2024年四川省南充市中考数学试卷

2024年四川省南充市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．1．（4分）如图，数轴上表示2的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D2．（4分）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%计算选手的综合成绩（百分制）．选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（）A．170分 B．86分 C．85分 D．84分3．（4分）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．120°4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a8÷a4＝a2 C．a2•a3＝a6 D．（3a2）3＝27a65．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（）A．2 B．3 C．2 D．36．（4分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（）A．7x-7=y9(C．7x+7=y9(7．（4分）若关于x的不等式组2x-1＜5x＜A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤28．（4分）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC=12AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE＝mAB，则A．5-12 B．5-22 C9．（4分）当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，则实数m的值为（）A．﹣3或0 B．0或1 C．﹣5或﹣3 D．﹣5或110．（4分）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，AB＝10．下列三个结论：①若tan∠ADF=34，则EF＝2；②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG'，则BG′的最大值为55A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．11．（4分）计算aa-b-ba12．（4分）若一组数据6，6，m，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为．13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝度．14．（4分）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，则DF的长为．16．（4分）已知抛物线C1：y＝x2+mx+m与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），抛物线C2：y＝x2+nx+n（m≠n）与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且AB＝CD．下列四个结论：①C1与C2交点为（﹣1，1）；②m+n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于（﹣1，0）对称．其中正确的结论是.（填写序号）三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）先化简，再求值：（x+2）2﹣（x3+3x）÷x，其中x＝﹣2．18．（8分）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E．（1）求证：△BDE≌△CDA．（2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE．19．（8分）某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．根据图中信息，解答下列问题：（1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数．（2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．20．（10分）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．21．（10分）如图，直线y＝kx+b经过A（0，﹣2），B（﹣1，0）两点，与双曲线y=mx（x＜0）交于点C（a，（1）求直线和双曲线的解析式．（2）过点C作CD⊥x轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，直接写出点P的坐标．22．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是AE上一点，AF=BE，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BE＝4，AD＝25，求⊙O的半径长．23．（10分）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价）24．（10分）如图，正方形ABCD边长为6cm，点E为对角线AC上一点，CE＝2AE，点P在AB边上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（0＜t≤3）．（1）求证：△AEP∽△CEQ．（2）当△EPQ是直角三角形时，求t的值．（3）连接AQ，当tan∠AQE=13时，求△25．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设△PAD面积为S1，△PBE面积为S2，求S1（3）如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线l∥x轴，点Q是直线l上一动点．求QM+QN的最小值．

2024年四川省南充市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．1．（4分）如图，数轴上表示2的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】C【解答】解：∵1＜∴1＜2＜由数轴可知，只有点C的取值范围在1和2之间，故选：C．2．（4分）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%计算选手的综合成绩（百分制）．选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（）A．170分 B．86分 C．85分 D．84分【答案】B【解答】解：李林综合成绩为：90×60%+80×40%＝86（分），故选：B．3．（4分）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．120°【答案】C【解答】解：如图：∵∠1＝∠2＝40°，∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝100°，∵两个平面镜平行放置，∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，∴∠3＝∠4＝100°，故选：C．4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a8÷a4＝a2 C．a2•a3＝a6 D．（3a2）3＝27a6【答案】D【解答】解：A．∵a2，a3不是同类项，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；B．∵a8÷a4＝a4，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；C．∵a2•a3＝a5，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；D．