2024八年级数学下册专题4.4平行四边形压轴题综合测试卷含解析新版浙教版

Page1专题4.4平行四边形（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（雁塔区校级三模）第24届冬季奥林匹克运动会于2024年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【思路点拨】依据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析推断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，假如旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；假如一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形．【解题过程】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．2．（金华月考）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能推断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．OB＝OD，OA＝OC B．AD∥BC，AB＝CD C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB＝CD【思路点拨】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．【解题过程】解：A、∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∵AD∥BC，AB＝CD，不能推断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；C、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．3．（新乡模拟）如图，五边形ABCDE是正五边形，且l1∥l2．若∠1＝57°，则∠2＝（）A．108° B．36° C．72° D．129°【思路点拨】过点B作BF∥l2交DE于点F，依据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．【解题过程】解：如图，过点B作BF∥l2交DE于点F，∵l1∥l2，∴BF∥l1，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=(5-2)×180°∵BF∥l2，∠1＝57°，∠2+∠CBF＝180°，∴∠ABF＝∠1＝57°，∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝108°﹣57°＝51°，∴∠2＝180°﹣51°＝129°，故选：D．4．（寻乌县期末）将一个四边形ABCD的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（）A．180° B．180°或360° C．360°或540° D．180°或360°或540°【思路点拨】分为三种状况，画出图形，依据多边形的内角和公式求出内角和即可．【解题过程】解：如图①，剩余的部分是三角形，其内角和为180°，如图②，剩余的部分是四边形，其内角和为360°，如图③，剩余的部分是五边形，其内角和为540°．综上所述，剩下图形的内角和为180°或360°或540°．故选：D．5．（灞桥区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB＝CD，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠GEF＝（）度．A．25 B．30 C．45 D．35【思路点拨】依据三角形中位线定理得到EG=12AB，EG∥AB，FG=12CD，FG∥CD，依据平行线的性质求出∠EGD、∠DGF，进而求出∠【解题过程】解：∵E，G分别是AD，BD的中点，∴EG是△ADB的中位线，∴EG=12AB，EG∥∴∠EGD＝∠ABD＝20°，同理可得：FG=12CD，FG∥∴∠DGF＝180°﹣∠BDC＝110°，∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝130°，∵AB＝CD，∴EG＝FG，∴∠GEF=1故选：A．6．（微山县月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝4，DE＝2，AB＝25，则AC的长为（）A．32 B．42 C．52 D．5【思路点拨】连接CE，由平行四边形的性质可得AO＝CO，CD＝AB＝25，再由线段垂直平分线的性质得CE＝AE＝4，然后由勾股定理的逆定理证出∠CED＝90°，则∠AEC＝90°，最终由勾股定理即可求解．【解题过程】解：如图，连接CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，CD＝AB＝25，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE＝AE＝4，∵CE2+DE2＝42+22＝20，CD2＝（25）2＝20，∴CE2+DE2＝CD2，∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AC=AE2故选：B．7．（丹徒区月考）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BE＝4，CF＝3，EF＝1，求AB为（）A．