初中数学竞赛实数部分强化练习2

初中数学竞赛实数部分强化练习2

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.在数列1,2,3,…，100中，设其中是一个整数的平方的数有机个，能写成“必

的数有〃个，其中“是素数且存1,b是正整数，则，〃+〃的值（）

A.小于50B.等于50C.大于50且小于100D.等于100

2.分式5工+1。》+12可取的最大值为（）

x2+2x+2

A.4B.5C.6D.7

3.设P,4均为大于3的素数，则使/+5%+4,为完全平方数的素数对（p,q）的个

数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.若|a+2|+（/?-1）=0,则。+方的值为（)

A.-3B,-1C.1D.3

5.若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数’’（如

4=22-02，12=42-22,20=6-4?）,下列关于神秘数的叙述，正确的个数为

（）.

①2008是神秘数;

②任意两个正奇数的平方差是神秘数；

③任意两个正奇数的平方差不是神秘数；

④在1〜100这100个数中，神秘数有13个.

A.1B.2C.3D.4

6.下列说法正确的是（）

A.正有理数和负有理数统称有理数B.正整数和负整数统称整数

C.整数和分数统称有理数D.一个有理数不是正数就是负数

=廿3+4+5+6+72015+2016+2017+2018+2019、

7.若-----------=----------------------------，则N=()

5N

A.2015B.2016C.2017D.2018

8.已知4,b满足la-31+（b+2）2=0,则单项式-5am勿的系数和次数分别是

)

A.-15,6B.-15,5C.-5,6D.-5,5

二、填空题

9.有一个三位数，将这个三位数减去它的各位数字之和的两倍，得差为261,则这个

三位数是.

10.若素数乙0满足7%2+p=/+43p3+],则p+q=.

11.若加，n满足帆-3|+(n+4)2=0,则tnn=.

12.已知。，q,r为素数，且〃/整除pq+“+6-1,则。+。+厂=.

13.若Jx-2+(4->1)2=0,那么冲=.

14.若诟雨是能被3整除的五位数，则％的可能取值有个；这样的五位数中

能被9整除的是.

15.已知“，b,c,"为非负整数，S.ac+bd+ad+be=]997,则a+b+c+d=

16.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟

悉的“进位制”.如图所示是一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的

不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是天.

三、解答题

17.先化简，再求值：6ab-[~2b2-2[a2+2a-4(b2+ab-2)]-3(a2+2b2))-4

(ab+-a2-b),其中“、〃满足(a+b-3)2+(岫+4)2=0.

4

3

18.已知三个正整数倒数之和等于:，求这三个数.

4

19.A-2B=7a2-7ab,B=-a2+6ab-^l.

⑴求A;

(2)已知(a+1)2+\b-2\=0,求A的值.

20.人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系.若两个不同的自

然数的所有真因数(即除了自身以外的正因数)之和相等，我们称这两个数为“亲和

数”.例如：18的正因数有1、2、3、6、9、18,它的真因数之和为

1+2+3+6+9=21；51的正因数有1、3、17、51,它的真因数之和为1+3+17=21,

所以称18和51为“亲和数又如要找8的亲和数，需先找出8的真因数之和为

1+2+4=7,而7=1+3+3,所以8的亲和数为Ix3x3=9,数还可以与动物形象地联

系起来，我们称一个两头(首位与末位)都是1的数为“两头蛇数”.例如：121、1351

等.

(1)10的真因数之和为:

(2)求证：一个四位的“两头蛇数”两与它去掉两头后得到的两位数的3倍的差，能

被7整除；

(3)一个百位上的数为4的五位“两头蛇数”，能被16的“亲和数”整除，若这个五位

“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的五位“两头蛇数”.

21.如果一个整数P能分解成两个两位数的乘积，且这两个两位数各数位上的数字之

和相等，把这样的整数P称为“最美数”，把这样的分解称为“最美分解”.

