公务员考试行测数学运算的常考类型：终极经典试题

公务员考试行测数学运算的常考类型：终极经典试题

数学运算的常考类型&终极经典试题

建议大家遵循这样的学习时间安排。比较合适。这是我个人的经验和看法。仅以参考

1、数字推理（每天必须练习）

开始的前3周，每周1.5小时，主要是以看和归纳为主。3周之后要能丢开资料自己可以

回忆出数字推理的若干种类型。特别是经典的7大类型

3周之后看是1周（每天半小时的计时练习。每道题目不得超过53秒），从第5周直到

考试，每天都要用10分钟〜15分钟的时间不停的巩固和练习这数字推理。主要是保持和

培养数字敏感性和了解一些新的题型（新的题型以了解为主，不要强求）

2、数学运算。（我建议集中时间整理和复习准备时间应该是在2个月以上）

首先，先对国考，或者你所参加的地方考试的题型和命题风格做一个了解。看看这些数

学运算试题的难度系数如何。总结归纳常见的考试类型。如果你觉得你有足够的能力，你

还可以归纳考察的思维方向是来自哪几点（这个比较重要。如果不能达到这一点，可以借

鉴老师，或者网络，借鉴别人的与此相关的总结）

其次是平时的练习。应该划分专项来练习。专项的划分就是根据第一步你对考试类型的

划分。学会总结方法（方法不是公式，只记住公式那是没用的，必须去掌握公式的由

来）。练习的题源应当以国家（03〜至今），北京（05〜至今），山东（04〜至今），浙

江（05〜至今），江苏（04〜至今），辅助于福建（06〜08年）等地的真题为主。

最后通过练习，必须学会做总结归纳，做好笔记。对每种类型都要学会用•句话或者一

段简洁的话写出你的感受和观点。

【分享】数学运算的大致常考类型，大家复习可以参照！

（-）数字推理

（1）数字性质：奇偶数，质数合数，同余，特定组合表现的特定含义如n=

3.1415926,阶乘数列。

（2）等差、等比数列，间隔差、间隔比数列。

（3）分组及双数列规律

（4）移动求运算数列

（5）次方数列（1、基于平方立方的数列2、基于2、次方数列，3幕的2,3次方交替

数列等为主体架构的数列）

（6）周期对称数列（7）分数与根号数列

（8）裂变数列

（9）四则组合运算数列

（10）图形数列

（二）数学运算

（1）数理性质基础知识。

（2）代数基础知识。

（3）抛物线及多项式的灵活运用

（4）连续自然数求和和及变式运用

（5）木桶（短板）效应

（6）消去法运用

（7）十字交叉法运用（特殊类型）

（8）最小公倍数法的运用（与剩余定理的关系）

（9）鸡兔同笼运用

（10）容斥原理的运用

（11）抽屉原理运用

（12）排列组合与概率：（重点含特殊元素的排列组合，插板法已经变式，静止概率以

及先【后】验概率）

（13）年龄问题

（14）几何图形求解思路（求阴影部分面积割补法为主）

（15）方阵方体与队列问题

（16）植树问题（直线和环形）

（17）统筹与优化问题

(18)牛吃草问题

(19)周期与日期问题

(20)页码问题

(21)兑换酒瓶的问题

(22)青蛙跳井(寻找临界点)问题

(23)行程问题(相遇与追击，水流行程，环形追击相遇：变速行程，曲线(折返，高

山，缓行)行程，多次相遇行程，多模型行程对比)

【分享】数学公式终极总结容斥原理

涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算：一的

个数+二的个数一都含有的个数=总数一都不含有的个数

【例3】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中

有24人及格，若两次考试中，都及格的有22人，那么两次考试都没有及格的人数是多少

【国2004B-46】A.10B.4C.6D.8

应用公式26+24-22=32-X

X=4

答案选B

［例9］某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又

不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有多少人。【山东2004-13】

A.57B.73C.130D.69

应用公式：68+62-X=85-12

X=57人

抽屉原理

【例1】在一个口袋里有10个黑球，6个白球，4个红球，至少取出几个球才能保证其

中有白球？【北京应届2007-15］

A.14B.15C.17D.1849.

