北师大版初中九年级数学上册专项素养综合练(二)与正方形有关的四个常考模型课件

专项素养综合全练(二)与正方形有关的四个常考模型类型一正方形中的“十字模型”模型解读

分别连接正方形两组对边上的任意两点,得到的两条线段满

足:若垂直,则相等.

1.如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BG

⊥AE,垂足为点G,延长BG交CD于点F,连接AF.(1)求证:BE=CF.(2)若正方形的边长是5,BE=2,求AF的长.

解析

(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABE=

∠BCF=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,∵BG⊥AE,∴∠BGE=90°,∴∠AEB+∠EBG=90°,∴∠BAE=

∠EBG,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴BE=CF.(2)∵正方形的边长是5,∴AB=BC=CD=5,由(1)得BE=CF,∵BE=2,∴CF=2,∴DF=CD-CF=3,在Rt△ADF中,AF=

=

=

.类型二正方形过对角线交点的直角问题模型解读

在正方形ABCD中,O为对角线的交点,∠EOF=90°.若∠EOF绕点O旋转,OE,OF分别与DA,AB的延长线交于点G,H,则△AGO≌△BHO,△OGH是等腰直角三角形,S四边形OEBF=

S正方形ABCD.2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,正方形A'B'C'D'的顶点A'与点O重合,边A'B'交BC于点E,边A'D'交CD于点F.(1)求证:OE=OF.(2)若正方形ABCD的边长为1,则两个正方形重叠部分的面积为

.(3)在(2)的条件下,若正方形A'B'C'D'绕着点O旋转,EF的长度何时最小?最小值是多少?请说明理由.解析

(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴∠BOC=90°,∠OBC=∠OCD=45°,OB=OC.∵四边形A'B'C'D'为正方形,∴∠EOF=90°,∵∠BOE=∠BOC-∠EOC=90°-∠EOC,∠COF=∠EOF-∠EOC=90°-∠EOC,∴∠BOE=∠COF,在△OBE和△OCF中,

∴△OBE≌△OCF(ASA).∴OE=OF.(2)∵△BOE≌△COF,∴S△BOE=S△COF,∴S△EOC+S△COF=S△EOC+S△BOE,即S四边形OECF=S△BOC,∵正方形ABCD的边长为1,∴正方形ABCD的面积为1,∴S△BOC=

,∴两个正方形重叠部分的面积为

,故答案为

.(3)当OE⊥BC时,EF的长度最小,最小为

.理由如下:连接EF,∵∠EOF=90°,∴EF2=OE2+OF2,∵OE=OF,∴EF=

OE,∴要使EF最小,则OE最小.∵当OE⊥BC时,OE的长度最小,∴此时

EF的长度最短.当OE⊥BC时,OE=

BC=

,∴EF=

OE=

.综上,当OE⊥BC时,EF的长度最小,最小为

.3.(2024湖北巴东期中)如图1,O为正方形ABCD对角线的交

点,点E,F在正方形边BC,CD上,BE=CF,连接OE,OF,EF.(1)求证:∠EOF=90°.(2)如图2,若M为CD的中点,N为BC的中点,MN与EF交于点K,

请探究点K是否平分EF,说明理由.

解析

(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠BOC=

90°,∠OBC=∠OCD=45°,在△OBE和△OCF中,

∴△OBE≌△OCF(SAS),∴∠BOE=∠COF,∴∠BOE+∠EOC=∠COF+∠EOC,∴∠BOC=∠EOF,∵∠BOC=90°,∴∠EOF=90°.(2)点K平分EF.理由:过点E作EQ⊥BC交直线MN于点Q,∵M为CD的中点,N为BC的中点,∴MN是△BCD的中位线,∴MN∥BD,∴∠MNC=∠DBC=45°,∠NMC=∠BDC=45°,∴∠ENQ=∠MNC=45°,∵EQ⊥BC,∴∠QEN=90°,∴∠EQN=∠ENQ=45°,∴EQ=EN,∵BN=