例如：因为448=32x14,3+2=1+4,所以448是“最美数”；

又例如：因为391=23x17,2+3W1+7,所以391不是“最美数”

(1)判断286(填“是”或“不是”)“最美数”；

⑵若一个“最美数”P进行“最美分解"P=AxB,证明：A+2B能被3整除；

(3)把一个“最美数”P进行“最美分解”，即2=4、3.其中A=l(k+b,B=Wc+d,

C\<a<5,0<b<9,l<c<3,0<J<5,a,b,c,4为整数).若A+28为完全平

方数，求所有满足条件的整数P.

22.(1)证明：奇数的平方被8除余1；

(2)请进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和.

参考答案：

1.B

【解析】

【分析】

先写出100以内可以写出整数平方的数确定〃，再列举出100以内的素数确定”的取值范

围，再结合a2b进一步缩小。的取值范围，然后根据b是整数分类解答即可确定〃，最后求

和即可.

【详解】

解：100以内可以写出整数平方的有：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100,共10

个，即机=10；

：100以内的素数有1、2、3、5、7、11、13、…

.•.在100以内，可以“2可以是有4,9,25,49

是整数

.•.①4b在100以内，也就是4的倍数，100以内有25个；

②%在100以内，也就是9的倍数，100以内有11个；

③25匕在100以内，也就是25的倍数，有25,50,75,100,4个；

③4助在100以内，也就是49的倍数，有49,98,2个；

减去49的公倍数36,72两个,一共”=25+11+4+2-2=40(个)

/.m+n=10+40=50.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了数字的计算和规律探索，灵活运用平方、素数、整数、公倍数以及识记常

见数的特点成为解答本题的关键.

2.D

【解析】

【分析】

5X2+10X+12=2,、

先把分式化为f+2x+2=5+(x+[j+]，根据完全平方公式的非负性得出(x+l)+121

即可.

【详解】

答案第1页，共13页

E5X*234+\0X+\25（X+2X+2）+2=2=2

解：—;-----------=-^―；--------------=5+—---------=5+--------—

X2+2X+2X2+2X+2X2+2X+2（x+1）+1

：（x+l）>0,

（x+1）+121,

5/+10氏+12

城大=5+2=7.

x~+2x+2

故选：D.

【点睛】

本题考查裂项法把分式分成有理数与分式两部分，非负数性质，解题的关键是掌握裂项法

把分式分成有理数与分式两部分，非负数性质.

3.B

【解析】

【分析】

【详解】

p2+5pq+4q2=nr（m为自然数）,贝!!（p+2g）：+pq=病,

即（机_p_2q）（〃?+/?+2q）=pq.

由于。，夕为素数，S.m+p+2q>p,in+p+2q>q,所以m-p-2q=l,

m+p+2q=pq,

从而/々-2p-4q-l=0,即（0-4）0-2）=9,所以（?应）=（5,11）或（7,5）.

所以，满足条件的素数对("，4)的个数为2.

4.B

【解析】

【分析】

先根据偶次方的非负性、绝对值的非负性可得。、。的值，再代入代数式计算即可得.

【详解】

解：\a+2\+=0,|a+2|>0(6—1)>0,

由偶次方的非负性、绝对值的非负性得：。+2=0,1=0,

解得a=-2,b=\,

答案第2页，共13页

♦♦a+b=-2+1=-1)

故选：B.

【点睛】

本题考查了代数式求值、偶次方的非负性、绝对值的非负性，熟练掌握偶次方和绝对值的

非负性是解题关键.

5.B

【解析】

【分析】

【详解】

解选反理由：设两个连续偶数为兼+2和2人,则(2/+2『_(2”尸=4(24+1).

又歌+1是奇数，从而，神秘数是4的倍数，但不是8的倍数.

设任意两个正奇数为2%+1和2〃+1,则

(2m+1)2~(2n+1)2=4(m+〃+1)(，〃-ri).

由于帆+〃+1与切-”的奇偶性相反，从而，(2〃?+1)2-(2〃+1)2是8的倍数.故

(2m+_(2〃+1产不是神秘数.

