2024河南中考数学专题复习第三章 微专题 二次函数的对称性、增减性及最值 课件

二次函数的对称性、增减性及最值微专题

考情及趋势分析考情分析类型年份题号题型分值考查的知识点考查设问对称性20198选择题3利用二次函数的对称性求b确定纵坐标的值202213填空题3利用对称性求点坐标顶点坐标增减性202312填空题3利用增减性比较纵坐标大小比较纵坐标大小对称性＋增减性202112填空题3利用二次函数的对称性和增减性及过原点写出函数解析式图象经过原点的函数，开放性设问对称性＋增减性202021解答题10利用二次函数的对称性和增减性求点坐标(1)求二次函数解析式和点坐标；(2)利用二次函数对称性和增减性确定点的纵坐标，涉及数形结合和分类讨论思想的考查类型一求对称轴从解析式出发：1.抛物线y＝x2＋2x－2的对称轴是直线________．2.抛物线y＝－ax2＋4ax－c(a≠0)的对称轴是直线________．3.抛物线y＝a(x－2)(x－4)(a≠0)的对称轴是直线________．x＝－1x＝2x＝3

角度一

对称性从点坐标出发：4.抛物线过点A(－5，0)，B(－1，0)，则此抛物线的对称轴是直线______.5.若抛物线过点A(2，3)，B(－4，3)，则此抛物线的对称轴是直线______.6.若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点A(1＋m，n)，B(1－m，n)，则此抛物线的对称轴是直线________．x＝－3x＝－1x＝1类型二利用对称性求点坐标和字母的值7.若抛物线y＝x2＋mx过点(3，0)，则m＝________．8.抛物线y＝x2＋bx的对称轴是直线x＝1，则b＝________．9.若抛物线y＝a(x－5)2＋3(a≠0)与x轴的一个交点为(2，0)，求该抛物线与x轴的另一个交点坐标．解：根据解析式可知抛物线的对称轴为直线x＝5，且与x轴的一个交点坐标为(2，0)，∴点(2，0)关于对称轴直线x＝5对称的点的坐标为(8，0)，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为(8，0).－3

－210.若抛物线y＝ax2－2ax＋1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于点B，求点B的坐标．

解：令x＝0，则y＝1，∴A(0，1)，∵

＝

＝1，由题意得，点A与点B关于对称轴直线x＝1对称，∴点B的坐标为(2，1).11.已知抛物线的对称轴为直线x＝1，点A与点B均在抛物线上，且两点的纵坐标相等(点A在点B的左侧)，若AB＝4，求点A与点B的横坐标．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，AB＝4，点A，B在抛物线上且A，B两点纵坐标相等，点A在点B的左侧，∴点A，B关于直线x＝1对称，∴点A的横坐标为1－2＝－1，点B的横坐标为1＋2＝3.满分技法(1)抛物线是轴对称图形，对称轴为y轴或平行于y轴的直线．①y＝ax2(a≠0)图象关于y轴对称；②y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象关于直线x＝h对称；③y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象关于直线x＝

对称；④y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)图象关于直线x＝

对称．(2)抛物线上纵坐标相同的两点必关于抛物线的对称轴对称，可根据对称轴与其中一点坐标求出与之关于对称轴对称的另一点的坐标．类型一利用增减性比较大小1.已知抛物线y＝x2－2x－1.(1)若抛物线经过(2，y1)和(3，y2)两点，则y1______y2(填“>”“<”或“＝”)；(2)若抛物线经过(－3，y1)和(4，y2)两点，则y1______y2(填“>”“<”或“＝”)；(3)若点(－2，y1)和(－1，y2)，(5，y3)都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是___________．＜＞y3＞y1＞y2角度二

增减性(2)若点A，B是抛物线上的两点(点A，B均在对称轴右侧)，且到对称轴的距离分别为2和3，则抛物线在A，B之间的部分(包含A，B两点)，y的取值范围为________；2≤y≤7类型二利用增减性求取值范围2.已知抛物线y＝x2－2x－1.(1)函数值y的取值范围是________，当－3≤x≤0时，函数值y的取值范围是____________；y≥－2－1≤y≤14(3)若抛物线的函数值为2<y<3，则x的取值范围是________________________________；(4)若点M(－2，y1)和点N(n，y2)在该抛物线上，且y1＜y2，则n的取值范围是_____________．n＜－2或n＞43＜x＜1＋1－

＜x＜－1或满分技法抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)任意一点到其对称轴的距离记为d，则有：d相等，y值相等；a>0时，d越大，y值越大，d越小，y值越小；a<0时，d越大，y值越小，d越小，y值越大．角度三

最值1.已知抛物线y＝－x2＋2x＋3.(1)如图①，当－2≤x≤0时，函数值y的最大值是________；第1题图①【解法提示】当－2≤x≤0时，抛物线在x＝0处取得最大值，y最大＝3.3(2)如图②，当－1≤x≤4时，函数值y的最小值是________；(3)如图③，当2≤x≤3时，函数值y的最小值是________；【解法提示】当－1≤x≤4时，抛物线在x＝4处取得最小值，y最小＝－5.－5【解法提示】当2≤x≤3时，抛物线在x＝3处取得最小值，y最小＝0.0第1题图②第1题图③(4)如图④，当－1≤x≤m时，若y的最大值与最小值之差为5，求m的值．(4)如解图，抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y取得最大值4，当x＝－1时，y＝0，∵当－1≤x≤m，y的最大值与最小值之差为5，∴y的最小值为－1，∴－m2＋2m＋3＝－1，解得m＝1＋

或m＝1－

(不符合题意，舍去)，∴m＝1＋

.第1题图④第1题解图

解题关键点根据m的取值范围可转化到(1)(2)(3)中的类型求解．满分技法当自变量x的取值范围为一切实数时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值可用公式

求解，也可将x＝

代入解析式求解．对接中考1.(2022河南21题10分)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；

解：(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与y轴正半轴交于点B，∴点B的坐标为(0，c)，c>0.∵OA＝OB，且点A在x轴正半轴上，∴点A的坐标为(c，0).(2分)第1题图∵抛物线y＝－x2＋2x＋c经过点A，∴－c2＋2c＋c＝0.解得c1＝0(舍去)，c2＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．(4分)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线顶点G的坐标为(1，4)；(5分)第1题图(2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．第1题图(2)由(1)知抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1.∵点M，N是抛物线上的两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为6，第1题图∴点M的纵坐标为