2025年高考数学一轮复习 第十一章 -第一节 两个基本计数原理、排列与组合【课件】

第十一章

计数原理、概率、随机变量及其分布第一节

两个基本计数原理、排列与组合11

强基础

知识回归22

研考点

题型突破课标解读1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义，并会简单运用.2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题.01强基础

知识回归知识梳理一、两个基本计数原理

3.分类加法计数原理和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.二、排列与组合1.排列与组合的概念名称定义排列组合一定的顺序2.排列数与组合数

不同排列不同组合3.排列数、组合数的公式及性质公式性质

1

知识拓展

区别三:分类加法计数原理：各类方法之间是互斥的、并列的、独立的；分步乘法计数原理：各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏.2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.3.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.自测诊断1.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有(

)

C

2.现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，不同的选法有(

)

DA.60种

B.45种

C.30种

D.12种[解析]

因为三个年级共有12名学生，由分类加法计数原理可得,从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，共有12种不同的选法.故选D.3.一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为(

)

C

D

5.某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家已经被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有(

)

BA.30种

B.15种

C.20种

D.25种

02研考点

题型突破题型一

两个基本计数原理角度1

分类加法计数原理典例1

将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有(

)

BA.16种

B.12种

C.9种

D.6种[解析]

由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法：当1号球与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1号球与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1号球与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2号球与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2号球与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3号球与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法.因此，不同的放球方法有12种.故选B.［对点训练1］若在一个三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是(

)

BA.166

B.171

C.181

D.188

规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.（1）根据题目特点选择一个恰当的分类标准.（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.（3）分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.角度2

分步乘法计数原理典例2

用红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为(

)

A

CA.10种

B.13种

C.15种

D.25种

规律方法（1）在用分步乘法计数原理解决问题时，要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.（2）必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.题型二

排列问题角度1

特殊元素与特殊位置典例3（1）

用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3

000的四位数，这样的四位数有(

)

CA.250个

B.249个

C.48个

D.24个

（2）将3个不同颜色的小球放入排成一排的6个相同的盒子，每个盒子最多可以放一个小球，则3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有____种.（用数字作答）72

［对点训练3］用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20

000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有(

)

BA.96个

B.78个

C.72个

D.64个

规律方法对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置.角度2

捆绑与插空典例4（1）

8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.若正、副组长相邻而坐，有______种坐法;若记录员坐于正、副组长之间（三者相邻），有_____种坐法.

240

（2）某居民小区内一条街道的一侧并排安装了5盏路灯，在满足晚上不同时间段照明的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天00：00以后随机关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻的概率为____.0.6

［对点训练4］

（1）6月也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则排法的种数为(

)

CA.24

B.120

C.240

D.140

AA.24

B.32

C.48

D.64

规律方法题型三

组合问题角度1

“至多”与“至少”问题典例5

某市市场监督管理局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

［对点训练5］（多选题）某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四种计算方法，其中正确的算法有(

)

ABD

规律方法（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.角度2

“分组”与“分配”问题典例6

某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人