微分方程建模教材

微分方程模

型太原理工大学数学学院数学建模的方法与步骤提出问题:提出要用数学方法解决的实际问题建立模型分析问题提出合理假设引入数学符号模型描述模型求解:通过数学上的理论推导,或者编程计算求解模型应用:将解的结果返回到原问题,提出指导性建议模型改进:通过细化问题和改进建摸假设等环节改进所建立的模型建立微分方程模型的方法1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过试验检验的规律等来建立微分方程模型。2）微元分析法利用已知的定理和规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。微分方程相关概念

自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。

方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。

初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。例如：1）各种物理性质的定常过程，都可用椭圆型方程来描述。其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程特别地，当

时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程

带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。偏微分方程的定解问题Poisson方程的第一边值问题为

其中

为以

为边界的有界区域，

为分段光滑曲线。分别为

和上的已知连续函数。第二类和第三类边界条件可统一表示成

其中

为边界

的外法线方向。当

时为第二类边界条件，

时为第三类边界条件。3）在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。其最简单的形式为一维热传导方程对于这类问题的定解条件应该包含初始和边界条件，其边界条件也包含第一、第二、第三类边界条件。微分方程的应用实例

本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。例1（根据规律）

我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：

敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。

设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r=r(θ)，见图3-2。BAA1drdsdθθ图3-2由题意，，故ds=2dr图3-2可看出，故有:即:（3.3）解为：（3.4）

先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离,然后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。追赶方法如下：例2

（微元法）

一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？解:以容器的底部O点为原点，取坐标系如图3.3所示。令h(t)为t时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分方程。设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：因体积守衡，又可得：易见：故有：即：这是可分离变量的一阶微分方程，得RxySO图3-3hr

为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。

种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量,由此引起的误差将是十分微小的。例3

Malthus模型与Logistic模型模型1

马尔萨斯（Malthus）模型

马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率），即：

或

（3.5）

（3.6）

（3.1）的解为：其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。

马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：故模型2Logistic模型人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N)

从而有：（3.7）r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令r(N)=r-aN

此时得到微分方程：或（3.8）（3.8）可改写成：

（3.9）例4

传染病模型

传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的流行，并建立起相应的多房室模型。

医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。问题的提出：

设某地区共有n+1人，最初时刻共有i人得病，t时刻已感染（infective）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给k个人（k称为该疾病的传染强度），且设此疾病既不导致死亡也不会康复模型1

此模型即Malthus模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况。

已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则不加任何区分，来建立两房室系统。则可导出：故可得：

（3.1）

模型2

记t时刻的病人数与易感染人数（susceptible）分别为i(t)与s(t)，初始时刻的病人数为i。根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律，其中：解得：（3.17）可得：（3.16）

统计结果显示，(3.17)预报结果比(3.15)更接近实际情况。医学上称曲线为传染病曲线，并称最大值时刻t1为此传染病的流行高峰。令：得：此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。

模型2仍有不足之处，它无法解释医生们发现的现象，且当时间趋与无穷时，模型预测最终所有人都得病，与实际情况不符。infectiverecoveredsusceptiblekl

（3.18）

l称为传染病恢复系数求解过程如下：对（3）式求导，由（1）、（2）得：解得：记：

则：

将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（recovered）。分别记t时刻的三类人数为s(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型：模型3infectiverecoveredsusceptiblekl

由(1)式可得：从而解得：积分得：（3.19）

不难验证，当t→+∞时，r(t)趋向于一个常数，从而可以解释医生们发现的现象。

为揭示产生上述现象的原因（3.18）中的第（1）式改写成：

其中通常是一个与疾病种类有关的较大的常数。下面对

进行讨论，请参见右图如果，则有，此疾病在该地区根本流行不起来。如果，则开始时，i(t)单增。但在i(t)增加的同时，伴随地有s(t)单减。当s(t)减少到小于等于时，i(t)开始减小，直至此疾病在该地区消失。鉴于在本模型中的作用，被医生们称为此疾病在该地区的阀值。的引入解释了为什么此疾病没有波及到该地区的所有人。图3-14

求解微分方程的方法1）精确解2）数值解3）定性理论方法然而，大多数微分方程求不出解析解（即精确解，）因而研究微分方程的数值解和稳定性就显得十分重要。

对于常微分方程求精确解的方法包括：待定系数法、分离变量法等，对于偏微分方程而言，针对特定的方程也有一些特定的解法。在大多数情况下，我们更侧重于求微分方程的数值解我们常用的数值方法有：有限差分、有限元偏微分方程的差分解法差分方法是求偏微分方程定解问题常用的方法之一。

基本思想：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题：（i）选取网格；（ii）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式；（iii）求解差分格式；（iv）讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。稳定性问题

在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研究几个与稳定性有关的问题。一般的微分方程或微分方程组可以写成：定义称微分方程或微分方程组为自治系统或动力系统。（3.28）

若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（3.28）。称点Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点。例5

本章第2节中的Logistic模型

共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No=K时的解。

当No<K时，积分曲线N=N(t)位于N=K的下方；当No>K时，则位于N=K的上方。从图3-17中不难看出，若No>0，积分曲线在N轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=0和N=K有着极大的区别。图3-17

定义1自治系统的相空间是指以（x1,…,xn）为坐标的空间Rn。

特别，当n=2时，称相空间为相平面。空间Rn的点集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)满足(3.28)，i=1,…,n}称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。定义2设x0是（3.28）的平衡点，称：

（1）x0是稳定的，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε对所有的t都成立。（2）x0是渐近稳定的，如果它是稳定的且。

微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。（3）x0是不稳定的，如果（1）不成立。根据这一定义，Logistic方程的平衡点N=K是稳定的且为渐近稳定的，而平衡点N=0则是不稳定的。解析方法定理1设xo是微分方程的平衡点：若,则xo是渐近稳定的若,则xo是渐近不稳定的证由泰勒公式，当x与xo充分接近时，有：

由于xo是平衡点，故f(xo)=0。若，则当x<xo时必有f(x)>0，从而x单增；当x>xo时，又有f(x)<0，从而x单减。无论在哪种情况下都有x→xo，故xo是渐进稳定的。的情况可类似加以讨论。高阶微分方程与高阶微分方程组平衡点的稳定性讨论较为复杂，大家有兴趣可参阅微分方程定性理论。为了下两节的需要，我们简单介绍一下两阶微分方程组平衡点的稳定性判别方法。考察两阶微分方程组：（3.29）

令，作一坐标平移，不妨仍用x记x’，则平衡点xo的稳定性讨论转化为原点的稳定性讨论了。将f(x1,x2)、g(x1,x2)在原点展开，（3.29）又可写成:考察（3.29）的线性近似方程组:（3.30）其中：记λ1、λ2为A的特征值则λ1、λ2是方程：det（A-λI）=λ2-(a+b)λ+(ad–bc)=0的根令p=a+d,q=ad-bc=|