BC=

CD=CM,BE=CF,∴EN=FM,∴EQ=FM,在△KEQ和△KFM中,

∴△KEQ≌△KFM(AAS),∴KE=KF,即点K平分EF.类型三正方形中的“半角模型”模型解读

(1)如图1,在正方形ABCD中,若∠EAF=45°,则①EF=BE+DF;

②C△EFC=2AB;③FA平分∠DFE,EA平分∠BEF;④MN2=BM2+

DN2.(2)如图2,在正方形ABCD中,若∠EAF=45°,则FA平分∠DFE,

EF=DF-BE.4.如图,在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC

于点E,AF交CD于点F,连接EF.若DF=3,则BE的长为

(

)

A.2

B.3

C.4

D.5A解析如图,把△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG,∴△ADF≌△ABG,∴∠DAF=∠BAG,∠ADF=∠ABG=∠ABE=90°,∴∠ABG+∠ABE=180°,∴G、B、E三点共线,∵∠DAB=90°,∠EAF=45°,∴∠DAF+∠EAB=45°,∴∠BAG+∠EAB=45°,∴∠EAF=∠EAG,在△EAG和△EAF中,

∴△EAG≌△EAF(SAS),∴GE=FE.设BE=x,∵CD=6,DF=3,∴CF=3,BG=3,则GE=BG+BE=3+x,

CE=6-x,∴EF=3+x,∵∠C=90°,∴(6-x)2+32=(3+x)2,解得x=2,∴BE的长为2.故选A.

5.(2023重庆中考A卷)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则∠FEC等于(

)

A.2α

B.90°-2α

C.45°-α

D.90°-αA解析∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠BAD=∠ABC=

∠ADC=90°,如图,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABG,

则AF=AG,∠DAF=∠BAG,∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠GAE=∠FAE=45°,在△FAE和△GAE中,.∴△FAE≌△GAE(SAS),∴∠AEF=∠AEG,

∵∠BAE=α,∴∠AEB=90°-α,∴∠AEF=∠AEB=90°-α,∴∠FEC=180°-∠AEF-∠AEB=180°-2×(90°-α)=2α,故选A.类型四正方形中的“角平分线+垂直”模型模型解读

在正方形ABCD中,点E在射线CB上,EF交外角∠DCG的平分

线(图1)或其所在直线(图2)于点F,AE⊥EF,则有AE=EF.

6.如图1,四边形ABCD是正方形,E是边BC的中点,∠AEF=90°,

且EF交正方形外角的平分线CF于点F,过点F作FG⊥BC于点

G,连接AC.易证:AC=

(EC+FG).(提示:取AB的中点N,连接EN)(1)当点E是BC边上任意一点时,如图2;当点E在BC延长线上

时,如图3.请直接写出AC,EC,FG的数量关系,并对图2进行证明.(2)已知正方形ABCD的面积是27,连接AF,当△ABE中有一个

内角为30°时,AF的长为

.解析

(1)题图2中,结论:AC=

(FG+EC).题图3中,结论:AC=

(FG-EC).对题图2中结论的证明过程如下:在AB上截取BM=BE,连接EM,∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠BCD=90°,AB=BC,∴∠DCG=90°,∠EAM+∠AEB=90°,∵BM=BE,∴AB-BM=BC-BE,∠BME=∠BEM=45°,∴AM=EC,∠AME=135°,∵CF平分∠DCG,∴∠FCG=45°,∴∠ECF=135°,∴∠AME=∠ECF,∵∠AEF=90°,∴∠FEC+∠AEB=90°,∴∠EAM=∠FEC,在△AEM和△EFC中,

∴△AEM≌△EFC(ASA),∴EM=CF,∵EM=

BE,CF=

FG,∴BE=FG,∵AC=

BC=

(BE+EC),∴AC=

(FG+EC).(2)当∠BAE=30°时,∵正方形的面积为27,∴A