∵（3a2）3＝27a6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（）A．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，tanB=AC∴AC=3∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=1在Rt△ACD中，tan∠CAD=CD∴CD=3∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，∴点D到AB边的距离等于线段CD的长，即线段DE长度的最小值为2．故选：C．6．（4分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（）A．7x-7=y9(C．7x+7=y9(【答案】D【解答】解：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住，∴7x+7＝y；∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，∴9（x﹣1）＝y．∴根据题意得可列方程组7x故选：D．7．（4分）若关于x的不等式组2x-1＜5x＜A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【答案】B【解答】解：解不等式2x﹣1＜5，得：x＜3，∵关于x的不等式组2x-1＜5∴m+1≥3，∴m≥2．故选：B．8．（4分）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC=12AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE＝mAB，则A．5-12 B．5-22 C【答案】A【解答】解：令AB的长为2a，则BC=1在Rt△ABC中，AC=(2因为CD＝CB，AE＝AD，所以AE=(5则AE=5-所以m的值为5-故选：A．9．（4分）当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，则实数m的值为（）A．﹣3或0 B．0或1 C．﹣5或﹣3 D．﹣5或1【答案】A【解答】解：当m+1＞0，即m＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴当x＝5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，∴5（m+1）+m2+1＝6，解得m1＝0，m2＝﹣5（舍去），当m+1＜0，即m＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴当x＝2时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，∴2（m+1）+m2+1＝6，解得m1＝﹣3，m2＝1（舍去），综上，当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，则实数m的值为0或﹣3，故选：A．10．（4分）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，AB＝10．下列三个结论：①若tan∠ADF=34，则EF＝2；②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG'，则BG′的最大值为55A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解答】解：在Rt△ADF中，tan∠ADF=AF令AF＝3x，DF＝4x，则（3x）2+（4x）2＝102，解得x＝2（舍负），所以AF＝6，DF＝8．因为外部的四个直角三角形全等，所以DE＝AF＝6，所以EF＝8﹣6＝2．故①正确．因为Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，所以12BG⋅AG因为BG＝AF＝AG﹣FG，所以12整理得，6FG2+FG•AG﹣AG2＝0．则6(FG解得FGAG则点F是AG的三等分点．故②正确．由旋转可知，∠AG′D＝∠AGB＝90°，所以点G′在以AD为直径的圆上．在Rt△ABM中，BM=5当点B，M，G′共线时，BG′取得最大值，此时BG′=55故③正确．故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．11．（4分）计算aa-b-ba【答案】1．【解答】解：原式=＝1，故答案为：1．12．（4分）若一组数据6，6，m，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为7．【答案】7．【解答】解：∵一组数据6，6，m，7，7，8的众数为7，∴m＝7，∴这组数据从小到大排列顺序为：6，6，7，7，7，8，∴这组数据的中位数是7+72=故答案为：7．13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝75度．【答案】75．【解答】解：∵∠BOC＝30°，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝150°，∴∠ADC=12∠AOC＝故答案为：75．14．（4分）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为﹣4．【答案】﹣4．【解答】解：把x＝m代入m2+4m﹣1＝0，m2+4m＝1，∴（m+5）（m﹣1）＝m2﹣m+5m﹣5＝m2+4m﹣5＝1﹣5＝﹣4，故答案为：﹣4．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，则DF的长为2．【答案】2．【解答】解：过点F作FG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H．∵CF平分∠BCD，∴HF＝FG．∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°．由翻折得，BF＝AB＝2，∠ABE＝∠FBE＝30°，∴∠FBG＝30°，∴FG=12BF＝∴HF＝1，CH＝FG＝1，∴DH＝CD﹣CH＝1，∴DF=D故答案为：2．16．（4分）已知抛物线C1：y＝x2+mx+m与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），抛物线C2：y＝x2+nx+n（m≠n）与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且AB＝CD．下列四个结论：①C1与C2交点为（﹣1，1）；②m+n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于（﹣1，0）对称．其中正确的结论是①②④.（填写序号）【答案】①②④．【解答】解：令x2+mx+m＝x2+nx+n，解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入y＝x2+mx+m得，y＝1，∴C1与C2交点为（﹣1，1），故①正确；∵抛物线C1：y＝x2+mx+m与抛物线C2：y＝x2+nx+n的开口方向和大小相同，且AB＝CD，∴两抛物线的关于直线x＝﹣1对称，∴A，D两点关于（﹣1，0）对称，故④正确；-m2∴m+n＝4，故②正确；由题意可知，m＞1，n＜1或m＜1，n＞1，∴mn＞0不一定成立，故③错误．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）先化简，再求值：（x+2）2﹣（x3+3x）÷x，其中x＝﹣2．【答案】4x+1；﹣7．【解答】解：当x＝﹣2时，（x+2）2﹣（x3+3x）÷x＝（x2+4x+4）﹣（x2+3）＝x2+4x+4﹣x2﹣3＝4x+1＝4×（﹣2）+1＝﹣8+1＝﹣7．18．（8分）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E．（1）求证：△BDE≌△CDA．（2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE．【答案】（1）答案见解答过程；（2）答案见解答过程．