X2008=8x251,故2008不是神秘数.

不难验证：1〜100之间的神秘数有4x1,4x3,…,4x25.共计13个.

综上，知③、④正确.

6.C

【解析】

【分析】

根据有理数的含义和分类方法，逐一判断即可.

【详解】

解：A、•.・正有理数、负有理数和0统称有理数，

：・选项A不正确，不符合题意；

B、・••正整数与负整数、0统称为整数，

，选项B不正确，不符合题意；

C、；整数和分数统称有理数

答案第3页，共13页

.•・选项C正确，符合题意；

D、•.•一个有理数不是正数，可能是负数或0,

二选项D不正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了有理数的含义和分类方法，解题的关键是要熟练掌握有理数的分类：①有

理数可以分为正有理数，0,负有理数；正有理数可以分为正整数和正分数，负有理数分为

负整数和负分数；②有理数可以分为整数和分数；整数分为正整数，0负整数；分数分为

正分数和负分数；按两种分类一一判断即可.

7.C

【解析】

略

8.A

【解析】

【分析】

先根据绝对值和偶次方的非负数的性质得出3=0,*+2=0,解方程求出a与〃，然后代

入单项式得出单项式，根据单项式的系数与次数定义求解即可.

【详解】

2

解：V|a-3|+（匕+2）2=0,\a-3|>0,（6+2）>0,

••・根据绝对值与偶次方非负数性质可得a-3=0,人+2=0,

解得a=3,b=-2,

单项式-15x5），的系数为-15,次数为5+1=6次.

故选择A.

【点睛】

本题考查绝对值与偶次方非负数性质，单项式的次数与系数，解一元一次方程，掌握非负

数性质，和单项式相关定义是解题关键.

9.297

【解析】

【分析】

答案第4页，共13页

设百位上的数为X,十位上的数为y,个位上的数为Z,则100x+10y+z-2（x+y+z）=261

计算可得98x+8y-z=261,首先判断98x的取值范围确定x的值，再判断8y的取值范围确定

y的值，最后求出z即可.

【详解】

解：设百位上的数为达十位上的数为y,个位上的数为z,

则100x+10y+z-2（x+y+z）=261

98x+8y-z=261

98x=261-8y+z

V0<><10,0<z<10

/.181<261-8j+z<271

.,.181<98x<271

取整数

x=2

同理可得y=9,z=7

故答案为297.

【点睛】

本题考查了有理数的数字特征，解题的关键是判断数字的取值范围.

10.9

【解析】

【分析】

【详解】

显然P,夕不能均为奇数（否则等式左边为偶数，右边为奇数），于是〃=2或9=2.

（1）若0=2,则可得/_]4才+343=0,解得4=7,检验知（p,q）=（2,7）为一组解.

（2）若4=2,则可得29P=43p3+9,此式一边为奇数一边为偶数，没有整数解.

综上可知P=2,<7=7,所以p+q=9.

11.-12

【解析】

【分析】

答案第5页，共13页

根据非负数的性质列出方程求出小、〃的值，代入所求代数式计算即可.

【详解】

解：V|/M-3|+（n+4）2=0,|m-3|>0,（n+4）2>0,

m-3-O,且n+4=Q,

解得：m=3,〃=4

/MH=3x（^4-）=—12,

故答案为：-12.

【点睛】

本题考查了有理数的乘法，代数式的值，与非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几

个非负数都为0.

12.10

【解析】

【分析】

【详解】

设忆=//+"+7-」+」+）一一由题意知%是正整数，又。,4/22,所以左

pqrpqrpqr2

从而k=l,即有pq+qr+6-l=pqr,于是可知人q,r互不相等.

当24P<4<r时，pqr=pq+qr+rp-\<?>qr,所以q<3,故q=2.

于是2pr=qr+2q+2r-l,故（q-2）（r-2）=3,所以q-2=l,r-2=3,即4=3,

r=5,

所以，（p,%r）=（2,3,5）.

