【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第01讲集合与常用逻辑用语(原卷版+解析)

第01讲集合与常用逻辑用语【学习目标】1、正确掌握使用集合的语言来刻画一类事物的方法．2、理解使用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理的方法．【考点目录】考点一：集合的含义与表示考点二：集合的基本关系考点三：集合的基本运算考点四：含参数的集合问题考点五：充分与必要条件考点六：全称量词与存在量词【基础知识】知识点一：集合的有关概念1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合．2、关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．（3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合．3、元素与集合的关系：（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作4、常用数集及其表示非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R知识点二：集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来．2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．知识点三．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．记作：读作：A包含于B（或B包含A）．图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．记作：A读作：A等于B．图示：知识点四．真子集若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集．记作：AB（或BA）读作：A真包含于B（或B真包含A）知识点五．空集不含有任何元素的集合称为空集，记作：．规定：空集是任何集合的子集．结论：（1）（类比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）若则（类比，则）（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0．知识点六：集合的运算1、并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn图表示：2、交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：3、补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：4、集合基本运算的一些结论，，，，，，，，，若A∩B=A，则，反之也成立若A∪B=B，则，反之也成立若x（A∩B），则且xB若x（A∪B），则xA，或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．知识点七：充分条件与必要条件充要条件的概念符号与的含义“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：．充分条件、必要条件与充要条件①若，称是的充分条件，是的必要条件．②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．知识点八：充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件．从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件．知识点八：全称量词与全称量词命题1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示．2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对．知识点九：存在量词与存在量词命题1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示．2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对．知识点十：命题的否定1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．知识点十一：全称量词命题的否定一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：．知识点十二：存在量词命题的否定一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：．知识点十三：命题与命题的否定的真假判断一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．知识点七：常见正面词语的否定举例如下：正面词语等于大于（>）小于（<）是都是否定不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至少有一个至多有一个任意的所有的至多有n个否定一个也没有至少有两个某个某些至少有n＋1个【考点剖析】考点一：集合的含义与表示例1．(2023·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所高一期末）已知集合，若，则实数的值为___________.例2．(2023·广西玉林·高一期末）集合，用列举法可以表示为_________．例3．(2023·四川·威远中学校高一期中）已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则=______．考点二：集合的基本关系例4．(2023·福建省永泰县城关中学高一期中）若集合，，则满足的集合的个数为___________．例5．(2023·江苏连云港·高一期中）设集合，若，则_________.例6．(2023·四川·广安育才学校高一期中）设集合，，，则集合的真子集个数为________个.例7．(2023·江苏·靖江高级中学高一期中）已知集合，则实数的取值集合为______________．考点三：集合的基本运算例8．(2023·湖南·衡东县欧阳遇实验中学高一期中）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B＝________．例9．(2023·辽宁·沈阳市第十一中学高一期中）已知集合，，则_______．例10．(2023·上海·曹杨二中高一期中）已知集合，则__________.例11．(2023·上海虹口·高一期末）已知集合，，则______．例12．(2023·河北廊坊·高一期末）某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人.已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有___________人.例13．(2023·安徽池州·高一期末）已知集合，，则下图中阴影部分表示的集合为___________.考点四：含参数的集合问题例14．(2023·湖北黄石·高一期末）已知集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．例15．(2023·河北沧州·高一期末）已知集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.例16．(2023·内蒙古赤峰·高一期末）已知集合，或．(1)若，求a的取值范围；(2)若，求a的取值范围．例17．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知集合，.(1)当时，求，；(2)若，求实数的取值范围.例18．(2023·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．（1）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；（2）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；（3）当x∈R时，若A∩B＝，求实数m的取值范围．考点五：充分与必要条件例19．(2023·浙江·杭州四中高一期末）“”是“”的（

）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例20．(2023·湖南湘西·高一期末）已知：，：，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例21．(2023·江苏盐城·高一期末）“”的一个充分条件是（

）A． B． C． D．考点六：全称量词与存在量词例22．(2023·北京·清华附中高一期末）已知命题，则是（

）A． B．C． D．例23．(2023·全国·高一期末）若“”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例24．(2023·河南新乡·高一期末）命题“有些梯形的对角线相等”的否定是（