3 B．2.5 C．3.5 D．4【思路点拨】依据已知条件证明AE＝AB，DC＝DF，过点E作EG∥FC交BC延长线于点G，证明BE⊥EG，再利用勾股定理可得BG的长，进而可得AB的长．【解题过程】解：如图，过点E作EG∥FC交BC延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB，同理可证：DC＝DF，∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠EBC+∠FCB=1∴BE⊥CF，∵EG∥FC，∴BE⊥EG，∵EF∥CG，∴四边形EFCG是平行四边形，∴EG＝FC，在△BEG中，BE＝4，EG＝CF＝3，依据勾股定理，得BG=B∵AB＝AE＝CD＝DF，EF＝CG＝1，AD＝BC，∴BG＝BC+CG＝AE+DE+CG＝AE+DF﹣EF+EF＝2AB，∴5＝2AB，∴AB＝2.5．故选：B．8．（海曙区校级期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EF∥CD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（）A．△ECD B．△EBF C．△EBC D．△EFC【思路点拨】过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，证明△ADN≌△CBM得DN＝BM，由三角形的面积公式可得△BCF和△CDE的面积都等于△CDF的面积，便可得出答案．【解题过程】解：过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，在△ADN和△CBM中，∠DAN=∠BCM∠AND=∠CMB=90°∴△ADN≌△CBM（AAS），∴DN＝BM，∵S△BCF=12CF•BM，S△CDF=12∴S△BCF＝S△CDF，∵EF∥CD，∴S△CDE＝S△CDF＝S△BCF，故选：A．9．（越秀区校级开学）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB=3，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EFA．32+1 B．3 C．72【思路点拨】依据含30°角的直角三角形的性质可求解AO＝1，BO＝2，利用三角形的面积公式计算△ABO的面积，结合平行四边形的性质可得DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO=32，即可得到OE+2【解题过程】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB=3∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO=12AO•AB∵四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO=3∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO=1即OE+2EF=3故选：B．10．（涧西区一模）如图，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，AD＝22，CD＝72，∠ADB＝135°，S△ABD＝8．则点D的坐标为（）A．(-32，62) B．(-42，6【思路点拨】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，先通过AAS证出△BOE≌△CAD，依据全等三角形的性质得到OE＝AD＝22，BE＝CD＝72，依据三角形的面积即可得到结论．【解题过程】解：过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，∵四边形ABOC是平行四边形，∴AC＝OB，AC∥OB，∴∠OGC＝∠BOE，∵AD∥y轴，∴∠DAC＝∠OGC，∴∠BOE＝∠DAC，在△BOE和△CAD中，∠BEO=∠CDA∠BOE=∠CAD∴△BOE≌△CAD（AAS），∴OE＝AD＝22，BE＝CD＝72，∵∠ADB＝135°，∴∠BDF＝45°，∴BF＝DF，∵S△ABD＝8，∴12AD•BF∴12∴BF＝42，∴EF＝32，∴D（﹣32，62），故选：A．评卷人得分二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（青羊区校级月考）用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角【思路点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【解题过程】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角．故答案是：三角形的三个外角中至少有两个锐角．12．（沭阳县月考）如图，小明从A点动身，沿直线前进15米后向左转36°，再沿直线前进15米，又向左转36°，…，照这样走下去，他第一次回到动身地A点时，一共走了150米．【思路点拨】依据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以36°求出边数，然后再乘以15m即可得到答案．【解题过程】解：∵每次小明都是沿直线前进15米后向左转36°，∴他走过的图形是正多边形，边数n＝360°÷36°＝10，∴他第一次回到动身点A时，一共走了：10×15＝150（米）．故答案为：150．13．