高中数学选择性必修三课件：7 3 1 离散型随机变量的均值(人教A版)

7.3.1离散型随机变量的均值第七章

§7.3离散型随机变量的数字特征学习目标XUEXIMUBIAO1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机

变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE1.离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X的分布列为知识点一离散型随机变量的均值Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝

＝

为随机变量X的均值或数学期望.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn2.离散型随机变量的均值的意义均值是随机变量可能取值关于取值概率的

，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的

.3.离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝

.加权平均数平均水平aE(X)＋b证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量.因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.思考离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？答案(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值.知识点二两点分布的均值如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.知识点二两点分布的均值如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.1.随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化.(

)2.随机变量的均值反映了样本的平均水平.(

)3.若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(

)4.若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1).(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√×2题型探究PARTTWO一、利用定义求离散型随机变量的均值例1袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值.解取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5,6,7,8，故X的分布列为反思感悟求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).(3)写出X的分布列.(4)利用均值的定义求E(X).反思感悟求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).(3)写出X的分布列.(4)利用均值的定义求E(X).跟踪训练1

某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为

，且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值.解根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4,1,3,6.∴X的分布列为二、离散型随机变量均值的性质例2已知随机变量X的分布列为

若Y＝－2X，则E(Y)＝____.解析由随机变量分布列的性质，得由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，所以a＝15.反思感悟求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值.(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可.跟踪训练2已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为√解析因为η＝12ξ＋7，则E(η)＝12E(ξ)＋7，三、均值的实际应用例3随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；解X的所有可能取值有6,2,1，－2，故X的分布列为X621－2P0.630.250.10.02解E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元).(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.反思感悟解答概率模型的三个步骤(1)建模：即把实际问题概率模型化.(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值.(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断.跟踪训练3受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；解设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；解依题意得，X1的分布列为X2的分布列为(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由.∵E(X1)>E(X2)，∴应生产甲品牌轿车.3随堂演练PARTTHREE1.已知离散型随机变量X的分布列为则X的均值E(X)等于12345√123452.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为A.0 B. C.1 D.－1√123453.设ξ的分布列为又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于√123452123455.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验.若此人每次试验成功的概率均为

，则此人试验次数ξ的均值是____.12345解析试验次数ξ的可能取值为1,2,3，所以ξ的分布列为1.知识清单：(1)离散型随机变量的均值.(2)离散型随机变量的均值的性质.(3)两点分布的均值.2.方法归纳：函数与方程、转化化归.3.常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位：件)，整理得下表：基础巩固12345678910111213141516日需求量n1415161820频率0.10.20.30.20.2试估计该商品日平均需求量为A.16 B.16.2 C.16.6 D.16.8√解析估计该商品日平均需求量为14×0.1＋15×0.2＋16×0.3＋18×0.2＋20×0.2＝16.8，故选D.2.(多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则

A.a＝7 B.b＝0.4C.E(aX)＝44.1 D.E(bX＋a)＝2.62X4a9P0.50.1b√√√12345678910111213141516解析由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，解得b＝0.4，a＝7.∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，故ABC正确.123456789101112131415163.现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为

，随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为A.1.18 B.3.55 C.1.23 D.2.38√12345678910111213141516解析因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，所以X的分布列为12345678910111213141516解析由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.4.袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3).现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于√123456789101112131415165.一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是√12345678910111213141516解析由题意得，X的所有可能的取值为0,1,2，123456789101112131415166.已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，则E(X)＝____.2解析∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2.123456789101112131415167.离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＝____，b＝___.解析易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3. ①又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，

②0123456789101112131415168.某射手射击所得环数X的分布列如下：

已知E(X)＝8.9，则y的值为____.0.4X78910Px0.10.3y123456789101112131415169.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值.12345678910111213141516解X的可能取值为1,2,3，所以抽取次数X的分布列为1234567891011121314151610.春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为

，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：(1)随机变量ξ的分布列；12345678910111213141516解ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.从而ξ的分布列为12345678910111213141516(2)随机变量ξ的均值.解由(1)得ξ的均值为12345678910111213141516解析出海的期望效益E(X)＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元).综合运用11.某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是A.2000元 B.2200元

C.2400元 D.2600元√12345678910111213141516解析∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.12.若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为A.无法确定 B.0 C.E(X)D.2E(X)√1234567891011121314151613.若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为

则E(ξ)的最大值为√1234567891011121314151621234567891011121314151612345678910111213141516拓广探究15.(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值可以为√√12345678910111213141516解析根据题意，X的所有的可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，结合选项可知AB正确.1234567891011121314151616.某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理.(1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润x(单位：元)关于当天需求量n(单位：盒，n∈N*)的函数解析式；解当n<50时，y＝5n－50×3＝5n－150，当n≥50时，y＝50×(5－3)＝100，12345678910111213141516(2)牛奶店老板记录了某100天鲜牛奶的日需求量(单位：盒)，整理得下表：日需求量48495051525354频数10201616151310以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及均值；12345678910111213141516解由(1)可知，n＝48时，X＝90，当n＝49时，X＝95，当n≥50时，X＝100.∴X的可能取值为90,95,100.∴X的分布列为12345678910111213141516②若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由.日需求量48495051525354频数1020161615131012345678910111213141516解由①知当购进50盒时，E(X)＝98.设Y表示当天的利润，∴当n＝48时，Y＝87，当n＝49时，Y＝92，当n＝50时，Y＝97，当n≥51时，Y＝102，12345678910111213141516∵98>97.7，∴每天购进50盒比较合