）A．有些梯形的对角线不相等 B．所有梯形的对角线都相等C．至少有一个梯形的对角线相等 D．没有一个梯形的对角线相等例25．(2023·江苏省南通中学高一期中）已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【真题演练】1．(2023·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．(2023·天津·高考真题）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高考真题（文））设集合，则（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高考真题）若集合，则（

）A． B． C． D．5．(2023·全国·高考真题（文））集合，则（

）A． B． C． D．6．(2023·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（

）A． B． C． D．7．(2023·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（

）A． B． C． D．8．(2023·全国·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．9．(2023·北京·高考真题）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．10．(2023·浙江·高考真题）设集合，则（

）A． B． C． D．【过关检测】一、单选题1．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）集合，，则（

）A． B．C． D．2．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知集合，，，则（

）A． B． C．或 D．3．(2023·内蒙古包头·高一期末）集合，，若，则（

）A． B． C． D．4．(2023·山西朔州·高一期末）下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．5．(2023·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）命题“”的否定为（

）A． B．C． D．6．(2023·江苏·高一期末）已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．(2023·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．8．(2023·广东广雅中学高一期末）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（）个A．3 B．4 C．7 D．8二、多选题9．(2023·福建三明·高一期末）整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，其中．以下判断正确的是（

）A． B．C． D．若，则整数a，b属同一类10．(2023·黑龙江绥化·高一期末）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（

）A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素11．(2023·江苏淮安·高一期末）下面选项中正确的有（

）A．命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”B．命题“∀x∈R，x2+x+1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1>0”C．“α=kπ+β，k∈Z”是“tanα=tanβ”成立的充要条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件12．(2023·重庆·高一期末）已知全集为，，是的非空子集且，则下列关系一定正确的是（

