高中数学选择性必修三课件第七章 随机变量及其分布章末复习课(1)(人教A版)

章末复习课第七章随机变量及其分布一、条件概率与全概率公式二、离散型随机变量的分布列、均值和方差三、正态分布与二项分布、超几何分布的综合应用内容索引知识网络随堂演练知识网络一、条件概率与全概率公式2.掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.例1采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品.求：(1)采购员拒绝购买的概率；解设B1＝“取到的是含4个次品的包”，B2＝“取到的是含1个次品的包”，由全概率公式得到(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率.(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率.反思感悟条件概率的计算要注意以下三点：(1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率.(2)明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化.√解析记事件A为“第1球投进”，事件B为“第2球投进”，由全概率公式可得二、离散型随机变量的分布列、均值和方差1.均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛.2.掌握离散型随机变量的分布列、均值和方差，重点提升逻辑推理与运算的核心素养.1.均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛.2.掌握离散型随机变量的分布列、均值和方差，重点提升逻辑推理与运算的核心素养.角度1二项分布的均值、方差例2某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为

.(1)问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%?解设“机器出现故障”为事件A，故X的分布列为设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，X＝0，X＝1，X＝2，…，X＝n，这n＋1个互斥事件的和事件，则(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.解设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为18,13,8，故Y的分布列为角度2超几何分布的均值、方差例3某学院为了调查本校学生2021年4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；解由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及均值E(Y).解随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，且Y服从超几何分布.所以Y的分布列为反思感悟求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值.(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k).(3)写出X的分布列.(4)由分布列和均值的定义求出E(X).(5)由方差的定义，求D(X)，若X～B(n，p)，则可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).跟踪训练2

(1)设X服从两点分布，分布列为

，其中p∈(0,1)，则A.E(X)＝p，D(X)＝p3B.E(X)＝p，D(X)＝p2C.E(X)＝q，D(X)＝q2D.E(X)＝1－p，D(X)＝p－p2X01Ppq√解析X服从两点分布，则E(X)＝q＝1－p，D(X)＝p(1－p)＝p－p2.(2)(多选)在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是√B.随机变量X服从二项分布C.随机变量X服从超几何分布√√解析由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4，三、正态分布与二项分布、超几何分布的综合应用解答正态分布的实际应用题，关键是如何转化，同时注意以下两点：(1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性和结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题.例4某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69,49).(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62,90)内的概率；解因为学生的普通话测试成绩Y服从正态分布N(69,49)，所以μ＝69，σ＝7，(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的方差.参考数据：若Y～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Y<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<Y<μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<Y<μ＋3σ)＝0.9973.解因为总体平均分为μ＝69，所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，所以X的可能取值为0,1,2,3，反思感悟利用正态曲线解决实际性问题时常利用其对称性解题，并注意借助[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率值求解，并注意正态曲线与频率分布直方图的结合.跟踪训练3为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民侯车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计.乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响.在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间X满足正态分布N(μ，σ2).在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图所示的频率分布直方图.(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组的各个值，试估计μ，σ2的值；解μ＝0.1×2＋0.2×6＋0.4×10＋0.2×14＋0.1×18＝10，σ2＝s2＝2×(82×0.1＋42×0.2)＋(10－10)2×0.4＝19.2.(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的.在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由.解μ＋σ＝10＋4.38＝14.38，设“3名乘客候车时间超过15分钟”的事件为A，故该天公交车准点率正常.随堂演练1.设X～N(10,0.8)，则D(2X＋1)等于A.1.6B.3.2C.6.4D.12.81234√解析∵X～N(10,0.8)，∴D(X)＝0.8，∴D(2X＋1)＝4D(X)＝3.2.2.甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束).根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1.则甲以3∶1取得胜利的概率为A.0.162B.0.18C.0.168D.0.174√1234解析设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件A1，A2，A3，A4，1234∴甲以3∶1取得胜利的概率为＝0.5×0.6×0.3×0.6＋0.5×0.4×0.5×0.6＋0.5×0.4×0.5×0.6＝0.174.3.在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为1234√解析两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，123412344.一个盒子中有大小、形状完全相同的m个红球和6个黄球.从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X，若E(X)＝

，则m的值为______.14备用工具&资料解析两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，1234解析设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件A1，A2，A3，A4，1234∴甲以3∶1取得胜利的概率为＝0.5×