采取总不利原则10+4+1=15这个没什么好说的【例5】将一根绳子连续对折三次，然后

每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后，原来的绳

子被剪成了几段？【浙江2006-38]

A.18段B.49段C.42段D.52段

2*3*6+1=49

方阵终极公式

假设方阵最外层一边人数为N,则

一、实心方阵人数=NXN

二、最外层人数=（N-l）X4【例1】某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60

人，问这个方阵共有学生多少人

【国2002A-9】【国2002B-18]

A.256人B.250人C.225人D.196人

（N-l）4=60N=1616*16=256所以选A

【例3】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生：

[

江2003-18】

A.600人B.615人C.625人D.640人

（N-l）4=96N=25N*N=625

过河问题：

来回数=[（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）]*2+1

次数=[（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）]+1

【例1】有37名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完

【广东2005±-10]

A7次B8次C9次D10次

(37-5/4)+1所以是9次

【例2】49名探险队员过一条小河，只有一条可乘7人的橡皮船，过一次河需3分钟。

全体队员渡到河对岸需要多少分钟？()【北京应届2006-24】

A.54B.48C.45D.39

【(49-7)/6]2+1=1515*3=45

【例4】有一只青蛙掉入一口深10米的井中。每天白天这只青蛙跳上4米晚上又滑下3

米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出？

A.7B.8C.9D.10

[(10-4)/I]+1=7

核心提示

三角形内角和180°N边形内角和为(N-2)180

【例1】三角形的内角和为180度，问六边形的内角和是多少度？【国家2002B-12]

A.720度B.600度C.480度D.360度

(6-2)180=720°(5)一次盈，-次刚好：盈一(两次每人分配数的差)=人数

：“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少

个桃

解(7+9)+(10-8)=16+2=8(个)人数

10X8-9=80-9=71(个)桃子

有那个排方阵，--排加三个人，剩29人的题，也可用盈亏公式解答。

行程问题模块

平均速度问题V=2V1V2/V1+V2

【例1】有一货车分别以时速40km和60km往返于两个城市，往返这两个城市一次的平

均时速为多少？【国家1999-39】

A.55kmB.50kmC.48kmD.45km

2*40*60/100二48

[例2]一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千

米，则它的平均速度为多少千米/时？【浙江2003-20]

A.24千米/时B.24.5千米/时C.25千米/时D.25.5千米/时

2*30*20/30+20=24

比例行程问题

路程=速度X时间(121212$丫1=或或或)路程比=速度比X时间比，

S1/S2=V1/V2*T1/T2运动时间相等，运动距离正比与运动速度

运动速度相等，运动距离正比与运动时间

运动距离相等，运动速度反比与运动时间

【例2】A、B两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在A站和B站，甲火车4分

钟走的路、程等于乙火车5分钟走的路程，乙火车上午8时整从B站开往A站，开出一段

时间后，甲火车从A站出发开往B站，上午9时整两列火车相遇，相遇地点离A、B两站

的距离比是15：16,那么，甲火车在什么时刻从A站出发开往B站。【国2007-53]

A.8时12分B.8时15分C.8时24分D.8时30分

速度比是4：5

路程比是15：16

15S：16S

5V:4V所以T1:T2=3:4也就是45分钟60-45=15所以答案是B

在相遇追及问题中：

凡有益于相对运动的用“加”，速度取“和”，包括相遇、背离等问题。

凡阻碍相对运动的用“减”，速度取“差”，包括追及等问题。

从队尾到对头的时间=队伍长度/速度差

从对头到队尾的时间=队伍长度/速度和

【例2】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行60米，队尾的王老师以每分

钟步行150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟。求队伍的长度？()

【北京社招2005-20]

A.630米B.750米C.900米D.1500米

X/90+X/210=10X=630

某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120

秒，整列火车完全在桥上的时间80秒，则火车速度是？【北京社招2007-21]