）A．，且 B．，C．，或 D．，且三、填空题13．(2023·江苏·高一期末）已知“”是假命题,则实数的取值范围为________.14．(2023·上海·同济大学第二附属中学高一期末）已知集合有且仅有两个子集，则实数__________.15．(2023·重庆·高一期末）设集合，，则______．16．(2023·上海·华师大二附中高一期末）已知a∈R，不等式的解集为P，且-1∈P，则a的取值范围是____________.四、解答题17．(2023·贵州·赫章县教育研究室高一期末）设全集，，.求，，，18．(2023·河南新乡·高一期末）已知集合，．(1)若，求；(2)若，求a的取值范围．19．(2023·山西·怀仁市第一中学校高一期末）已知集合，．(1)若，求；(2)若，求实数m的取值范围．20．(2023·北京朝阳·高一期末）已知全集，集合，集合．(1)求集合及；(2)若集合，且，求实数的取值范围．21．(2023·广东东莞·高一期末）已知集合，.(1)分别判断元素，与集合A，B的关系；(2)判断集合A与集合B的关系并说明理由.22．(2023·湖南张家界·高一期末）已知集合，（）．(1)当时，求和；(2)是否存在实数，使得集合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．第01讲集合与常用逻辑用语【学习目标】1、正确掌握使用集合的语言来刻画一类事物的方法．2、理解使用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理的方法．【考点目录】考点一：集合的含义与表示考点二：集合的基本关系考点三：集合的基本运算考点四：含参数的集合问题考点五：充分与必要条件考点六：全称量词与存在量词【基础知识】知识点一：集合的有关概念1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合．2、关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．（3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合．3、元素与集合的关系：（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作4、常用数集及其表示非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R知识点二：集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来．2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．知识点三．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．记作：读作：A包含于B（或B包含A）．图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．记作：A读作：A等于B．图示：知识点四．真子集若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集．记作：AB（或BA）读作：A真包含于B（或B真包含A）知识点五．空集不含有任何元素的集合称为空集，记作：．规定：空集是任何集合的子集．结论：（1）（类比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）若则（类比，则）（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0．知识点六：集合的运算1、并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn图表示：2、交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：3、补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：4、集合基本运算的一些结论，，，，，，，，，若A∩B=A，则，反之也成立若A∪B=B，则，反之也成立若x（A∩B），则且xB若x（A∪B），则xA，或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．知识点七：充分条件与必要条件充要条件的概念符号与的含义“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：．充分条件、必要条件与充要条件①若，称是的充分条件，是的必要条件．②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．知识点八：充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件．从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件．知识点八：全称量词与全称量词命题1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示．2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对．知识点九：存在量词与存在量词命题1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示．2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对．知识点十：命题的否定1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．知识点十一：全称量词命题的否定一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：．知识点十二：存在量词命题的否定一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：．知识点十三：命题与命题的否定的真假判断一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．知识点七：常见正面词语的否定举例如下：正面词语等于大于（>）小于（<）是都是否定不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至少有一个至多有一个任意的所有的至多有n个否定一个也没有至少有两个某个某些至少有n＋1个【考点剖析】考点一：集合的含义与表示例1．(2023·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所高一期末）已知集合，若，则实数的值为___________.答案：【解析】因为且，所以或，解得或，当时，此时不满足集合元素的互异性，故舍去；当时，符合题意；故答案为：例2．(2023·广西玉林·高一期末）集合，用列举法可以表示为_________．答案：【解析】因为，所以，可得，因为，所以，集合．故答案为：例3．(2023·四川·威远中学校高一期中）已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则=______．答案：-1【解析】∵集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，A=B，∴，解得x=-1，y=0，则x2017+y2018=（-1）2017+02018=-1．故答案为：-1．考点二：集合的基本关系例4．(2023·福建省永泰县城关中学高一期中）若集合，，则满足的集合的个数为___________．答案：7【解析】由题意得，又，，所以满足条件集合为所以满足的集合的个数为．故答案为：7.例5．(2023·江苏连云港·高一期中）设集合，若，则_________.答案：【解析】依题意，集合，由于，所以，解得.故答案为：例6．(2023·四川·广安育才学校高一期中）设集合，，，则集合的真子集个数为________个.答案：63【解析】当，时，；当，时，；当，或时，；当，时，；当，或，时，；当，时，；，故中元素的个数为个.集合的真子集个数为个.故答案为：63.例7．(2023·江苏·靖江高级中学高一期中）已知集合，则实数的取值集合为______________．答案：【解析】集合，则所以或.所以实数的取值集合为：.故答案为：.考点三：集合的基本运算例8．(2023·湖南·衡东县欧阳遇实验中学高一期中）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B＝________．答案：【解析】，，故答案为：.例9．(2023·辽宁·沈阳市第十一中学高一期中）已知集合，，则_______．答案：【解析】解方程组可得，因此，.故答案为：.例10．(2023·上海·曹杨二中高一期中）已知集合，则__________.答案：【解析】，则.故答案为：例11．(2023·上海虹口·高一期末）已知集合，，则______．答案：【解析】解方程得：或，则，而，所以.故答案为：例12．(2023·河北廊坊·高一期末）某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人.已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有___________人.答案：12【解析】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人，则.故答案为：12.例13．(2023·安徽池州·高一期末）已知集合，，则下图中阴影部分表示的集合为___________.答案：【解析】由图可知，阴影部分所表示的集合为且.故答案为：.考点四：含参数的集合问题例14．(2023·湖北黄石·高一期末）已知集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．【解析】（1）因为，所以或．又且，所以，解得所以实数的取值范围是．（2）若（补集思想），则．当时，，解得；当时，，即，要使，则，得．综上，知时，，所以时，实数的取值范围是．例15．(2023·河北沧州·高一期末）已知集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【解析】(1)，当时，，∴；(2){或x＞4}，当时，，，解得a＜1；当时，若，则解得.综上，实数的取值范围为.例16．(2023·内蒙古赤峰·高一期末）已知集合，或．(1)若，求a的取值范围；(2)若，求a的取值范围．【解析】(1)∵或，且，∴，解得，∴a的取值范围为；(2)∵或，且，∴，∴或，即或，∴a的取值范围是.例17．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知集合，.(1)当时，求，；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，可得集合，，所以，.（2）由，可得，①当时，可得，解得：；②当时，则满足，解得：，综上：实数的取值范围是.例18．(2023·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．（1）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；（2）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；（3）当x∈R时，若A∩B＝，求实数m的取值范围．【解析】（1）因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝时，m＋1>2m－1，则m<2；当B≠时，可得，解得2≤m≤3．综上可得，实数m的取值范围是（－∞，3]．（2）当x∈Z时，A＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254．（3）当B＝时，由（1）知m<2；当B≠时，可得，或，解得m>4．综上可得，实数m的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．考点五：充分与必要条件例19．(2023·浙江·杭州四中高一期末）“”是“”的（

