广东省佛山市顺德区德胜学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题(原卷版+解析)

广东顺德德胜学校2023-2024学年第一学期高二年级数学试卷一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在空间直角坐标系中，已知点，，则，两点间的距离是（）A.5 B.6 C.7 D.82.过点，且与直线平行直线方程（）A. B.C. D.3.已知，，则在上的投影向量为（）A.1 B. C. D.4.已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）A. B. C. D.5.以为顶点的三角形是（）A.锐角三角形 B.以为直角顶点的直角三角形C.以为直角顶点的直角三角形 D.钝角三角形6.从装有大小和形状完全相同的个红球和个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（）A.“至少一个白球”和“都是红球”B.“至少一个白球”和“至少一个红球”C.“恰有一个白球”和“恰有一个红球”D.“恰有一个白球”和“都是红球”7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△的顶点，，且，则△的欧拉线的方程为（）A. B.C. D.8.在正四面体中，点在线段上运动（不含端点）.设与平面所成角为，与平面所成角为，与平面所成角为，则（）A B. C. D.二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（）A.的倾斜角等于 B.在轴上的截距等于C.与直线垂直 D.与直线平行10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，则B.直线l的方向向量，平面的法向量是，则C.两个不同的平面的法向量分别是，则D.直线的方向向量，平面的法向量是，则11.某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（）A.这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”B.这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏C.该校约有5%的学生迷恋电子游戏D.该校约有2%的学生迷恋电子游戏12.在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（）A.当为中点时，为锐角B.存在点，使得平面C.的最小值D.顶点到平面的最大距离为三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为，用随机模拟的方法进行试验，由､､､表示下雨，由､､､､､表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生之间随机整数的组如下：通过以上随机模拟数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为___________.14.已知向量，，，则______________.15.已知直线，若直线，则直线的倾斜角大小为_____________．16.如图，长方体中，、与底面所成的角分别为和，，点为线段上一点，则最小值为_______.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.某校夏令营有名男同学和名女同学，现从这名同学中随机选出人参加知识竞赛.（1）写出试验的样本空间；（2）设为事件“选出的人恰有名男生和名女生”，求事件发生的概率.18.已知三角形的三个顶点，，.（1）求线段的中线所在直线方程；（2）求边上的高所在的直线方程.19.如图在平行六面体中，，，，，､､分别为，，中点.（1）求证：（2）求和所成角的余弦值；20.某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.21.如图，四边形是边长为的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离.22.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若PB，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．广东顺德德胜学校2023-2024学年第一学期高二年级数学试卷一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在空间直角坐标系中，已知点，，则，两点间的距离是（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：C【解析】分析：根据空间两点之间的距离公式:,将，两点代入,即可求得,两点间的距离.【详解】，==故选:C.【点睛】本题考查的是两点之间的距离,掌握两点之间的距离公式是解本题的关键.2.过点，且与直线平行的直线方程（）A. B.C. D.答案：A【解析】分析：由题意，可设直线方程为，代入点，可得解【详解】由题意，设直线方程为代入点可得故直线方程为：故选：A【点睛】本题考查了与已知直线平行的直线方程求解，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题3.已知，，则在上的投影向量为（）A.1 B. C. D.答案：C【解析】分析：根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】解：因为，，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：C4.已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）A. B. C. D.答案：D【解析】分析：根据相互独立事件的概率乘法公式可先求三人都没有被录取的概率，再由对立事件的概率求至少一个被录取的概率.【详解】因为甲，乙，丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，所以他们三人都没有被录取的概率为，故他们三人中至少有一人被录取的概率为.故选:D5.以为顶点的三角形是（）A.锐角三角形 B.以为直角顶点的直角三角形C.以为直角顶点的直角三角形 D.钝角三角形答案：C【解析】分析：根据向量的模的关系即可确定三角形的形状.详解】，，，，满足,且，所以是以为直角顶点的直角三角形.故选：C6.从装有大小和形状完全相同的个红球和个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（）A.“至少一个白球”和“都是红球”B.“至少一个白球”和“至少一个红球”C.“恰有一个白球”和“恰有一个红球”D.“恰有一个白球”和“都是红球”答案：D【解析】分析：根据互斥事件与对立事件的概念依次判断各个选项即可得到结果.【详解】A选项中“至少一个白球”和“都是红球”二者是互斥事件，同时二者必发生其一，是对立事件，A错误；B选项中“至少一个白球”和“至少一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，不是互斥事件，B错误；C选项中“恰有一个白球”和“恰有一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，不是互斥事件，C错误；D选项中“恰有一个白球”和“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件之外还有“都是白球”事件，故不是对立事件，D正确.故选：D.7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△的顶点，，且，则△的欧拉线的方程为（）A. B.C. D.答案：D【解析】分析：由题设条件求出垂直平分线的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得，且中点为，∴垂直平分线的斜率，故垂直平分线方程为，∵，则△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△的欧拉线的方程为.故选：D8.在正四面体中，点在线段上运动（不含端点）.设与平面所成角为，与平面所成角为，与平面所成角为，则（）A. B. C. D.答案：D【解析】分析：设，，，，，，然后算出，，即可.【详解】不妨设，，，，，所以，所以所以设平面的法向量为则有，即，即所以可取所以，同理可得，因为，所以，故，故选：D二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（）A.