A.10米/秒B.10.7米/秒C.12.5米/秒D.500米/分

核心提示

列车完全在桥上的时间=(桥长-车长)/列车速度

列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=(桥长+车长)/列车速度

1000+X=120V

1000-X=80V

解得10米/秒

为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，标准用水量以内每吨2.5元，超过标准

的部分加倍收费。某用户某月用水15吨，交水费62.5元，若该用户下个月用水12吨，

则应交水费多少钱？

15顿和12顿都是超额的,所以62.5—(3X5)>(S/v2)*[(2m-1)v2+v1]/[v2+(2m-l)v1]

【分享】排列组合基础知识及习题分析

在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！

C5MX3=(5X4X3)/(3X2X1)C6MX2=(6X5)/(2X1)

通过这2个例子看出

CM取N公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。以取值N的

阶层作为分母

P53=5X4X3P66=6X5X4X3X2X1

通过这2个例子

PMN=从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N=M时即M的阶层

排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m(mWn)个元素，有序和无序摆

放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.

解答排列、组合问题的思维模式有二：

其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；

其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.

分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分

类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进

行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于

某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.

分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何-一种方法，

都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，

步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成

两个原理的区别在于一个和分类有关，•个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n

类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求

完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，

即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方

法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：

1.有限制条件的排列问题常见命题形式：

“在”与“不在”

“邻”与“不邻”

在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：

⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来

看，这是处理相邻最常用的方法.

⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.

⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特

殊位置.

⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实

情求力结果.

2.有限制条件的组合问题，常见的命题形式:

“含”与“不含”

“至少”与“至多”

在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.

3.在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，

按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本

的，也是最重要的思想方法.

*提供10道习题供大家练习

1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为(C)

(A)25个(B)26个(C)36个(D)37个

------------------------------------------------------------【解析】

根据三角形边的原理两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

可见最大的边是11

则两外两边之和不能超过22因为当三边都为11时是两边之和最大的时候

因此我们以一条边的长度开始分析

如果为11,则另外一个边的长度是11,10,9,8,7,6,。。。。。。1

如果为10则另外一个边的长度是10,9,8。。。。。。2,

(不能为1否则两者之和会小于11,不能为11,因为第一种情况包含了11,10的组

合)如果为9则另外一个边的长度是9,8,7,。。。。。。。3

(理由同上，可见规律出现)

规律出现总数是11+9+7+。。…1=(1+11)X6+2=36

2、(1)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？

【解析】每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信，有3

种可能性。接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封，所以分步属于乘法原则即

3X3X3X3=3'4

(2)3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法?

【解析】跟上述情况类似对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系不够

成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4

种选择。知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系即4X4X4=13

(3)8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？

【解析】分步来做

第一步：我们先选出3本书即多少种可能性C8取3=56种

第二步：分配给3个同学。P33=6种

这里稍微介绍一下为什么是P33,我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成

后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即3X2X1这是分步

选择符合乘法原则。最常见的例子就是1,2,3,4四个数字可以组成多少4位数？也是

满足这样的分步原则。用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用即下一步的选择受到上

一步的压缩。所以该题结果是56X6=3363、七个同学排成一横排照相.

(1)某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？(3600)

【解析】

这个题目我们分2步完成

第一步：先给甲排应该排在中间的5个位置中的一个即C5取1=5

第二步：剩下的6个人即满足P原则P66=720

所以总数是720X5=3600

(2)某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？(1440)

【解析】

第一步：确定乙在哪个位置排头排尾选其一C2取1=2

第二步：剩下的6个人满足P原则P66=720

则总数是720X2=1440

(3)甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？(3120)

【解析】特殊情况先安排特殊

第•种情况：甲不在排头排尾并且不在中间的情况

去除3个位置剩下4个位置供甲选择C4取1=4,剩下6个位置先安中间位置即除了甲

乙2人，其他5人都可以即以5开始，乘吓的5个位置满足P原则即5XP55=5X120=

600总数是4X600=2400

第2种情况：甲不在排头排尾，甲排在中间位置

则剩下的6个位置满足P66=720

因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和即2400+720=3120

(4)甲、乙必须相邻的排法有多少种？(1440)

