高考数学大题精做专题01导数的几何意义的应用(第六篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第六篇函数与导数专题01导数的几何意义的应用类型对应典例在点切线问题典例1过点切线问题典例2公切线问题典例3利用切线关系研究其他问题典例4利用切线方程求参数的值或范围典例5【典例1】【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟考试】已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）证明：.【典例2】【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】已知函数，.（1）当为何值时，直线是曲线的切线；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围.【典例3】【江西省宜春市2019届高三4月模拟考试】已知函数f(x)=ax−ln(2x+1),g(x)=ex−x−1（1）求f(x)的单调区间和极值；（2）若x≥0时，g(x)≥kf(x)，求k的取值范围.【典例4】【湖南师大附中2020届高三月考】已知函数fx=e（Ⅰ）讨论函数ℎx（Ⅱ）记φx=fx,x<0gx,x>0，设（ⅰ）当x1>0，x2>0时，若（ii）若φx【典例5】【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试】已知函数fx（1）讨论fx（2）若曲线y=fx的一条切线方程为2x−y+1=0（i）求b的值；（ii）若x2>x1>0【针对训练】1.【陕西省汉中市2019届高三上学期教学质量第一次检测考试】已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.2.【河南省开封市2019届高三第三次模拟】已知函数f(x)=ex−a，g(x)=a(x−1)，（常数a∈R（Ⅰ）当g(x)与f(x)的图象相切时，求a的值；（Ⅱ）设ℎ(x)=f(x)⋅g(x)，若ℎ(x)存在极值，求a的取值范围.3.【天津市杨村第一中学2020届高三年级月考】已知函数，.（Ⅰ）设，求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线与在公共点处有相同的切线，求点的横坐标；（Ⅲ）设，且曲线与总存在公切线，求的最小值.4.【天津市和平区2020届高三年级质检】已知函数，当时，取得极小值.（1）求的值；（2）记，设是方程的实数根，若对于定义域中任意的，.当且时，问是否存在一个最小的正整数，使得恒成立，若存在请求出的值；若不存在请说明理由.（3）设直线，曲线.若直线与曲线同时满足下列条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有.则称直线与曲线的“上夹线”.试证明：直线是曲线的“上夹线”.5.【山西省2019届高三考前适应测试】已知函数．（1）若在处的切线斜率与k无关，求；（2）若，使得＜0成立，求整数k的最大值．备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第六篇函数与导数专题01导数的几何意义的应用类型对应典例在点切线问题典例1过点切线问题典例2公切线问题典例3利用切线关系研究其他问题典例4利用切线方程求参数的值或范围典例5【典例1】【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟考试】已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）证明：.【思路引导】(1)对函数求导后由几何意义求出函数在点处的切线方程(2)由导数可知存在极小值点，即最小值，下证【详解】（1），，又由题意得，，所以，即切线方程为.（2）证明：由（1）知，易知在区间单调递增，，且，所以，使得，即有唯一的根，记为，则，对两边取对数，得整理得，因为时，，，函数单调递减，时，，，函数单调递增，所以.当且仅当，即时，等号成立，因为，所以，即.【典例2】【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】已知函数，.（1）当为何值时，直线是曲线的切线；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围.【思路引导】（1）先令，求其导数，设切点为，由直线是曲线的切线，得到，用导数的方法研究函数的单调性，即可求出结果；（2）先令，对其求导，分别讨论和两种情况，结合题意，即可得到结果.【详解】（1）令，，设切点为，则，，则.令，，则函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以.（2）令，则，①当时，，所以函数在上单调递减，所以，所以满足题意.