【解答】（1）证明：∵点D为BC的中点，∴BD＝CD，∴BE∥AC，∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD，在△BDE和△CDA中，∠EBD∴△BDE≌△CDA（AAS）；（2）证明：∵点D为BC的中点，AD⊥BC，∴直线AD为线段BC的垂直平分线，∴BA＝CA，由（1）可知：△BDE≌△CDA，∴BE＝CA，∴BA＝BE．19．（8分）某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．根据图中信息，解答下列问题：（1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数．（2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．【答案】（1）喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为108°；（2）23【解答】解：（1）样本容量为：16÷40%＝40，参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目人数：40×20%＝8（人）；在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为：（40﹣16﹣4﹣8）÷40×360＝108°．答：喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为108°；（2）喜爱D类研学项目的4名学生分别记为：男1，男2，女1，女2．列表如下：第2位第1位男1男2女1女2男1﹣男1，男2男1，女1男1，女2男2男2，男1﹣男2，女1男2，女2女1女1，男1女1，男2﹣女1，女2女2女2，男1女2，男2女2，女1﹣由表可知，抽选2名学生共有12种等可能的结果，抽中一名男生和一名女生（记作事件M）共8种可能．∴P(答：抽中一名男生和一名女生的概率为2320．（10分）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．【答案】（1）k＞1．（2）k的值为2．【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k+1）＝4k2﹣4k2+4k﹣4＝4k﹣4＞0，解得k＞1．（2）∵1＜k＜5，∴整数k的值为2，3，4，当k＝2时，方程为x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，当k＝3或4时，此时方程解不为整数．综上所述，k的值为2．21．（10分）如图，直线y＝kx+b经过A（0，﹣2），B（﹣1，0）两点，与双曲线y=mx（x＜0）交于点C（a，（1）求直线和双曲线的解析式．（2）过点C作CD⊥x轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，直接写出点P的坐标．【答案】（1）直线解析式为：y＝﹣2x﹣2；双曲线解析式为：y=（2）点P坐标为（﹣4，0）或（﹣1，0）或（1，0）或（4，0）．【解答】解：（1）∵点A（0，﹣2），B（﹣1，0）在直线y＝kx+b上，∴b=解得：k=∴直线解析式为：y＝﹣2x﹣2；∵点C（a，2）在直线y＝﹣2x﹣2上，∴﹣2a﹣2＝2，∴a＝﹣2，即点C为（﹣2，2）；∵双曲线y=mx过点C（﹣2∴m＝﹣4，∴双曲线解析式为：y=（2）∵CD⊥x轴，C（﹣2，2），∴D（﹣2，0），CD＝2，∵B（﹣1，0），∴BD＝1，∵A（0，﹣2），∴OA＝2，若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，OP＝1或4，∵点P在x轴上，∴点P坐标为（﹣4，0）或（﹣1，0）或（1，0）或（4，0）．22．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是AE上一点，AF=BE，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BE＝4，AD＝25，求⊙O的半径长．【答案】（1）证明见解答；（2）⊙O的半径长为25．【解答】（1）证明：∵AF=∴∠ABF＝∠BAE，∵∠CAD+∠BAE+∠CDA+∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA，∴∠CAD+∠BAE+∠CAD+∠BAE＝180°，∴∠OAD＝∠CAD+∠BAE＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，∴AD是⊙O的切线．（2）解：连接AF，∵AF=BE，BE＝4，AD＝2∴AF＝BE＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD＝∠AFB＝90°，∴DF=AD∵∠BAD＝∠AFD＝90°，∴ABAD=AFDF=∴AD=12∴OA=12AB＝AD＝2∴⊙O的半径长为25．23．（10分）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价）【答案】（1）A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件；（2）y＝10x+60（0≤x≤10）；（3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．【解答】解：（1）由题意，设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为（132﹣x）元．∴3x+5（132﹣x）＝540．∴x＝60．∴每件B类特产的售价132﹣60＝72（元）．答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．（2）由题意，∵每件A类特产降价x元，又每降价1元，每天可多售出10件，∴y＝60+10x＝10x+60（0≤x≤10）．答：y＝10x+60（0≤x≤10）．（3）由题意，∵w＝（60﹣50﹣x）（10x+60）+100×（72﹣60）＝﹣10x2+40x+1800＝﹣10（x﹣2）2+1840．∵﹣10＜0，∴当x＝2时，w有最大值1840．∴A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．24．（10分）如图，正方形ABCD边长为6cm，点E为对角线AC上一点，CE＝2AE，点P在AB边上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（0＜t≤3）．（1）求证：△AEP∽△CEQ．（2）当△EPQ是直角三角形时，求t的值．（3）连接AQ，当tan∠AQE=13时，求△【答案】（1）证明见解答过程；（2）当△EPQ是直角三角形时，t的值为6-23（3）S△AEQ＝4cm2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAE＝∠QCE＝45°，∵CE＝2AE，AP＝t，CQ＝2t，∴AECE∴△AEP∽△CEQ；（2）解：过点E作EM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BC于点N．由题意知AE=22，AM＝ME＝2，EN＝CN＝4，AP＝tCQ＝2t，BQ＝6﹣2t，MP＝|t﹣2|，BP＝6﹣t，QN＝|2t﹣4|，∴EP2＝EM2+MP2，即EP2＝22+（2﹣t）2＝t2﹣4t+8，PQ2＝BP2+BQ2，即PQ2＝（6﹣t）2+（6﹣2t）2＝5t2﹣36t+72，EQ2＝EN2+NQ2，即EQ2＝42+（2t﹣4）2＝4f2﹣16t+32，①当∠EPQ＝90°时，则EQ2＝EP2+PQ2，即4t2﹣16t+32＝t2﹣4t+8+5t2﹣36t+72，整理得t2﹣12t+24＝0．解得t1＝6-23，t2＝6②当∠PEQ＝90°时，则PQ2＝EP2+EQ2，即5t2﹣36t+72＝t2﹣4t+8+4t2﹣16t+32，整理得t﹣2＝0，解得t＝2；③当∠PQE＝90°时，则EP2＝PQ2+EQ2，即t2﹣4t+8＝5t2﹣36t+72+4t2﹣16t+32，整理得t2﹣6t+12＝0，该方程无实数解，综上所述，当△EPQ是直角三角形时，t的值为6-23（3）解：过点A作AF⊥AC，交CB的延长线于点F，连接FE交AQ于点G．如图2，∵AF⊥AC，∠ACF＝45°，∴AF＝AC，又∵CE＝2AE，∴AEAC∴tan∠