高中数学选择性必修3课件2：§6 1 第1课时 两个计数原理及其简单应用(人教A版)

§6.1第1课时两个计数原理及其简单应用思维启迪在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学问题如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？提示：由图表可知，完成这件事可分两类：第一类，从甲大学中选专业，共有5种选择方法；第二类，从乙大学中选专业，共有4种选择方法；根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有N＝5＋4＝9种．(1)内容：完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝______________种方法(也称加法原理)．(2)特点：①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类；②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③把各类的方法数_______，就可以得到完成这件事的所有方法数．1．分类加法计数原理m1＋m2＋…＋mn相加强化拓展分类加法计数原理的集合表述形式做一件事，完成它的办法用集合S表示，S被划分成n类办法分别用集合S1，S2，…，Sn表示，即S＝S1∪S2∪…∪Sn，且Si∩Sj＝∅(i≠j；i，j＝1,2，…，n)，S1，S2，…，Sn中分别有m1，m2，…，mn种不同的方法，即集合S1，S2，…，Sn中分别含有m1，m2，…，mn个元素，那么完成这件事共有的方法，即集合S中元素的个数为m1＋m2＋…＋mn.加法原理的Venn示意图(1)内容：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝__________________种方法(也称乘法原理)．(2)特点：①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；②完成每一步有若干方法；③把各个步骤的方法数_______，就可以得到完成这件事的所有方法数．2．分步乘法计数原理m1×m2×…×mn相乘强化拓展分步计数原理的图形表示图中强调要依次完成各步骤才能完成要做的事件．例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

题型1分类加法计数原理的应用解：方法一：根据题意将十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

题型1分类加法计数原理的应用解：方法一：根据题意将十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．方法二：根据题意将个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个．由分类加法计数原理，符合题意的两位数的个数共有：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个．变式训练甲班有学生56人，其中男生36人；乙班有学生58人，其中女生36人；丙班有学生56人，其中男生35人．(1)从这三个班中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从这三个班的男生中选一人担任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解：(1)分3类：从甲班选一名，有56种不同选法；从乙班选一名，有58种不同选法；从丙班选一名，有56种不同选法．每一种方法都能独立完成“选一名学生担任学生会主席”这件事，根据分类加法计数原理，共有56＋58＋56＝170种不同的选法．(2)分3类：从甲班选一名男生，有36种不同选法；从乙班选一名男生，有58－36＝22种不同选法；从丙班选一名男生，有35种不同选法．根据分类加法计数原理，共有36＋22＋35＝93种不同的选法．例2要安排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人可值多天或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？

题型2分步乘法计数原理的应用解：先排第一天，可排5人中任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有4种排法；同理，第四、五天各有4种排法．由分步乘法计数原理可得值班表不同的排法共有：N＝5×4×4×4×4＝1280种．变式训练若某人由广州出差到北京，但途中必须到武汉办一件事，而由广州到武汉的理想路线共有12条(包括坐汽车、火车、飞机，以及不同的路线的组合)，由武汉到北京共有18条理想路线，则此人由广州到北京共有多少条不同的理想路线？解：完成这件事，分作两步：第一步，从广州到武汉，有12种走法；第二步，由武汉到北京，有18种走法，由分步乘法计数原理可知，由广州到北京共有12×18＝216种不同的理想走法．变式训练若某人由广州出差到北京，但途中必须到武汉办一件事，而由广州到武汉的理想路线共有12条(包括坐汽车、火车、飞机，以及不同的路线的组合)，由武汉到北京共有18条理想路线，则此人由广州到北京共有多少条不同的理想路线？解：完成这件事，分作两步：第一步，从广州到武汉，有12种走法；第二步，由武汉到北京，有18种走法，由分步乘法计数原理可知，由广州到北京共有12×18＝216种不同的理想走法．例3一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡自己使用，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？

题型3分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用解：(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法.根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法.(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法.第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法.根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法.变式训练某文艺小组有20人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中14人会唱歌，10人会跳舞．从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种不同的选法．解：只会唱歌的有10人，只会跳舞的有6人，既会唱歌又会跳舞的有4人．这样就可以分成四类完成：第一类，从只会唱歌和只会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×6＝60(种)；第二类，从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×4＝40(种)；第三类，从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得6×4＝24(种)；第四类，从既会唱歌又会跳舞的人中选2人，有6种方法．根据分类加法计数原理，得选出会唱歌与会跳舞的各1人的选法共有60＋40＋24＋6＝130(种)．当堂检测1．为了准备晚饭，小张找出了3种不同的冷冻蔬菜和4种不同的新鲜蔬菜．如果晚饭时小张只吃1种蔬菜，则选择的种数为(

)A．3

B．4C．7 D．12【解析】选择1种蔬菜有2类办法：选冷冻蔬菜，有3种选法；选新鲜蔬菜，有4种选法，根据加法原理，选择的种数为3＋4＝7.【答案】C2．用1,2,3,4,5这五个数字可组成无重复数字的三位数的个数为(

)A．125 B．60C．120 D．100【解析】组成一个三位数，可分为三个步骤，第一步先从5个数字中取出一个排在百位上，有5种方法，第二步再从余下的4个数字中取出一个放在十位上有4种方法，第三步从余下的3个数字中取出一个排在个位上，由乘法原理知，共有N＝5×4×3＝60.【答案】

B3．某班有男生26人，女生24人，现从中选一位同学为数学科代表，则不同的选法有____________种．【解析】分两类：第一类，从男生中选，有26种选法；第二类，从女生中选，有24种选法．由加法原理知，共有26＋24＝50种选法．【答案】504．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆．解：按a、b、r取值顺序分步考虑：第一步：a从3、4、6中任取一个数，有3种取法；第二步：b从1、2、7、8中任取一个数，有4种取法；第三步：r从8、9中任取一个数，有2种取法；由分步乘法计数原理知，表示的不同圆有N＝3×4×2＝24个．备用工具&资料3．某班有男生26人，女生24人，现从中选一位同学为数学科代表，则不同的选法有____________种．【解析】分两类：第一类，从男生中选，有26种选法；第二类，从女生中选，有24种选法．由加法原理知，共有26＋24＝50种选法．【答案】50当堂检测1．为了准备晚饭，小张找出了3种不同的冷冻蔬菜和4种不同的新鲜蔬菜．如果晚饭时小张只吃1种蔬菜，则选择的种数为(

)A．3

B．4C．7 D．12【解析】选择1种蔬菜有2类办法：选冷冻蔬菜，有3种选法；选新鲜蔬菜，有4种选法，根据加法原理，选择的种数为3＋4＝7.【答案】C变式训练甲班有学生56人，其中男生36人；乙班有学生58人，其中女生36人；丙班有学生56人，其中男生35人．(1)从这三个班中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从这三个班的男生中选一人担任学生会体育部长，有多少种不同的选法？加法原理的Venn示意图(1)内容：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝__________________种方法(也称乘法原理)．(2)特点：①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；②完成每一步有若干方法；③把各个步骤的方法数_______，就可以得到完成这件事的所有方法数．2．分步乘法计数原理m1×m2×…×mn相乘强化拓展分类加法计数原理的集合表述形式做一件事，完成它的办法用集合S表示