再由乙q,"的对称性知，所有可能的数组（P，%r）共有6组，即（2,3,5）,（2,5,3）,

（3,2,5）,（3,5,2）,（5,2,3）,（5,3,2）.

于是P+4+r=10.

13.16

【解析】

【分析】

根据非负数的性质，得出x-2=0,4-.y=0,解方程求出X、），的值，然后求代数式的值得到答

答案第6页，共13页

案.

【详解】

解：,.,^/x^2+(4-y)2=0,

X—2=0,4—y=0,

x=2,y=4,

/./=42=16.

故答案为：16.

【点睛】

本题考查了非负数的应用，一元一次方程，代数式的值，解题的关键是熟练掌握非负数的

性质，正确得到x、y的值.

14.394599

【解析】

【分析】

【详解】

填3,94599.理由：能被3整除的数各位数字的和也能被3整除，即24+4+5+9=24+18

能被3整除，且&H0.

所以k=3,6,9,共3个.

又因为被9整除的数各位数字的和也能被9整除，即2Z+18能被9整除，所以％=9.

因此这样的五位数中能被9整除的是94599.

15.1998

【解析】

【分析】

【详解】

理由：因为ac+6"+a"+bc=1997,所以(a+6)(c+d)=1x1997.

注意到1997是质数，且a+b,c+d都是非负整数，所以

[a+b^\,_J“+Z)=1997,

(c+d=1997或jc+d=l.

因此a+6+c+d=1998.

16.38

答案第7页，共13页

【解析】

【分析】

由题可知，孩子出生的天数的五进制数为123,化为十进制数即可.

【详解】

解：根据题意得：

孩子出生的天数的五进制数为123,

化为十进制数为：123=1x5?+2x5,+3x5°=38(天)，

.••孩子已经出生的天数是38天.

故答案为：38.

【点睛】

本题以数学文化为载体，主要考查了进位制等基础知识和运算能力.解题的关键是会将五

进制转化成十进制.

17.-6ab+4a+4b+16,52

【解析】

【分析】

先去括号，合并同类项进行化简，然后根据偶次幕的非负性求得"+〃，M的值，利用整体

思想代入求值即可.

【详解】

解：6ab-{-2b2-2[a2+2a-4(b2+ab-2)]-3(a2+2/72)[-4(ab+—a2-b),

4

—6ab-[-2b2-2(a2+2a-4b2-4ab+8)-3a2-6b2]-4ab-5a2+4b,

—6ah-(-2b2-2a2-4a+Sb2+Sah-16-3a2-6b2)-4ab-5a2+4b,

=6ab+2b2+2a2+4a-8炉-8a/?+16+3/+6炉-4ab-5a2+4b,

=-6ab+4a+46+16；

222

(a+b-3)+(ab+4)2=0.且(a+b-3)>0,(ab+4)>0,

a+h—3,ab--4；

，原式=-6ab+4(a+b)+16,

=-6x(-4)+4x3+16,

=52.

【点睛】

答案第8页，共13页

本题考查整式加减化简求值，偶次方非负数性质，掌握整式加减化简求值，偶次方非负数

性质是解题关键.

18.符合题意的三个正整数有6组：2,5,20；2,6,12；2,8,8；3,3,12；3,4,6；4,4,4

【解析】

【分析】

【详解】

解：设三个正整数为x,y,z,x«y4z,则_1+，+1=［二，_+_1+，］=!，由平均值原理知

xyz43\xyzj4

中必有一个不小于!，所以其中较大者上之!.又且x是正整数，故上只

xyZ4x4X4x

可能是;或?或!，即x=2或3或4.

234

当x=2时，!+工=；①,y-+-^1，故，」中必有一个不小于:，所以其中较大的

yz421yzj8yz8

,2：,l<y48,y=2,3,4,5,6,7,8,代入①验证知y=2,3,4,7时z不为正整数，舍去.当

y8

y=5,6,8时,z分别等于20,12,8.