（富平县一模）如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，点E、F分别为边BC、AD上随意一点，且O、E、F三点在一条直线上，连接AO，BO，EO，FO．若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是33【思路点拨】连接CO，过A作AH⊥BC于H，依据点O是平行四边形ABCD的对称中心，即可得到S△BOC=12S△ABC，再依据△AOF≌△COE（SAS），即可得到S△AOF＝S△COE，进而得出S阴影部分＝S△BOC＝3【解题过程】解：如图所示，连接CO，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝4，∠ABC＝60°，∠AHB＝90°，∴∠BAH＝30°，BH=12∴AH＝23，∴S△ABC=12BC×AH=1又∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，∴O是AC的中点，∴S△BOC=12S△ABC=1∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，且O、E、F三点在一条直线上，∴AO＝CO，FO＝EO，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（SAS），∴S△AOF＝S△COE，∴S阴影部分＝S△BOC＝33，故答案为：3314．（金寨县期末）如图，点A（0，4），点B（3，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是（4，2）或（173，2）【思路点拨】分∠APB＝90°、∠ABP＝90°两种状况，依据直角三角形的性质、勾股定理列式计算即可．【解题过程】解：∵点M、N分别是OA、AB的中点，点A（0，4），∴MN∥OB，MN=12OB＝1.5，①当∠APB＝90°时，在Rt△AOB中，AB=O∵∠APB＝90°，点N是AB的中点，∴PN=12则PM＝PN+MN＝4，∴点P的坐标是（4，2）；②当∠ABP＝90°时，过P作PE⊥x轴于E，连接AP，设BE＝x，则PM＝OE＝x+3，由勾股定理得，PB=x2+2在Rt△ABP中，AP=A则22解得，x=8∴OE=83+∴P（173故答案为：（4，2）或（17315．（浑源县期中）如图，▱ABCD中∠BAD＝60°，AB＝4cm，BC＝10cm，点E从B点动身以2cm/秒速度向点C运动，点F从点D动身以3cm/秒的速度向点A运动，连接EF，作线段EF的垂直平分线，交边AD和BC于G、H两点，设点E的运动时间为t（单位：秒，0＜t＜103），当GH＝AB时，点E的运动时间t值是25或【思路点拨】当GH∥AB时，可证△GFK≌△HEK（AAS），从而10﹣4﹣3t＝2t+4，解得t=25；当GH不平行AB时，证明△FTG≌△ETH（AAS），可得△FGH是等边三角形，四边形ABFH是平行四边形，即有10﹣3t＝2t﹣4，解得t【解题过程】解：当GH∥AB时，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AG＝BH，AB＝GH＝4，∠FGK＝∠A＝60°＝∠KEE，∵GH是EF的垂直平分线，∴∠GKF＝90°＝∠EKH，EK＝FK，∴△GFK≌△HEK（AAS），∴GK＝HK=12∴GF＝2GK＝4＝EH，由AG＝BH得：10﹣4﹣3t＝2t+4，∴t=2当GH不平行AB时，如图：∵AG∥BH，∴四边形ABHG是等腰梯形，∴∠AGH＝∠A＝60°＝∠THE，∠BHG＝120°，∵GH是EF的垂直平分线，∴FT＝ET，∠FTG＝∠ETH＝90°，∴△FTG≌△ETH（AAS），∴TG＝TH=12GH＝2，FG＝在Rt△FTG中，TG=12∴FG＝GH＝4，∴△FGH是等边三角形，∴∠GFH＝60°＝∠A，FG＝HG＝4＝HE，∴AB∥FH，∴四边形ABFH是平行四边形，∴AF＝BH，∴10﹣3t＝2t﹣4，解得t=14综上所述，t为25或14评卷人得分三．解答题（本大题共9小题，满分55分）16．（西峰区期末）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和对角线的条数．【思路点拨】一个多边形的内角和等于外角和的3倍少180°，而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于900°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．【解题过程】解：设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n﹣2），依题意得：180（n﹣2）＝360×3﹣180，解得n＝7，对角线条数：(7-3)×72答：这个多边形的边数是7，对角线有14条．17．（海曙区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．（1）求证：AF＝CE；（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．【思路点拨】（1）依据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE＝CF，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后依据平行四边形的对边相等证得结论；（2）依据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥CF，又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE=12AD，CF=∴AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF＝CE；（2）解：∵四边形AECF的周长为10，AF＝3，∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，∵AB＝2，∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×2＝12．