人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题10勾股定理与高与中线有关的计算(原卷版+解析)

专题10勾股定理与高与中线有关的计算【例题讲解】在中，分别是的中线，高，若，则线段的长为__________．【详解】根据勾股定理，得DE=，∵CD=5，，AD=BD，∴AD=CD=BD=5，当点E在点D的下部时，AC=；当点E在点D的上部时，AC=；故答案为：6或8．【综合解答】1．在中，AD是BC边上的高，，则的面积为（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或302．如图，中，，三条高AD，BE，CF交于点G，已知，，则CG长为（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．33．若中，，，高，则的长为（

）A．28或8 B．8 C．28 D．以上都不对4．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则△ABC中AB边上的高为（

）A． B． C．3 D．5．如图，在4×7的正方形网格中，有一个格点三角形ABC，那么BC边上的高与AB的比值为(

)A． B． C． D．6．在中，边上的中线，则的面积为（

）A．6 B．7 C．8 D．97．在中，分别是的中线，高，若，则线段的长为__________．8．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则AC边上的高是___________．9．已知在中，，，，则的面积为_______．10．已知钝角三角形的三边分别为2，3，4，则该三角形的面积为__________．11．在中，，边上的高，，的长为________．12．在中，，，上的高，则的面积是______．13．在中，，，边上的高，则的周长为______．14．在等腰中，，，则底边上的高等于__________．15．在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的长是________．16．在中，AB=AC=13，BC=10，则边BC上的中线等于_________________．三、解答题17．如图，在中，，求的面积．18．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求△ABC的面积及AC边上的高．19．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，求△ABC的周长.20．如图，在中，，，是边上的高，，求的长.专题10勾股定理与高与中线有关的计算【例题讲解】在中，分别是的中线，高，若，则线段的长为__________．【详解】根据勾股定理，得DE=，∵CD=5，，AD=BD，∴AD=CD=BD=5，当点E在点D的下部时，AC=；当点E在点D的上部时，AC=；故答案为：6或8．【综合解答】1．在中，AD是BC边上的高，，则的面积为（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或30答案：D【解析】分析：由勾股定理分别求出BD和CD，分AD在三角形的内部和AD在三角形的外部两种情况，由三角形面积公式计算即可．【详解】解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD==12，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD==，分两种情况：①如图1，当AD在△ABC的内部时，BC=12+3=15，则△ABC的面积=BC×AD=×15×4=30；②如图2，当AD在△ABC的外部时，BC=12-3=9，则△ABC的面积=BC×AD=×9×4=18；综上所述，△ABC的面积为30或18，故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．2．如图，中，，三条高AD，BE，CF交于点G，已知，，则CG长为（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3答案：B【解析】分析：证明为等腰直角三角形，求出AE，证明为等腰直角三角形，求出AC，进一步求出CE，证明为等腰直角三角形，即可求出．【详解】解：∵，，∴为等腰直角三角形，∵，∴，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，故选：B．【点睛】本题考查三角形的高，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是求出CE，再利用为等腰直角三角形求解CG．3．若中，，，高，则的长为（

）A．28或8 B．8 C．28 D．以上都不对答案：A【解析】分析：本题应分两种情况，①如果角C是钝角，此时高AD在三角形的外部，在RT△ABD中利用勾股定理求出BD，在RT△ACD中利用勾股定理求出CD，然后可得出BC=BD-CD，继而可得出△ABC的周长；②如果角C是锐角，利用勾股定理求出BD、BC，根据BC=BD+CD求出BC，进而可求出周长．【详解】解：①如果角C是钝角，在RT△ABD中，BD==18，在RT△ACD中，CD==10，∴BC=18-10=8；②如果角C是锐角，此时高AD在三角形的内部，在RT△ABD中，BD==18，在RT△ACD中，CD==10，∴BC=18+10=28；综上可得BC的长为28或8．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理及三角形的知识，分类讨论是解答本题的关键，如果不细心很容易将∠C为钝角的情况忽略，有一定的难度．4．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则△ABC中AB边上的高为（

）A． B． C．3 D．答案：B【解析】分析：根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出AB，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形ABC面积，利用面积法求出AB边上的高即可．【详解】解：如图，CD为AB边上的高，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．5．如图，在4×7的正方形网格中，有一个格点三角形ABC，那么BC边上的高与AB的比值为(

)A． B． C． D．答案：D【解析】分析：根据三角形的面积相等法求出BC上的高，勾股定理求出AB，然后求比值即可【详解】设正方形的边长为“1”，BC边上的高为h,则AB==，BC==S△ABC=×5×2=×h∴h=∴==故本题答案应为：D【点睛】用面积法求三角形的高及勾股定理是本题的考点，利用勾股定理求出BC及AB是解题的关键.6．在中，边上的中线，则的面积为（