当x=3时，—+-=-1r(2),故中较大的,不小于三，从而4.

yz12yzy245

又yNx*3,所以y只可能为3,4,分别代入②得z=12,6.

当x=4时，—+-=^-(3),故,，,中较大的,不小于从而y«4.

yz2yzy4

又y之xN4,所以y=4,代入③得z=4.

综上所述，得满足题意的三个正整数有下列6组：2,5,20;2,6,12;2,8,8;3,3,12;3,4,6;4,4,4.

19.(\)A^5a2+5ab+\4

(2)9

【解析】

【分析】

(1)表示出A,然后去掉括号，再根据整式的加减运算方法进行计算即可得解；

(2)根据非负数的性质列式求出。、b的值，然后代入进行计算即可得解.

(1)

解：A-2B=1a2-1ab,B=-a2+6ab+l

：.A=2B+(7〃-7而

答案第9页，共13页

=2(-a2+6ab+l)+(la2-lab)

=-2a2+12ab+14+la2-lab

=5a2+5ab+\4；

(2)

V31)2+收-2|=0,(«+l)2>0,\b-2\>0

.a+]-0,6-2=0,

解得〃=-l,b=2,

原式=5x(-1)2+2X(-1)x2+14=5-10+14=9.

【点睛】

本题考查整式的加减、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的

条件，利用非负数的性质解答.

20.(1)8；(2)见解析;(3)10461,11451,12441.

【解析】

【分析】

(1)先求出10的真因数，再求10的真因数之和即可；

(2)先把给出的数用代数式表示而=1001+100〃+106，元=10°+6，根据要求列代数式

得曲-27=1001+100“+10b-3(10a+6)=7(104+A+143),说明括号中的数为整式即可；

(3)设五位"两头蛇数''为两(♦?),先求出16的真因数之和15,找到16的亲和数

为1x3x11=33,根据能被16的“亲和数”整除，将五位数写成33的倍数与剩余部分为

1x471=33X3I5+33X30A-+10X+10y+6,可得5x+5y+3能被33整除，根据04xW8,

l<y<9Jix<y,得出545x+5y+3V88能被33整除得出x+y=6即可.

【详解】

.解：(1)10的真因数为1,2,5,

10的真因数之和为1+2+5=8,

故答案为8；

(2)而=1000+100。+106+1=1001+100〃+106，ab=10a+b,

•两-3%=1001+100〃+10。-3(10。+力,

=70a+76+1001,

答案第10页，共13页

=7(10a+b+143),

又因为04a49,046W9的整数，

，10a+6+143为整数，

・•・一个四位“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的3倍的差能被7整除；

(3)设五位"两头蛇数”为词i(x<y)，

•••末位数为1,

，不能被2(真因数)整除，

V16的真因数之和=1+2+4+8=15=1+3+11,

.♦.16的亲和数为1x3x11=33,

•.,L^i=10401+I000x+10y=33x315+6+33x30x+I0x+10y能被33整除，

.•.10x+10y+6=2(5x+5)，+3)能被33整除,

又2不能被33整除，

，5x+5y+3能被33整除，

又,.•04x48,14y49且x<y,

5<5x+5y+3<88,

;.5x+5y+3=33或66.

，5x+5y=30或5x+5y=63(舍去)，

:.x+y=6,

0<x<y<9,

x=0,y=6或x=l,y=5或x=2,y=4,

所以五位“两头蛇数”为10461,11451,12441.

【点睛】

本题考查数字之间的新定义，仔细阅读题目，把握实质，明确真因数与亲和数，整除性

质，五位数的代数式表示，不等式组的解集，二元一次方程的非负整数解，掌握真因数与

亲和数，整除性质，五位数的代数式表示，不等式组的解集，二元一次方程的非负整数解

是解题关键.

21.⑴是

(2)见详解

(3)满足条件的整数P为144,495,630,792,765.

答案第II页，共13页

【解析】

【分析】

把268=22x13,即可得到答案；

根据