的倾斜角等于 B.在轴上的截距等于C.与直线垂直 D.与直线平行答案：CD【解析】分析：根据题意求出直线的方程，然后逐个分析判断即可.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，因为直线经过点，所以直线的方程为，即对于A，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，所以A错误，对于B，当时，，得，所以直线在轴上的截距等于，所以B错误，对于C，因为直线的斜率为，且，所以直线与直线垂直，所以C正确，对于D，因为直线的斜率为，且在轴上的截距为，而直线的斜率为，且在轴上的截距为，所以直线与直线平行，所以D正确，故选：CD10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，则B.直线l的方向向量，平面的法向量是，则C.两个不同的平面的法向量分别是，则D.直线的方向向量，平面的法向量是，则答案：AC【解析】分析：根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，且，所以，选项A正确∶对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，选项B错误；对于C，两个不同的平面的法向量分别是，且，所以，选项C正确；对于D，直线l的方向向量，平面a的法向量是且，所以，选项D错误．故选∶AC11.某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（）A.这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”B这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏C.该校约有5%的学生迷恋电子游戏D.该校约有2%的学生迷恋电子游戏答案：AC【解析】分析：先由题意计算出回答问题一人数50人，再计算出回答问题一“是”的人数25人，故可得到回答问题二“是”的人数5人,最后逐一分析四个选项即可.【详解】由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3的倍数的概率为，故理论上回答问题一的人数为人.掷出点数为奇数的概率为，理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”，故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.对于A,抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A正确.对于B,抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B错.对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，有5名学生回答“是”，故该校迷恋电子游戏的学生约为，故C正确.对于D,由C可知该校迷恋电子游戏的学生约为，故D错.故选：AC.12.在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（）A.当为中点时，为锐角B.存在点，使得平面C.的最小值D.顶点到平面的最大距离为答案：ABD【解析】分析：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断A；当平面，则，则有，求出，即可判断B；当时，取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断D.【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，则，则，故，则，，对于A，当为中点时，则，，则，，所以，所以为锐角，故A正确；当平面，因为平面，所以，则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；对于C，当时，取得最小值，由B得，此时，则，，所以，即的最小值为，故C错误；对于D，，设平面的法向量，则有，可取，则点到平面的距离为，当时，点到平面的距离为0，当时，，当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，故D正确.故选：ABD.三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为，用随机模拟的方法进行试验，由､､､表示下雨，由､､､､､表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生之间随机整数的组如下：通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为___________.答案：0.25##【解析】分析：找出对应的数据，再根据古典概型即可得解.【详解】解：由数据可知，表示恰有两天下雨的数据为共5组，所以三天中恰有两天下雨的概率近似为.故答案为：.14.已知向量，，，则______________.答案：2【解析】分析：由向量的模求得，然后由数量积的坐标表示计算．【详解】由已知，，所以．故答案为：215.已知直线，若直线，则直线的倾斜角大小为_____________．答案：##【解析】分析：根据直线方程可求出；根据求出，进而可求出直线的倾斜角.【详解】直线方程直线的倾斜角大小为故答案为：16.如图，长方体中，、与底面所成的角分别为和，，点为线段上一点，则最小值为_______.答案：【解析】分析：因为平面，所以，，根据，求出，，，又可化为，所以只需求出的最小值即可，即求直角三角形的斜边上的高即可得解.【详解】如图：因为平面，所以，，设，则，，，，因为，所以，所以，即，解得，所以，，，所以，当时，取最小值，最小值为，所以的最小值为，即的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查了长方体的结构特征，考查了直线与平面所成的角，考查了空间向量的数量积，属于中档题.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.某校夏令营有名男同学和名女同学，现从这名同学中随机选出人参加知识竞赛.（1）写出试验的样本空间；（2）设为事件“选出的人恰有名男生和名女生”，求事件发生的概率.答案：（1）（2）【解析】分析：（1）列出所有可能的结果即可得样本空间；（2）由古典概型即可求得概率.【小问1详解】所有可能的结果为：，，，，，，，，，，共10种情况.故样本空间为：.【小问2详解】事件M包含的结果有：，共6个结果，故事件M发生的概率为.18.已知三角形的三个顶点，，.（1）求线段的中线所在直线方程；（2）求边上的高所在的直线方程.答案：（1）（2）.【解析】分析：（1）先求出BC中点的坐标，再求BC的中线所在直线的方程；（2）先求出AB的斜率，再求出边上的高所在的直线方程.【详解】（1）由题得BC的中点D的坐标为（2，-1）,所以,所以线段的中线AD所在直线方程为即.（2）由题得,所以AB边上的高所在直线方程为，即.【点睛】本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.19.如图在平行六面体中，，，，，､､分别为，，的中点.（1）求证：（2）求和所成角的余弦值；答案：（1）证明见解析（2）【解析】分析：（1）只需证明即可；（2）利用向量数量积和模求向量间的夹角即可.【小问1详解】取为一组基底，设，依题：∴.，∴，故.【小问2详解】，.∴...∴所以直线与所成角的余弦值为.20.某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.答案：（1）（2）【解析】分析：（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件，同样利用互斥事件和的概率，即可求解.【小问1详解】设事件分别表示“被评为等级”，由题意，事件两两互斥，所以，又“不被罚款”，所以.因此“不被罚款”的概率为；【小问2详解】设事件表示“第单被评为等级”，，则“两单共获得的奖励为3元”即事件，且事件彼此互斥，又，所以.21.如图，四边形是边长为菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离.答案：（1）（2）【解析】分析：（1）（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，【小问1详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系：因为，所以，设平面的