18．（江阴市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．（1）画出对称中心E，并写出点E的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）画出与△A1B1C1关于点O成中心对称的△A3B3C3．【思路点拨】（1）连接AA1、BB1、CC1，它们的交点为E；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可；（3）依据关于原点对称的点的坐标特征写出A3、B3、C3的坐标，然后描点即可．【解题过程】解：（1）如图，点E为所作；点E坐标为（﹣3，﹣1）；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）如图，△A3B3C3为所作．19．如图1，在△ABC中，DE为△ABC的中位线．（1）写出DE、BC之间的位置关系：DE∥BC；写出DE、BC之间的数量关系：DE=12BC（2）如图2，点D，E，F分别是三角形ABC三边的中点，图中有4个平行四边形，求证：S△ABC＝4S△DEF．（3）如图3，点P，Q，R，S分别是四边形ABCD四边的中点，图中有1个平行四边形，求证：S四边形ABCD＝2S四边形PORS．【思路点拨】（1）依据三角形中位线定理解答即可；（2）依据平行四边形的判定解答即可；（3）依据平行四边形的判定和三角形中位线定理解答即可．【解题过程】（1）解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12故答案为：DE∥BC；DE=12（2）证明：∵点D，E，F分别是三角形ABC三边的中点，∴DE∥BC，EF∥AB，DF∥AC，∴四边形DBFE和四边形DFCE和四边形DFEA是平行四边形，∵点D，E，F分别是三角形ABC三边的中点，∴DF=12AC，EF=12AB，∴S△DEF∴S△ABC＝4S△DEF．故答案为：4；（3）证明：图中只有1个平行四边形，连接BD，AC，∵点P，Q，R，S分别是四边形ABCD四边的中点，∴PS∥BD，PS=12BD，QR∥BD，QR=∴四边形PQRS是平行四边形，由（2）可知，S△APS∴S△APS同理可得：S△BPQ∴S四边形PSRQ∴S四边形ABCD＝2S四边形PORS．故答案为：1．20．（沙坪坝区校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分∠EFC．（1）如图1，若AE＝2，EF＝5，求CD的长；（2）如图2，∠BCD＝45°，BC⊥BD，若G为EF上一点，且∠GBF＝∠EFD，求证：FG+2FD＝AB．【思路点拨】（1）由平行四边形的性质可得∠ABF＝∠BFC，AB＝CD，结合角平分线的定义可求得∠ABF＝∠EFB，即可求BE＝EF＝5，进而可求解；（2）在FC上截取FH＝FG，连接BH，利用SAS证明△BGF≌△BHF可得∠BGF＝∠BHF，结合三角形的内角和定理可得∠BFD＝∠BHC，结合等腰直角三角形的性质利用AAS证明△BDF≌△BCH可得DF＝CH，进而可证明结论．【解题过程】（1）解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABF＝∠BFC，∵FB平分∠EFC，∴∠EFB＝∠BFC，∴∠ABF＝∠EFB，∵AE＝2，EF＝5，∴BE＝EF＝5，∴CD＝AB＝AE+EF＝2+5＝7；（2）证明：在FC上截取FH＝FG，连接BH，在△BGF和△BHF中，FG=FH∠BFE=∠BFC∴△BGF≌△BHF（SAS），∴∠BGF＝∠BHF，∵∠GBF＝∠EFD，∵∠EFD+∠EFB+∠BFH＝180°，∠EFB+∠BGF+∠GBF＝180°，∴∠BFH＝∠BGF，∴∠BFH＝∠BHF，∴∠BFD＝∠BHC，∵∠BCD＝45°，BC⊥BD，∴∠BDF＝45°＝∠BCH，∴BD＝BC，在△BDF和△BCH中，∠BFD=∠BHC∠BDF=∠BCH∴△BDF≌△BCH（AAS）∴DF＝CH，∴AB＝CD＝DF+FH+CH＝FG+2FD，即FG+2FD＝AB．21．（丰都县期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（a，0），B（b，0）且a、b满足|a+4|+b-3=0．若四边形ABCD为平行四边形，CD∥AB且CD＝AB，点C（0，4）在（1）如图①，动点P从C点动身，以每秒2个单位长度沿y轴向下运动，当时间t为何值时，三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一；（2）如图②，当P从O点动身，沿y轴向上运动，连接PD、PA，∠CDP、∠APD、∠PAB存在什么样的数量关系，请说明理由（解除P在O和C两点的特殊状况）．【思路点拨】（1）依据非负数的性质得到a＝﹣4，b＝3，得到AB＝7，依据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，依据三角形和平行四边形的面积公式列方程即可得到答案；（2）如图②，当点P在线段OC上时，过P作PQ∥AO，如图③，当点P在CD的上面时，过P作PQ∥AO，依据平行线的性质即可得到结论．