江西省万载二中2023-2024学年高二下学期期末考试数学B卷

江西省万载二中2023-2024年第二学期期末考试高二年级数学试卷考试范围：必修一预备知识、选择性必修二；考试时间：120分钟一、单选题（本大题共40分）1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（

）A．2 B．4 C．8 D．162．已知，，则是的（

）条件A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（

）A．4 B．6 C．7 D．94．已知等比数列的前n项和为，，，则（

）A．62 B．50 C．40 D．225．数列的前n项和为，若，则（

）A．1 B． C． D．6．在数列中，，，则（

）A． B． C． D．27．函数的图象如图所示，下列关系正确的是（

）A．B．C．D．8．函数的导函数的图象如图所示，则（

）

A．是函数的极小值点 B．3是函数的一个极C．在处的切线的斜率大于0 D．的单减区间为二、多选题（本大题共18分）9．已知函数f（x）=（x-a）（x-3）2，当x=3时，f（x）有极大值，则a的取值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．310．已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．11．已知正数x，y满足，则（

）A．的最大值为1 B．的最大值为2C．的最小值为2 D．的最小值为三、填空题（本大题共15分）12．数列的前n项和为，则.13．中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了里.14．已知函数，若曲线在处的切线方程为，则．四、解答题（本大题共77分）15．（本题13分）设全集为，，.(1)求A∪(2)若,,求实数的取值范围．16．（本题15分）（1）已知，，，求证：；（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.17．（本题15分）求下列函数的导函数．(1)；(2)；(3)．18．（本题17分）已知数列满足，．(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；(2)若数列满足，，求的前n项和．19．（本题1分）已知，，是自然对数的底数.(1)当时，求函数的极值；(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；(3)当时，若满足，求证：.参考答案：1．B【分析】先求出集合，再求出图中阴影部分表示的集合；最后利用集合的子集个数公式即可求解.【详解】由图可知：阴影部分表示的集合为.因为集合，所以，则，所以阴影部分表示的集合的子集个数为.故选：B.2．B【分析】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断.【详解】由得，由得，则是的必要不充分条件.故选：B.3．C【分析】根据等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质即可得解.【详解】设公差为，，，∴，．故选：C．4．A【分析】设数列的公比，由题意列出方程组，求得，由等比数列的求和公式计算即得.【详解】设数列的公比为，由题意可得，解得，，则.故选：A.5．D【分析】根据给定的通项公式，利用裂项相法求和即得.【详解】依题意，，则，所以.故选：D6．A【分析】根据递推式写出数列前面几项得出数列周期，进一步即可求解.【详解】由题意可得：，由此可以发现数列的周期是3，从而.故选：A.7．C【分析】根据题意，分析和的几何意义，结合图象分析可得答案．【详解】根据题意的几何意义为在点B处切线的斜率，的几何意义为在点A处切线的斜率，，其几何意义为割线AB的斜率，则有．故选：C8．D【分析】根据导函数图象上点的坐标特征，依次判断导函数值的符号，得出原函数的单调性，从而得出极值点情况和切线斜率的正负，一一判断选项即得.【详解】因，当时，，时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减.对于A，由上分析知是函数的极大值点，故A错误；对于B，由上分析知，3不是函数的极值点，故B错误；对于C，由上分析知，，即在处的切线的斜率小于0，故C错误；对于D，由上分析知，的单减区间为,故D正确.故选：D.9．ABC【分析】求得导数函数只需即可满足题意.【详解】令，则或，当时，即时，在单调递增，单调递减，单调递增，此时，当x=3时，f（x）有极大值，则a的取值可以是4,5,6.故选：ABC.10．AD【分析】利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式列方程，整理可得，再由等差中项的性质及通项公式求，即可判断各选项的正误.【详解】由题设，若的公差和首项分别为，而，∴，整理得，又公差和首项都不等于0，∴，故D正确，C错误；∵，∴，故A正确，B错误.故选：AD11．AD【分析】A选项，由基本不等式求出；B选项，求出；C选项，在A选项基础上得到；D选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】A选项，正数x，y满足，由基本不等式得，解得，当且仅当时，等号成立，A正确；B选项，，故，当且仅当时，等号成立，故的最小值为2，B错误；C选项，由A选项知，，故，当且仅当时，等号成立，所以，故的最大值为2，C错误；D选项，由于正数x，y满足，故，当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：AD12．【分析】由及递推关系求结果.【详解】.故答案为：13．96【分析】由等比数列前项和公式即可求解.【详解】由题意，此人每天走的路程可以构成等比数列，公比，，因为，解得，所以（里）.故答案为：96.14．【分析】利用导函数和切线斜率求出的值，利用解析式和切点坐标求出的值，可得.【详解】函数，，若曲线在处的切线方程为，则切点坐标为，切线斜率，则有，解得，所以．故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）利用集合运算即可求解；（2）由得到，借助集合的包含关系即可求解.【详解】（1）全集为R，，，所以（2），因为，所以，由题意知

，解得所以实数的取值范围是.16．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由乘“1”法结合基本不等式即可得证；（2）由（1）中结论可得，由此转换成解一元二次不等式即可得解.【详解】（1）因为，，，所以，（当且仅当时等号成立）,因此有.（2）由于，可将x看作（1）中的a，看作（1）中的b，根据（1）的结论，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，所以有成立，解得：.所以m的取值范围为.17．(1)(2)(3)【分析】利用导函数求导法则和复合函数求导法则进行计算.【详解】（1）；（2）；（3）．18．(1)(2)【分析】（1）根据数列递推公式进行合理变形得出，利用等差数列的定义可判断并求得数列的通项公式；（2）依题求得，利用裂项相消法即可求得.【详解】（1）由，可得，即，即，故数列是等差数列，其首项为，公差为1，则，解得；（2）由可得，则.19．(1)极小值为0，无极大值.(2)(3)证明见解析【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值.（2）等价于与有两个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可.（3）求出，并得函数在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对求导证明即可.【详解】（1）当时，，定义域为，求导可得，令，得，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，所以在处取到极小值为0，无极大值.（2）方程，当时，显然方程不成立，所以，则，方程有两个不等实根，即与有2个交点，，当或时，，在区间和上单调递减，并且时，，当时，，当时，，在区间上单调递增，时，当时，取得最小值