高中数学选择性必修3课件：7 3 2 离散型随机变量的方差(人教A版)

7.3.2离散型随机变量的方差学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.1.离散型随机变量的方差、标准差(1)设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则D(X)＝____________________________________________叫做这个离散型随机变量X的_____，它反映了离散型随机变量取值相对于期望的_____________(或说_____程度)．自学导引(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn方差平均波动大小离散(3)离散型随机变量方差的性质设a，b为常数，则D(aX＋b)＝_______．标准差波动大小a2D(X)想一想：你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？2.服从两点分布与二项分布的随机变量的方差两点分布与二项分布的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)＝________．(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝____(其中q＝1－p)．p(1－p)npq1.对随机变量X的方差、标准差的理解(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)D(X)越小，稳定性越高，波动越小．(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．名师点睛2.数学期望与方差的关系(1)数学期望和方差是描述随机变量的两个重要特征．数学期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均值，而方差表现了随机变量所取的值相对于数学期望的集中与离散的程度．(2)E(X)是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X的取值的平均水平，D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．(3)D(X)与E(X)一样也是一个实数，由X的分布列唯一确定．3.方差的性质当a，b均为常数时，随机变量函数η＝aξ＋b的方差D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．特别地：(1)当a＝0时，D(b)＝0，即常数的方差等于0；(2)当a＝1时，D(ξ＋b)＝D(ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身；(3)当b＝0时，D(aξ)＝a2D(ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．

3.方差的性质当a，b均为常数时，随机变量函数η＝aξ＋b的方差D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．特别地：(1)当a＝0时，D(b)＝0，即常数的方差等于0；(2)当a＝1时，D(ξ＋b)＝D(ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身；(3)当b＝0时，D(aξ)＝a2D(ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．

例1.已知X的分布列为X－101P求：(1)E(X)，D(X)；(2)设Y＝2X＋3，求E(Y)，D(Y)．题型探究探究一

求离散型随机变量的方差例2.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：ξ10123P0.30.30.20.2探究二方差的应用乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平．ξ2012P0.10.50.4方法归纳关于均值与方差的说明均值仅体现了随机变量取值的平均水平，但有时仅知道均值大小还是不够的，比如：两个随机变量的均值相等了，还需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算其方差(或是标准差)．方差大说明随机变量取值分散性大；方差小说明随机变量取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．探究三

分布列、均值、方差的综合应用例3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．(1)求X的分布列；(2)求X的均值与方差；(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．X012P方法归纳解均值与方差的综合问题时的注意事项(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其解题的关键是求出分布列；(2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算；(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算．若随机变量X服从两点分布、二项分布可直接利用对应公式求解．跟踪训练3.A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值．(注：D(aX＋b)＝a2D(X))解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4. E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. 1.知识清单：(1)离散型随机变量的方差、标准差.(2)离散型随机变量的方差的性质.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：方差公式套用错误.课堂小结备用工具&资料2.服从两点分布与二项分布的随机变量的方差两点分布与二项分布的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)＝________．(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝____(其中q＝1－p)．p(1－p)npq1.对随机变量X的方差、标准差的理解(1)随机变量X的方差