高中数学选择性必修二课件：5 1 2 第2课时 导数的几何意义(人教A版)

第2课时导数的几何意义第五章5.1.2导数的概念及其几何意义1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.学习目标同学们，经过前两节课的学习，我们经历了从物理中的瞬时变化，到几何中的切线的斜率，再到数学中函数在某点处的导数，不禁会想，我们学习导数的意义何在，其实，之前所学只为今天，今天我们将揭开谜底，一探导数的几何意义.导语随堂演练课时对点练一、导数的几何意义二、函数的单调性与导数的关系三、导函数(导数)内容索引一、导数的几何意义问题1导数f′(x0)的几何意义是什么？提示我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图.知识梳理函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的

.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是

.相应地，切线方程为

.切线的斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.则切线的斜率为∵点P(2,4)在切线上，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.反思感悟求曲线过某点的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.反思感悟求曲线过某点的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.由直线的点斜式方程可得切线方程为二、函数的单调性与导数的关系问题2

函数的单调性和导数有什么关系？提示如图当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h′(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0，这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减.当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减.通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢.知识梳理若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝

；若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k

0，且函数在x＝x0附近_____

，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快；若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k

0，且函数在x＝x0附近

，且|f′(x0)|越大，说明函数图象变化的越快.0单调递增<单调递减>例2

已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB)C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能确定解析由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB).√反思感悟导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画.f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的.(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.跟踪训练2

已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设

＝a，则下列不等式正确的是A.f′(1)<f′(2)<aB.f′(1)<a<f′(2)C.f′(2)<f′(1)<aD.a<f′(1)<f′(2)√解析由图象可知，函数在区间(0，＋∞)上的增长越来越快，∴通过作切线与割线可得f′(1)<a<f′(2)，故选B.三、导函数(导数)问题3

以上我们知道，求函数某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？知识梳理导函数的定义从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的

(简称导数).y＝f(x)的导函数记作

或

，即f′(x)＝y′＝

.注意点：(1)f′(x0)是具体的值，是数值.(2)f′(x)是函数，f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数.导函数f′(x)y′反思感悟不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数.若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导.然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导.解∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)1.知识清单：(1)导数的几何意义.(2)函数的单调性与导数的关系.(3)导函数的概念.2.方法归纳：方程思想、数形结合.3.常见误区：切线过某点，这点不一定是切点.课堂小结随堂演练12341.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于A.4 B.－4 C.－2 D.2√解析由导数的几何意义知f′(1)＝2.1234√设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.12343.曲线f(x)＝

在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于A.45° B.60° C.135° D.120°√又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°.12344.已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______.(3,30)令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).课时对点练基础巩固123456789101112131415161.设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线A.不存在 B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直 D.与x轴斜交√解析因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.12345678910111213141516√解析由导数的定义可知，123456789101112131415163.已知曲线y＝x2上一点A(2,4)，则在点A处的切线斜率为A.4 B.16 C.8 D.2√123456789101112131415164.若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.√解析设切点为(x0，y0)，1234567891011121314155.已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是16√解析由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负.123456789101112131415166.(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为

的是A.(0,0) B.(1，－1)C.(－1,1) D.(1,1)√√12345678910111213141516解析设切点坐标为(x0，y0)，所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－1.当x0＝－1时，y0＝1.123456789101112131415167.已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝_____.3解析因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.123456789101112131415168.已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为_____.2解析由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，从而可得切点坐标为(1,3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.123456789101112131415169.在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？12345678910111213141516设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，则

＝2x0＝4，解得x0＝2，设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，12345678910111213141516故抛物线y＝x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，1234567891011121314151610.已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程.12345678910111213141516所以y′|x＝1＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.123456789101112131415综合运用16√12345678910111213141516即k<1.1234567891011121314151612.已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是A.f′(a)<f′(b)<f′(c)B.f′(b)<f′(c)<f′(a)C.f′(a)<f′(c)<f′(b)D.f′(c)<f′(a)<f′(b)√12345678910111213141516解析如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1<k2<k3，又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3，所以f′(a)<f′(b)<f′(c).故选A.1234567891011121314151613.函数y＝(x－1)2的导数是A.－2 B.(x－1)2C.2(x－1) D.2(1－x)√选C.1234567891011121314151614.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为_____.12345678910111213141516解析由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，拓广探究1234567891011121314151615.已知函数f(x)＝x3，过点P作曲线f(x)的切线，则其切线方程为____________________.y＝0或3x－y－2＝012345678910111213141516解得x0＝0或x0＝1，从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0.16.点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标.12345678910111213141516解设P(x0，y0)，12345678910111213141516所以在点P