【解析】相邻用捆绑原则2人变-人，7个位置变成6个位置，即分步讨论第1：选位

置C6取1=6

第2：选出来的2个位置对甲乙在排即P22=2

则安排甲乙符合情况的种数是2义6=12剩下的5个人即满足P55的规律=120

则最后结果是120X12=1440

(5)甲必须在乙的左边(不一定相邻)的不同排法有多少种？(2520)

【解析】

这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。

所以我们不考虑左右问题则总数是P77=5040,根据左右概率相等的原则则排在左边的情况

种数是5040+2=2520

4、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数.

(1)能组成多少个四位数？(300)

【解析】四位数从高位开始到低位高位特殊不能排0。则只有5种可能性

接下来3个位置满足P53原则=5X4X3=60即总数是60X5=300

(2)能组成多少个自然数？(1631)

【解析】自然数是从个位数开始所有情况

分情况

1位数：C6取1=6

2位数：C5取2XP22+C5取1XP11=25

3位数：C5取3XP33+C5取2XP22X2=100

4位数：C5取4XP44+C5取3XP33X3=300

5位数：C5取5XP55+C5取4XP44X4=600

6位数：5XP55=5X120=600

总数是1631

这里解释一下计算方式比如说2位数：C5取2XP22+C5取1XP11=25

先从不是0的5个数字中取2个排列即C5取2XP22还有一种情况是从不是0的5个数

字中选一个和0搭配成2位数即C5取1XP11因为0不能作为最高位所以最高位只有1种

可能

(3)能组成多少个六位奇数？(288)

-【解析】高位不能为0个位

为奇数1,3,5则先考虑低位，再考虑高位即3义4XP44=12X24=288

(4)能组成多少个能被25整除的四位数？(21)

【解析】能被25整除的4位数有2种可能

后2位是25：3X3=9

后2位是50：P42=4X3=12

共计9+12=21

(5)能组成多少个比201345大的数？(479)

【解析】

从数字201345这个6位数看是最高位为2的最小6位数所以我们看最高位大于等于2

的6位数是多少？

4XP55=4X120=480去掉201345这个数即比201345大的有480-1=479

(6)求所有组成三位数的总和.(32640)

【解析】每个位置都来分析一下

百位上的和：Ml=100XP52(5+4+3+2+l)

十位上的和：M2=4X4X10(5+4+3+2+1)

个位上的和：M3=4X4(5+4+3+2+l)

总和M=Ml+M2+M3=32640

5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.

(1)”其中恰有两件次品”的抽法有多少种？(152096)

【解析】也就是说被抽查的5件中有3件合格的，即是从98件合格的取出来的所以即

C2取2XC98取3=152096

(2)”其中恰有一件次品”的抽法有多少种？(7224560)

【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个C2

取1XC98取4=7224560

(3)“其中没有次品”的抽法有多少种？(67910864)

【解析】则即在98个合格的中抽取5个C98取5=67910864(4)”其中至少有一件次

品”的抽法有多少种？(7376656)

【解析】全部排列然后去掉没有次品的排列情况就是至少有1种的

C100取5-C98取5=7376656

(5)“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？(75135424)

【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的C100取5

-C98取3=75135424

6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1

台，则不同的取法共有()

(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种

【解析】根据条件我们可以分2种情况

第一种情况：2台甲+1台乙即C4取2XC5取1=6X5=30

第二种情况：1台甲+2台乙即C4取1XC5取2=4X10=40

所以总数是30+40=70种

7、在50件产品中有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有一种.