【解题过程】解：（1）∵|a+4|+b-3∴a+4＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣4，b＝3，∴A（﹣4，0），B（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝7，∵点C（0，4），∴OC＝4，∵CD∥AB且CD＝AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一，12×（4﹣2t）×7解得：t＝1，当点P在x轴的下方时，∴12×（2t﹣4）×7解得：t＝3，当时间t为1或3时，三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一；（2）如图②，当点P在线段OC上时，∠DPA＝∠CDP+∠PAB，理由：过P作PQ∥AO，∴∠QPD＝∠CDP，∵CD∥AB，∴PQ∥CD，∴∠QPA＝∠PAB，∵∠DPA＝∠QPD+∠QPA，∴∠DPA＝∠CDP+∠PAB；如图③，当点P在CD的上面时，∠DPA＝∠PAB﹣∠CDP，理由：过P作PQ∥AO，∴∠QPD＝∠CDP，∵CD∥AB，∴PQ∥CD，∴∠QPA＝∠PAB，∵∠DPA＝∠QPA﹣∠QPD，∴∠DPA＝∠PAB﹣∠CDP．22．（道里区三模）已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．（1）如图1，求证：EG＝FC；（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何帮助线的状况下，请干脆写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．【思路点拨】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，由平行线的性质得∠ABE＝∠CDF，易证BE＝DF，由SAS证得△ABE≌△CDF（SAS），得出AE＝FC，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD＝4S△ABO，易证AG、OB相互平分，则四边形ABGO是平行四边形，S四边形ABGO＝2S△ABO=12S四边形ABCD，易证OE是△ACG的中位线，则OE∥CG，易证四边形BOCG是平行四边形，S四边形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO=12S四边形ABCD，证GO∥CD，GO＝CD，则四边形CDOG是平行四边形，S四边形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO=12S四边形ABCD，证CG∥EF，EF＝CG，则四边形EFCG是平行四边形，S四边形EFCG＝S四边形【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE=12OB，DF=∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝FC，∵EG＝AE，∴EG＝FC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD＝4S△ABO，∵EG＝AE，点E为OB的中点，∴AG、OB相互平分，∴四边形ABGO是平行四边形，∴S△ABO＝S△BGO，∴S四边形ABGO＝2S△ABO=12S四边形∵OA＝OC，EG＝AE，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∵四边形ABGO是平行四边形，∴BG∥AC，∴四边形BOCG是平行四边形，∴S四边形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO=12S四边形∵四边形ABGO是平行四边形，∴GO∥AB，GO＝AB，∵AB∥CD，∴GO∥CD，GO＝CD，∴四边形CDOG是平行四边形，∴S四边形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO=12S四边形∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴EF=12BD＝∵四边形CDOG是平行四边形，∴CG∥EF，CG＝OD，∴EF＝CG，∴四边形EFCG是平行四边形，∴S四边形EFCG＝S四边形CDOG=12S四边形∴图中的平行四边形ABGO、平行四边形BOCG、平行四边形CDOG、平行四边形EFCG四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．23．（富平县期末）在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；②求证：CD＝CH．【思路点拨】（1）通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，又DF∥BE，即可证明四边形BEDF是平行四边形；（2）①过点D作DN⊥EC于点N，先依据勾股定理求出DN＝42，由∠DBC＝45°得BN＝DN，即可求出答案；②依据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再证∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH．【解题过程】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠ADB＝∠CBD，在△BOE与△DOF中，∠CBD=∠ADBBO=DO∴△BOE≌△DOF（ASA），∴DF＝BE且DF∥BE，∴四边形BED