）A．6 B．7 C．8 D．9答案：B【解析】分析：本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC为直角三角形，再根据勾股定理求得，最后根据求解即可.【详解】解：如图，在中，边上的中线，∵CD=3，AB=6，∴CD=3，AB=6，∴CD=AD=DB，，，∵，∴，∴是直角三角形，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，故选B.【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题8．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则AC边上的高是___________．答案：【解析】分析：根据题意作出高线，首先根据等腰三角形的性质及勾股定理可求得AD的长，再根据面积即可求得．【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=AC=5，BC=6，∴BD=BC=3，∴，设AC边上的高为h，则，得，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．已知在中，，，，则的面积为_______．答案：84【解析】分析：根据题意，可以由勾股定理判定的逆定理判定△ABC的形状，作高线，利用勾股定理根据高线列方程，再求高，根据三角形的面积公式计算得到△ABC的面积即可．【详解】解：过点B作BD⊥AC于D，∵AB2+BC2=132+142=365，AC2=152=225，∴AB2+BC2＞AC2，∴△ABC不是直角三角形，设AD长为x，CD=AC-AD=15-x,∴BD2=AB2-AD2=BC2-CD2，∴，解得x=,∴BD=，∴S△ABC=．故答案为：84．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，利用三角形的高列方程，运用勾股定理逆定理得出三角形不是直角三角形，作高线，用勾股定理列出方程是解题的关键．10．已知钝角三角形的三边分别为2，3，4，则该三角形的面积为__________．答案：【解析】分析：首先利用勾股定理列方程求出的长，再代入求，进而利用三角形的面积公式即可．【详解】解：如图，，，，过点作于，设，，，，，解得，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是根据题意求出三角形的高．11．在中，，边上的高，，的长为________．答案：或【解析】分析：根据题意画出图形，先利用勾股定理求得，，根据题意分类讨论，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，【详解】，边上的高，当点在的延长线上时，,当点在的延长线上时，．故答案为：4或14【点睛】本题考查了三角形的高，勾股定理的应用，分类讨论是解题的关键．12．在中，，，上的高，则的面积是______．答案：84或24【解析】分析：根据题意，可分为两种情况进行分析：当是锐角三角形时，高AD在三角形的内部；当是钝角三角形时，高AD在三角形的外部；分别求出面积即可．【详解】解：根据题意，当是锐角三角形时，如图：在直角△ABD中，由勾股定理，得；在直角△ACD中，由勾股定理，得，∴，∴的面积是：；当是钝角三角形时，如图：在直角△ABD中，由勾股定理，得；在直角△ACD中，由勾股定理，得，∴，∴的面积是：；故答案为：84或24．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，求出所需线段的长度，注意运用分类讨论的思想进行分析．13．在中，，，边上的高，则的周长为______．答案：60或42【解析】分析：分两种情况：①∠B为锐角；②∠ABC为钝角；利用勾股定理求出BD、CD，即可求出BC的长．【详解】提示：①如果是锐角，此时高在三角形的内部，在中，，在中，，∴，此时的周长．②如果是钝角，在中，，在中，，∴，此时的周长．综上可得，的周长为60或42．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．14．在等腰中，，，则底边上的高等于__________．答案：【解析】分析：根据题意画出以下图形，然后根据等腰三角形性质得出BD=DC=1，进而利用勾股定理求出AD即可.【详解】如图所示，AB=AC=3，BC=2，AD为底边上的高，根据等腰三角形性质易得：BD=CD=1，∴在Rt△ADC中，=.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质以及勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.15．在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的长是________．答案：3【解析】分析：过点C作CE∥AB交AD延长线于E，先证△ABD≌△ECD（AAS），求出AE=2AD=4，在Rt△AEC中，即可．【详解】解：过点C作CE∥AB交AD延长线于E，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵AD⊥AB，CE∥AB，∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD，∴∠E=90°，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB=EC，AD=ED=2，∴AE=2AD=4，在Rt△AEC中，，∴AB=CE=3．故答案为：3．【点睛】本题考查中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，关键是利用辅助线构造三角形全等．16．在中，AB=AC=13，BC=10，则边BC上的中线等于_________________．答案：12【解析】分析：先根据题意画出图形，再由中线定义求得，然后根据等腰三角形三线合一的性质证得，最后利用勾股定理即可求得．【详解】解：根据题意可画出图形，如图：∵，是边上的中线∴∵∴∴在中，．故答案是：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、中线的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握并灵活应用相关知识点是解题的关键．三、解答题17．如图，在中，，求的面积．答案：【解析】分析：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC=90°，解直角三角形求出AD，BC，即可得结果．【详解】解：过点A作于D，如图，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴的面积．【点睛】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，勾股定理，30°角所对直角三角形性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．18．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求△ABC的面积及AC边上的高．答案：(1)△ABC为直角三角形，理由见解析(2)△ABC的面积为13，AC边上的高【解析】分析：（1）由勾股定理分别求出AB、BC、AC的长度，再由勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形即可；（2）作AC边上的高BD，利用等面积法即可求解．(1)△ABC为直角三角形，理由如下