【解析】至少有3件则说明是3件或4件

3件：C4取3XC46取2=4140

4件：C4取4XC46取1=46

共计是4140+46=4186

8、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承

担这三项任务，不同的选法共有(C)

(A)1260种(B)2025种(02520种(D)5040种

【解析】分步完成

第一步：先从10人中挑选4人的方法有：C10取4=210

第二步：分配给甲乙并的工作是C4取2XC2取1XC1取1=6X2X1=12种情况则根

据分步原则乘法关系210义12=2520

9、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分

配方案共有_C(4,12)C(4,8)C(4,4)

种

【解析】每个路口都按次序考虑

第一个路口是C12取4

第二个路口是C8取4

第三个路口是C4取4

则结果是C12取4XC8取4XC4取4

可能到了这里有人会说三条不同的路不是需要P33吗其实不是这样的在我们从12人中

任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。如果再

XP33则是重复考虑了

如果这里不考虑路口的不同即都是相同路口则情况又不一样因为我们在分配人数的时候

考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况所以在上述结果的情况下要小P33

10、在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节

目，求共有多少种安排方法？990

【解析】

这是排列组合的一种方法叫做2次插空法

直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插9个空位，有P(9,l)种方法；再用另一个节

目去插10个空位，有1(10,1)种方法；用最后一个节目去插11个空位，有P(11,D方

法，由乘法原理得:所有不同的添加方法为P(9,l)XP(10,1)XP(11,1)=990种。

另解：先在11个位置中排上新添的三个节目有P(ll,3)种，再在余下的8个位置补上原

有的8个节目，只有一解，所以所有方法有P31IX1=990种。

【分享】排列组合新讲义

作者：徐克猛(天字1号)2009-2-19

排列组合定义

1、什么是C

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列(即不排序)。

例如：编号1〜3的盒子，我们找出2个来使用，这里就是运用组合而不是排列，因为

题目只是要求找出2个盒子的组合。即C(3,2)=32、什么是P或A

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)o

例如：1〜3,我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取C(3,2)后排P22,就

构成了C(3,2)XP(2,2)=A(3,2)

3、A和C的关系

事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A比C多了一个排序步

骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。

4、计算方式以及技巧要求

组合：C(M,N)=M!+(N!X(M-N)!)条件：N<=M

排列：A(M,N)=M!+(M-N)!条件：N<=M

为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1〜7

的阶乘，当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C(M,N)当

中N取值过大，那么我们可以看M-N的值是否也很大。如果不大。我们可以求C(M,[M

一N])，因为C(M,N)=C(M,[M-N])

解答：C(9,0)+C(9,1)+,,,,+C(9,9)=2~9=512

排列组合的基本理论精要部分(分类和分步)

(1)、加法原理(实质上就是一种分类原则)：一个物件，它是由若干个小块组成的，

我们要知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比如，我们知道每一个小块的重量，然

后计算总和就等于这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原则。排列组合当中，当我

们要求某一个事件发成的可能性种类，我们可以将这个事件分成若干个小事件来看待。化

整为零，例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法。根据分类的方

法。我们可以看，第一类情况：甲坐在左边，乙坐在右边，其他人随便坐，A(5,5)第

二类情况：甲坐在右边，乙坐在左边，其他人随便坐，A(5,5)我们分别计算出2种情

况进而求和即得到答案。这就是分类原则。这样就是A(5,5)+A(5,5)=240

(2)、乘法原理(实质上就是一种分步原则)：做一件事，完成它需要分成n个步骤，

做第一步有ml种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，，,,,，做第n步有mn种不同

的方法，那么完成这件事共有N=mlXm2Xm3X„Xmn种不同的方法.

例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法，按照分步原则，第一

步：我们先对甲乙之外的5个人先排序座位，把两端的座位空下来，A(5,5)第二步：

我们再排甲乙,A(2,2)

这样就是A(5,5)XA(2,2)=240

我们知道分步原则也就是乘法原则。做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续

(3)特殊优先，一般次要的原则

例题:

(1)从1、2、3、，,,,、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同

等差数列有一个。

第一步构建排列组合的定义模式，如果把数学逻辑转换的问题。

(2)在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A,B两种作物，每种种植一垄，

为有利于作物生长，要求A,B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有一种。

第一类：A在第一垄，B有3种选择；

第二类：A在第二垄，B有2种选择；

第三类：A在第三垄，B有一种选择，

同理A、B位置互换，共12利

(3)从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有

(A)240(B)180(C)120(0)60

分析：显然本题应分步解决。

(-)从6双中选出一双同色的手套，有C(6,1)种方法;