②当时，令，得，所以当时，，当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.（ⅰ）当，即时，在上单调递增，所以，所以，此时无解.（ⅱ）当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减.所以.设，则，所以在上单调递增,，不满足题意.（ⅲ）当，即时，在上单调递减，所以，所以满足题意.综上所述：的取值范围为.【典例3】【江西省宜春市2019届高三4月模拟考试】已知函数f(x)=ax−ln(2x+1),g(x)=ex−x−1（1）求f(x)的单调区间和极值；（2）若x≥0时，g(x)≥kf(x)，求k的取值范围.【思路引导】（1）求出f（x）的导数，根据f′（0）=g′（0），求出a的值从而解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间函数的极值即可；（2）设ℎ(x)=g(x)−kf(x)，通过讨论k的范围，求出k的具体范围即可．【详解】解（1）因为f'依题意，f'(0)=g所以f'当−12<x<0时，f'(x)<0故f(x)的单调递减区间为(−12,0)f(x)的极小值为f(0)=0，无极大值；（2）当x≥0时，令ℎ(x)=g(x)−kf(x)=e所以ℎ又令H(x)=(2x+1)ex因为x≥0时，(2x+3)ex≥3，令4①当k≤14时，H'(x)≥0，所以H(x)递增，从而ℎ(x)≥ℎ(0)=0，于是g(x)≥kf(x)成立.②当k>14时，H''(x)=(2x+5)e当x趋近+∞时，H'(x)趋近+∞，根据零点存在性定理，所以存在x0H'x0=0，所以H(x)在所以H(x)<所以此时ℎ(x)综上所述，k的取值范围是(−∞,【典例4】【湖南师大附中2020届高三月考】已知函数fx=e（Ⅰ）讨论函数ℎx（Ⅱ）记φx=fx,x<0gx,x>0，设（ⅰ）当x1>0，x2>0时，若（ii）若φx【思路引导】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；（2）（i）求出x2−x1的解析式，根据基本不等式的性质判断即可；（ii）求出A,B的坐标，分别求出曲线在试题解析：（1）ℎ(x)=ex(−当a+2≤0即a≤−2时，ℎ'(x)≤0，ℎ(x)在R上单调递减，当a+2>0时即a>−2时，ℎ'(x)=−e此时ℎ(x)在(−∞,−a+2)和(a+2（2）（i）g'(x)=−2x+2，据题意有(−2x1+2)(−2则−2x1+2>0且−2法1：x2当且仅当(−2x1+2)=(2x2法2：x2=1+1当且仅当1−x（ii）要在点A，B处的切线重合，首先需要在点A，B处的切线的斜率相等，而x<0时，φ'(x)=f'(x)=ex∈(0,1)，则必有xA处的切线方程是：y−B处的切线方程是：y−(−x22据题意则{ex1设p(x)=−ex(ex在(−∞,0)上，p'(x)=−2ex(ex则p(x)<p(0)=7，又p(x)=−ex(即当x∈(−∞,0)时，p(x)的值域是(0,7故4a+4∈(0,7【典例5】【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试】已知函数fx（1）讨论fx（2）若曲线y=fx的一条切线方程为2x−y+1=0（i）求b的值；（ii）若x2>x1>0【思路引导】（1）求导后，分b≥0和b<0两种情况，解得f'x>0与f（2）（i）设切点为x0,y（ii）将原问题转化为函数在给定区间上单调性的问题，利用导函数研究函数单调性的方法即可确定实数m的取值范围.【详解】由fx=e若b≥0，则f'x>0，即f若b<0，令f'x>0得x>ln−b，令f−∞,ln−b上是单调减函数，在（2）（i）设切点为x0,y0，ex0+b=2y0x0ex0−x<0时，g'x<0；x>0时，g'x∴gx在−∞,0上是减函数，在0,+∞∴gxmin=g0=0x0ex∴b=2−（ii）由（i）知fxfx1−fx2<由x2>x1>0∴ϕ'x令ℎx=exℎ'x<0时，0<x<1；ℎ'x>0∴ℎx在0,1上单调递减，在1,+∞∴ℎxmin=ℎ1=e，则2m≤e，即m≤【针对训练】1.【陕西省汉中市2019届高三上学期教学质量第一次检测考试】已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）根据切线的斜率可求出,得，求导后解不等式即可求出单调区间.（2）原不等式可化为恒成立，令，求导后可得函数的最小值，即可求解.【详解】（1）函数的定义域为，，又曲线在点处的切线与直线平行所以，即，由且，得，即的单调递减区间是由得，即的单调递增区间是.（2）由（1）知不等式恒成立可化为恒成立即恒成立令当时，，在上单调递减.当时，，在上单调递增.所以时，函数有最小值由恒成立得，即实数的取值范围是.2.【河南省开封市2019届高三第三次模拟】已知函数f(x)=ex−a，g(x)=a(x−1)，（常数a∈R（Ⅰ）当g(x)与f(x)的图象相切时，求a的值；（Ⅱ）设ℎ(x)=f(x)⋅g(x)，若ℎ(x)存在极值，求a的取值范围.