2024河南中考数学专题复习第三部分 题型二 微专题10 辅助圆在解题中的应用 课件

微专题10辅助圆在解题中的应用

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值背景图形变化方式辅助圆最值类型结合知识点202315填空题3等腰直角三角形线段旋转定点定长作圆点圆最值勾股定理202215填空题3矩形(图形不固定)折叠定点定长作圆/相似，勾股定理202115填空题3等腰直角三角形折叠定点定长作圆/平行线分线段成比例202022(3)解答题2等腰三角形直角旋转三角形定点定长作圆点圆最值勾股定理201915填空题3图形不固定折叠定点定长作圆/相似，勾股定理201815填空题3正方形折叠定点定长作圆/勾股定理一阶

方法训练方法一点圆最值方法解读已知平面内一定点D和⊙O，点E是⊙O上一动点，设点O与点D之间距离为d，⊙O半径为r.位置关系点D在⊙O内点D在⊙O上点D在⊙O外图示DE的最大值d＋r2rd＋r此时点E的位置连接DO并延长交⊙O于点EDE的最小值r－d0d－r此时点E的位置连接OD并延长交⊙O于点E点E与点D重合连接OD交⊙O于点E【应用依据】直径是圆中最长的弦．1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径作⊙D，点E是⊙D上一点，若AB＝8，BC＝6，则线段AE长的最小值为________．第1题图2.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O内一点，AC＝BC，点D是⊙O上一点，连接CD，若∠ACB＝120°，△ABC的面积为

，则线段CD长的最小值为________，最大值为________．第2题图方法二线圆最值已知⊙O及直线l，⊙O的半径为r，点Q为⊙O上一动点，圆心O与直线l之间的距离为d.方法解读位置关系直线与⊙O相离直线与⊙O相切直线与⊙O相交图示点Q到直线l距离的最大值d＋r2rd＋r位置关系直线与⊙O相离直线与⊙O相切直线与⊙O相交图示此时点Q的位置过点O作直线l的垂线，其反向延长线与⊙O的交点，即为点Q点Q到直线l距离的最小值d－r00此时点Q的位置过点O作直线l的垂线，与⊙O的交点即为点Q直线l与⊙O的交点即为点Q3.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到BC的距离的最小值为________，最大值为_____．第3题图264.如图，已知AB为⊙O的弦，点P为⊙O上一点，若∠APB＝45°，AB＝4，则△ABP面积的最大值为________．第4题图方法三定点定长作圆

(9年5考)已知平面内一定点A和一动点B，若AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆(如图)(依据：圆的定义，圆是平面上所有到定点的距离等于定长的点的集合)方法解读推广：在旋转或折叠问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹5.如图，在Rt△ABC中，AB＝6，∠BAC＝60°，将AC边绕点A逆时针旋转，点C的对应点为C′，当点C′第一次落在线段BA的延长线上时，点C运动的路径长为________．第5题图2π

方法四直角对直径如图，在△ABC中，AB的长为定值，点C为动点，∠C＝90°，则点C的轨迹是以AB为直径的圆(不含A，B两点)．方法解读注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆最值等方法进行相关计算．6.如图，在正方形ABCD中，BC＝4，点E为正方形内一点，且∠BEC＝90°，连接DE，则DE的最小值为________．第6题图方法五四点共圆(1)同侧型：AB为△ABC和△ABD的公共边，点C，D在AB的同侧，如图①，当∠C＝∠D，此时A，B，C，D四点共圆；如图②，当∠C＝∠D＝90°时，AB为⊙O的直径．(依据：同弦所对的圆周角相等)方法解读图①图②(2)异侧型：如图③，由点A，B，C，D构成的四边形中，若∠D＋∠B＝180°，则A，B，C，D四点共圆，∠A＋∠C＝180°.(依据：圆内接四边形对角互补)图③提示：可用反证法证明7.如图，△ABC是等边三角形，点D是平面内一点，连接AD，CD，BD，且∠CAB＝∠CDB.求证：BD＝AD＋CD.第7题图证明：如解图，

在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，∵∠CAB＝∠CDB，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ACD＝∠ABD.又∵AC＝AB，CD＝BE，∴△ADC≌△AEB(SAS)，第7题解图∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC＋∠CAE＝∠EAB＋∠CAE＝∠CAB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∴BD＝DE＋BE＝AD＋CD.第7题解图变式题

将∠CAB＝∠CDB改为∠ADC＝120°.求证：BD＝AD＋CD.一题多解法证法一：如解图①，变式题解图①

在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，又∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ACD＝∠ABD.第7题图又∵AC＝AB，CD＝BE，∴△ADC≌△AEB(SAS)，∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC＋∠CAE＝∠EAB＋∠CAE＝∠CAB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∴BD＝DE＋BE＝AD＋CD.变式题解图①变式题解图②证法二：如解图②，将BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BD′，连接CD′，由旋转的性质可得，BD＝BD′.∵∠ABD＋∠CBD＝60°，∠CBD′＋∠CBD＝60°，∴∠ABD＝∠CBD′.在△ABD和△CBD′中，AB＝CB∠ABD＝∠CBD′,BD＝BD′∴△ABD≌△CBD′(SAS)．∴∠BAD＝∠BCD′，AD＝CD′.又∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠BCD′＋∠BCD＝180°，∴D，C，D′三点共线，∴△BDD′是等边三角形，∴BD＝DD′＝CD′＋CD＝AD＋CD.变式题解图②二阶

综合提升1.(点圆最值－点在圆内)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝4，点P为AC上一点，且AP＝

AC

，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点A的对应点为D，点B的对应点为E，连接PD，则PD的最大值为________．第1题图2.(线圆最值－相交)如图，直线l与⊙O相交于点B，D，点A，C是直线l两侧的圆弧上的动点，若⊙O的半径为1，∠A＝30°，则四边形ABCD的面积的最大值为________．第2题图13.(线圆最值－相离)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.点O是AB的三等分点(靠近点A)，半圆O与AC相切，点M，N分别是BC与半圆O上的动点，则MN的最小值与最大值之和为________．第3题图64.(2023菏泽)(直角对直径；点圆最值－点在圆外)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD<BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为________．第4题图5.(四点共圆)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠CPB＝∠A，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为________．第5题图6.(直角对直径)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，若AD＝2，BC＝4，则四边形ABCD面积的最大值是________．第6题图67.(定点定长作圆)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝

，点E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE折叠得到△AFE，连接BF并延长交边CD于点G，则DG长的最大值为________．第7题图2

解题关键点点F在以点A为圆心，AD长为半径的圆上运动，要使DG长取得最大值，则AF⊥