(-)从剩下的5双手套中任选2双，有C(5,2)种方法。

(三)这2双可以任意取出其中每双中的1只，保证各不成双；

即C(6,1)*C(5,2)*2-2=240

(4)身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身

后的人个子矮，则所有不同的排法种数为。

分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方

法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C(6,2)XC(4,2)XC(2,2)=90

种。

四、解决排列组合问题的策略

1、逆向思维法：我们知道排列组合都是对一个元素集合进行筛选排序。我们可以把这

个集合看成数学上的单位1,那么l=a+b就是我们构建逆向思维的数学模型了，当a不

利于我们运算求解的时候，我们不妨从b的角度出发思考，这样同样可以求出a=l-b。

例题：7个人排座，甲坐在乙的左边(不一定相邻)的情况有多少种？

例题：一个正方体有8个顶点我们任意选出4个，有多少种情况是这4个点可以构成四

面体的。

例题：用0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()

A.24个B.30个C.40个D.60个

2、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略：

(1)无关型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集

例题：用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数？

(2)包含型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系

例题：用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数？

P55X-P44=120-24=96

用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被25整除且数字不同的六位数?25,75

(3X3X2X1)X2+P44=36+24=60

(3)影响型：两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。

例题：用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有

重复数字的五位数有多少个？

3、解含有约束条件的排列组合问题一一一采用合理分类与准确分步的策略

例题：平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有

________个。

简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步.先在4条平行线中任取两条，有C4

取2种取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有C5取2种取法。这样取出的四条直

线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有6X10=60个

4、解排列组台混合问题——采用先选后排策略

对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。

例：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有—

种。144

5、插板法

插板法的条件构成：1元素相同，2分组不同，3必须至少分得1个

插板法的类型：

（1）、10块奶糖分给4个小朋友，每个小朋友至少1块，则有多少种分法？（典型插

板法点评略）

（2）、10块奶糖分给4个小朋友有多少种方法？（凑数插板法：这个题目对照插板法

的3个条件我们发现至少满足1个这个条件没有，所以我们必须使其满足，最好的方法就

是用14块奶糖来分，至少每人1块，当每个人都分得1块之后，剩下的10块就可以随便

分了，就回归到了原题）

（3）、10块奶糖放到编号为1,2,3的3个盒子里，每个盒子的糖数量不少于其编号

数，则有几种方法？（定制插板法：已然是最后一个条件不满足，我们该怎么处理呢，应

该学会先去安排使得每个盒子都差1个，这样就保证每个盒子必须分得1个，从这个思路

出发，跟第二个例题是姊妹题思路是一样的对照条件想办法使其和条件吻合！）

（4）、8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为1〜11的盒子里面，每个盒

子至少放1个，有多少种方法？（多次插空法这里不多讲，见我排列组合基础讲义）6、

递归法（枚举法）

公考也有这样的类型，排错信封问题，还有一些邮票问题

归纳法：

例如：5封信一一对应5个信封，其中有3个封信装错信封的情况有多少种？

枚举法：例如：10张相同的邮票分别装到4个相同的信封里面，每个信封至少1张邮

票，有多少种方法？

枚举：1,1,1,71,1,2,61,1,3,51,1,4,41,2,2,51,2,3,41,3,3,

32,2,2,42,2,3,39种方法！

五、疑难问题1、如何验证重复问题2、关于位置与元素的相同问题，例如：6个人平均

分配给3个不同的班级，跟6个学生平分成3组的区别

3、关于排列组合里面，充分运用对称原理。

例题：1,2,3,4,5五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数？例题：7