）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B【解析】解不等式，得而集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分而不必要条件故选：B例20．(2023·湖南湘西·高一期末）已知：，：，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B【解析】由可得，或，，所以由推不出，，由，，可以推出，故是的必要不充分条件.故选：B.例21．(2023·江苏盐城·高一期末）“”的一个充分条件是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】对于A，当时，满足，无法得到，充分性不成立，A错误；对于B，当时，，或，充分性不成立，B错误；对于C，当时，，可得到，C正确；对于D，当时，，或，充分性不成立，D错误.故选：C.考点六：全称量词与存在量词例22．(2023·北京·清华附中高一期末）已知命题，则是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由题意得：全称量词命题的否定是存在性量词命题：故，则故选：C例23．(2023·全国·高一期末）若“”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】为真命题，∴，，∵在区间上单调递增，，即，∴实数的取值范围为．故选B例24．(2023·河南新乡·高一期末）命题“有些梯形的对角线相等”的否定是（

）A．有些梯形的对角线不相等 B．所有梯形的对角线都相等C．至少有一个梯形的对角线相等 D．没有一个梯形的对角线相等答案：D【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时，存在改全称，并否定结论．所以命题“有些梯形的对角线相等”的否定是没有一个梯形的对角线相等，故选：D例25．(2023·江苏省南通中学高一期中）已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】依题意，全称量词命题：为真命题，所以，在区间上恒成立，所以，所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”.故选：B【真题演练】1．(2023·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A【解析】当为整数时，必为整数；当为整数时，比一定为整数，例如当时，.所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.故选：A.2．(2023·天津·高考真题）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，故，故选：A.3．(2023·全国·高考真题（文））设集合，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为，，所以．故选：A.4．(2023·全国·高考真题）若集合，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，故，故选：D5．(2023·全国·高考真题（文））集合，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为，，所以．故选：A.6．(2023·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由题知,对比选项知，正确,错误故选:7．(2023·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由题意，，所以,所以.故选：D.8．(2023·全国·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】[方法一]：直接法因为，故，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法代入集合，可得，不满足，排除A、D；代入集合，可得，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；9．(2023·北京·高考真题）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由补集定义可知：或，即，故选：D．10．(2023·浙江·高考真题）设集合，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，故选：D.【过关检测】一、单选题1．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）集合，，则（

）A． B．C． D．答案：B【解析】在数轴上分别标出集合所表示的范围如图所示，由图可知，.故选:B.2．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知集合，，，则（

）A． B． C．或 D．答案：C【解析】因为，，所以或，所以或．故选：C．3．(2023·内蒙古包头·高一期末）集合，，若，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，所以，所以，解得，所以，，所以，故选：D4．(2023·山西朔州·高一期末）下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】是元素，而是集合，而元素和集合之间不能用包含关系，A选项错误；是两个元素的实数集，是一个元素的点集，元素类型都不相同，因此不具有包含关系，C选项错误，这两个集合中的元素分别是，，显然这两个点不一定是同一个点，于是两个集合不一定相等，D选项错误；由于空集是任何非空集合的真子集，是单元素非空集合，故B正确.故选：B.5．(2023·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）命题“”的否定为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“”故选：C6．(2023·江苏·高一期末）已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意可知，命题：，为真命题.①当时，则，不合乎题意；②当时，则，令，则，所以，当时，，则.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.7．(2023·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，所以或，所以解集为，又因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，所以，故选：C.8．(2023·广东广雅中学高一期末）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（）个A．3 B．4 C．7 D．8答案：C【解析】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部分表示的集合为：CU（A∩B）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故选C．二、多选题9．(2023·福建三明·高一期末）整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，其中．以下判断正确的是（

）A． B．C． D．若，则整数a，b属同一类答案：ACD【解析】对A，，即余数为1，正确；对B，，即余数为3，错误；对C，易知，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，正确；对D，由题意能被5整除，则分别被5整除的余数相同，正确.故选：ACD.10．(2023·黑龙江绥化·高一期末）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（

）A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素答案：ABD【解析】令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.故选：ABD．11．(2023·江苏淮安·高一期末）下面选项中正确的有（

）A．命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”B．命题“∀x∈R，x2+x+1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1>0”C．“α=kπ+β，k∈Z”是“tanα=tanβ”成立的充要条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0