次下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则PD＝PE的是（）ABCD3.猜想：角平分线的性质：角平分线上任意一点到两边的相等.三、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

教学备注配套PPT讲授2.探究点1新知讲授教学备注配套PPT讲授2.探究点1新知讲授（见幻灯片6-8）3.探究点2新知讲授（见幻灯片9-18）课堂探究要点探究探究点1：角平分线的尺规作图活动1：如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?活动2：已知∠AOB，类比平分角仪器的原理，用尺规作∠AOB的平分线．并书写主要步骤.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？注意:作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握.针对训练已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分线.探究点2：角平分线的性质画一画：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.证明结论：已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.要点归纳：角的平分线上的点到角的两边的相等.应用所需要的条件：（1）（2）（3）几何语言：∵OP是∠AOB的平分线，∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴教学备注配套PPT讲授教学备注配套PPT讲授例1:已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.方法总结：先利用角平分线的性质定理得到对应线段相等，再利用这个条件证明我们需要证明的两个三角形全等.例2:如下左图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=______cm..变式：如上右图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.（2）求△APB的面积.（3）求△PDB的周长.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．针对训练1.如图1，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A.PD=PEB.OD=OEC.∠DPO=∠EPOD.PD=OD2.如图2，Rt△ABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm3.如图3，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

二、课堂小结属于基本作图，必须熟练掌握尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握尺规作图一个点：角平分线上的点；一个点：角平分线上的点；角平分线角平分线性质定理二距离：点到角两边的距离；性质定理二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等两相等：两条垂线段相等过角平分线上一点向两边作垂线段添加辅助线过角平分线上一点向两边作垂线段添加辅助线当堂检测当堂检测如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=度，BE=.第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图，△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是.3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5