个人排成一排，其中甲在乙右边（可以不相邻）的情况有多少种？

注解：分析2种对立情况的概率，即可很容易求解。当对立情况的概率相等，即对称原

理。

4、环形排列和线性排列问题。（见我的基础排列组合讲义二习题讲解）

例如：3个女生和4个男生围坐在一个圆桌旁。间有多少种方法？

例如：3对夫妇围坐在圆桌旁，男女间隔的坐法有多少种？

注解：排列组合中，特殊的地方在于，第一个坐下来的人是作为参照物，所以不纳入排

列的范畴，我们知道，环形排列中每个位置都是相对的位置，没有绝对位置，所以需要有

一个人坐下来作为参照位置。

5、几何问题：见下面部分的内容。

例析立体几何中的排列组合问题

在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。1

点

L1共面的点

例题：四面体的一个顶点为A,从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同

一平面上，不同的取法有（）

A.30种B.33种C.36种D.39种

答案：B

点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属难度中等的选择题，失误的主要原

因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。

1.2不共面的点

例2：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有

()

A.150种B.147种C.144种D.141种

解析：从10个点中任取4个点有C(10,4)=210种取法，其中4点共面的情况有三

类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有C(6,2)=15种；第二类，取

任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四

边形，它的4个顶点共面，有3种。

以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有210—4X15—6-3=141种。答

案：Do

点评：此题难度很大，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种

情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。几何型排列组合问题

的求解策略

有关几何型组合题经常出现在各类试题中，它的求解不仅要具备排列组合的有关知识，

而且还要掌握相关的几何知识.这类题目新颖、灵活、能力要求高，因此要求掌握四种常

用求解策略.

一分步求解

例1圆周上有2n个等分点(n>l),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为

解：本题所求的三角形，即为圆的内接直角三角形，由平面几何知识，应分两

步进行：先从2n个点中构成直径(即斜边)共有n种取法；再从余下的(2n—2)个点中取

一点作为直角顶点，有(2n—2)种不同取法.故总共有n(2n—2)=2n(n—D个直角三角

形.故填2n(n—1).

例2：从集合｛0、1、2、3、5、7、11｝中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0

中的A、B、3所得的经过坐标原点原直线共有一条(结果用数值来表示).

解：因为直线过原点，所以C=0.从1、2、3、5、7、11这6个数中任取2个作为A、

B,两数的顺序不同，表示的直线也不同，所以直线的条数为P(6,2)=30.

二分类求解

例3四边体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱的中点中取3点，使它们和A在同一平

面上,不同取法有()(A)30种⑻33种(C)36种(D)39种

解：符合条件的取法可分三类：①4个点(含A)在同一侧面上，有3=30种；②4个点

(含A)在侧棱与对棱中点的截面上，有3种；由加法原理知不同取法有33种，故选B.

三排除法求解

例4从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()

(A)8种(B)12种(C)16种(D)20种

解：由六个任取3个面共有C(6,3)=20种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角

上3个平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件共有20—8=12种，故选(B).

例5正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有()个？

解：从7个点中任取3个点，共有C(7,3)=35个，排除掉不能构成三角形的情形.3

点在同一直线上有3个，故符合条件的三角形共有35-3=32个.

四转化法求解

W肃il；出制即加朗IlliM呢训E用川

例6空间六个点，它们任何三点不共线，任何四点不共面，则过每两点的直线中有多少

对异面直线？

解：考虑到每一个三棱锥对应着3对异面直线，问题就转化为能构成多少个三棱锥.由

于这六个点可构成C(6,4)=15个三棱锥，故共有3X15=45对异面直线.

例7-个圆的圆周上有10个点，每两个点连接一条弦，求这些弦在怩I内的交点个数最

多有几个？

解：考虑到每个凸四边形的两条对角线对应一个交点，则问题可转化为构成凸四边形的

个数.显然可构成C(10,4)=210个圆内接四边形，故10个点连成的点最多能在圆中

交点210个.