【思路引导】（Ⅰ）设切点为Ax0,ex0−a解：（Ⅰ）设切点为Ax0,所以过A点的切线方程为y−ex0所以ex0=a（Ⅱ）依题意，ℎ(x)=a(x−1)ex−a当a＞0时，令φ(x)=xex−a令φ'(x)>0，x>−1，令φ'所以，当x∈(−∞，-1)时，φ(x)单调递减；当x∈(−1,+∞)时，若ℎ(x)存在极值，则φmin(x)=φ(−1)=−1又a∈(0,+∞)时，φ(a)=ae所以，a∈(0,+∞)时，φ(x)在(−1,+∞)存在零点x1，且在x1左侧φ(x)<0，在x1即ℎ'当a＜0时，当x∈(−∞，-1)时，φ(x)单调递增；当x∈(−1,+∞)时，若ℎ(x)存在极值，则φmax(x)=φ(−1)=−1又a∈−1e所以，a∈−φ(x)在(−1,+∞)存在零点x2，且在x2左侧φ(x)>0，在x2即ℎ'所以，若ℎ(x)存在极值，a∈−3.【天津市杨村第一中学2020届高三年级月考】已知函数，.（Ⅰ）设，求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线与在公共点处有相同的切线，求点的横坐标；（Ⅲ）设，且曲线与总存在公切线，求的最小值.【思路引导】（Ⅰ）时，求函数的导函数，解不等式，得到函数的单调区间；（Ⅱ）设公共点的坐标，可得，即，分别求出过的两条切线方程，由题意可知，这两条切线重合，可得有且，即，把代入，得，设，求导，根据单调性可知：函数在上有唯一的零点，所以，即点的横坐标为；（Ⅲ）分别求出两个曲线的切线方程，根据斜率相等和在纵轴的截距相等，得到方程组，通过消元法，得到一个方程，只要方程有正实数解即可，参变量分离，构造新函数，利用导数，求出新函数的最小值，最后求出的最小值.【详解】（Ⅰ）时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数的单调增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）设公共点为，，所以，即，曲线在公共点处的切线的斜率为：，切线方程为：，曲线在公共点处的切线的斜率为：，切线方程为：，曲线与在公共点处有相同的切线，所以有且，即，把代入，得，设，，函数在上单调递增，而，所以函数在上有唯一的零点，所以，即点的横坐标为；（Ⅲ）设曲线的切点为，，则切线的斜率为，所以曲线的切线方程为：，设曲线的切点为，，则曲线的切线的斜率为所以曲线的切线方程为；，由题意可知：有正实数解，由于，所以，所以，，设，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数有最小值，最小值为，要使方程有正实数解，只需，所以的最小值为.【天津市杨村第一中学2020届高三年级月考】已知函数，.（Ⅰ）设，求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线与在公共点处有相同的切线，求点的横坐标；（Ⅲ）设，且曲线与总存在公切线，求的最小值.【思路引导】（Ⅰ）时，求函数的导函数，解不等式，得到函数的单调区间；（Ⅱ）设公共点的坐标，可得，即，分别求出过的两条切线方程，由题意可知，这两条切线重合，可得有且，即，把代入，得，设，求导，根据单调性可知：函数在上有唯一的零点，所以，即点的横坐标为；（Ⅲ）分别求出两个曲线的切线方程，根据斜率相等和在纵轴的截距相等，得到方程组，通过消元法，得到一个方程，只要方程有正实数解即可，参变量分离，构造新函数，利用导数，求出新函数的最小值，最后求出的最小值.【详解】（Ⅰ）时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数的单调增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）设公共点为，，所以，即，曲线在公共点处的切线的斜率为：，切线方程为：，曲线在公共点处的切线的斜率为：，切线方程为：，曲线与在公共点处有相同的切线，所以有且，即，把代入，得，设，，函数在上单调递增，而，所以函数在上有唯一的零点，所以，即点的横坐标为；（Ⅲ）设曲线的切点为，，则切线的斜率为，所以曲线的切线方程为：，设曲线的切点为，，则曲线的切线的斜率为所以曲线的切线方程为；，由题意可知：有正实数解，由于，所以，所以，，设，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数有最小值，最小值为，要使方程有正实数解，只需，所以的最小值为.4.【天津市和平区2020届高三年级质检】已知函数，当时，取得极小值.（1）求的值；（2）记，设是方程的实数根，若对于定义域中任意的，.当且时，问是否存在一个最小的正整数，使得恒成立，若存在请求出的值；若不存在请说明理由.（3）设直线，曲线.若直线与曲线同时满足下列条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有.则称直线与曲线的“上夹线”.