6、染色问题：不涉及环形染色可以采用特殊区域优先处理的方法来分步解决。

环形染色可采用如下公式解决：An=(a-l)~n+(a-l)X(T厂nn表示被划分的个数，a

表示颜色种类

原则：被染色部分编号，并按编号顺序进行染色，根据情况分类

在所有被染色的区域，区分特殊和一般，特殊区域优先处理

例题1：将3种作物种植在如图4所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的

试验田不能种同一种作物。则有多少种种植方法？

图1

例题2：用5种不同颜色为图中ABCDE五个部分染色，相邻部分不能同色，但同一种颜

色可以反复使用，也可以不使用，则符合要求的不同染色方法有多少种？

图2

例题3：将一个四棱锥的五个顶点染色，使同一•条棱的2个端点不同色，且只由五个颜

色可以使用，有多少种染色方法？

图3

例题4：一个地区分为如图4所示的五个行政区域，现在有4种颜色可供选择，给地图

着色，要求相邻区域不同色，那么则有多少种染色方法？

图4

例题5：某城市中心广场建造了一个花圃，分6个部分（如图5）现在要栽种4种不同

的颜色的花，每部分栽种•种且相邻部分不能种同样颜色的花，则有多少种不同栽种方

式？图5：

【分享】无私奉献的排列组合题（系列之二）

上次发了的数字推理50道，大家反映良好，现在我把原创的几道排列组合奉献给大

家.还是那句老话，如果觉得可以的话，看后要回帖！以表示对别人的尊重！！

-）1,2,3,4作成数字不同的三位数，试求其总和？但数字不重复。

［解析］

组成3位数我们以其中一个位置（百位,十位,个位）为研究对象就会发现当某个位置固定

比如是1,那么其他的2个位置上有多少种组合?这个大家都知道是剩下的3个数字的全排

列P32我们研究的位置上每个数字都会出现P32次

所以每个位置上的数字之和就可以求出来了

个位是:P32*（l+2+3+4）=60

十位是:P32*（1+2+3+4）*10=600

百位是:P32*（1+2+3+4）*100=6000

所以总和是6660

（二）将“PROBABILITY”11个字母排成一列，排列数有种，若保持P,R,0次

序，则排列数有种。

［解析］

这个题目就是直线全排列出现相同元素的问题:在我的另外一个帖子里面有介

绍：bbs.qzzn/read-htm-tid-9487547.html

(D我们首先把相同元素找出来,B有2个,I有2个我们先看作都是不同的11个元素全

排列这样就简单的多是P11,11然后把相同的元素能够形成的排列剔除即可

P11/(P2,2*P2,2)=9979200»

(2)第2个小问题因要保持PRO的顺序，就将PRO视为相同元素(跟B,I类似的性

质)，则其排列数有11!/(2!X2!X3!)=166320种。

(三)李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇共10人围坐一圆桌聊天，试求下列各

情形之排列数：

(1)男女间隔而坐。

(2)主人夫妇相对而坐。

(3)每对夫妇相对而坐。

(4)男女间隔且夫妇相邻。

(5)夫妇相邻。

(6)男的坐在一起，女的坐在一起。

［解析］

(1)先简单介绍一下环形排列的特征,环形排列相对于直线排列缺少的就是参照物.第一

个坐下来的人是没有参照物的,所以无论做哪个位置都是一样的.所以从这里我们就可以看

出环形排列的特征是第一个人是做参照物，不参与排列.

下面就来解答6个小问题：

(1)先让5个男的或5个女的先坐下来全排列应该是P44,空出来的位置他们的妻子(丈

夫)，妻子(丈夫)的全排列这个时候有了参照物所以排列是P55答案就是P44*P55=2880种

(2)先让主人夫妇找一组相对座位入座其排列就是P11(记住不是P22),这个时候其他8

个人再入座,就是P88,所以此题答案是P88

(3)每对夫妇相对而坐,就是捆绑的问题.5组相对位置有一组位置是作为参照位置给第一

个入座的夫妇的,剩下的4组位置就是P44,考虑到剩下来的4组位置夫妇可以互换位置即

P44*2"4=384

（4）夫妇相邻,且间隔而坐.我们先将每对夫妇捆绑那么就是5个元素做环形全排列即P44

这里在从性别上区分男女看作2