2024河南中考数学专题复习第三部分 题型二 综合训练 训练1 折叠综合训练 课件

训练1折叠综合训练1.(2023河南黑白卷)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，D为AB上一点，E为BD的中点，将△ACD沿CD折叠得到△FCD，连接EF，当△DEF为直角三角形时，则AD的长为________．针对15题：与折叠有关的几何图形的计算第1题图2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是边AB上的三等分点，E是BC上一点，连接DE，将△BDE沿DE折叠得到△B′DE，连接CB′，若AB＝BC＝6，则CB′的最小值为_________________．第2题图3.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠ABC＝120°，E，F分别是AD，AB上一动点，且AE＝AF，将△AEF沿EF折叠，点A落在点A′处(点A′与点A不重合)，当△A′CD是等腰三角形时，AA′的长为____________．第3题图4.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，E是边BC上一点，且BE＝5，F是边AB上一动点，连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B落在点P处，连接BP，当点P恰好在Rt△ABC直角边的垂直平分线上时，BP的长为_________．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E为CD边的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C′，当点C′恰好落在矩形ABCD的对角线上时(不与矩形顶点重合)，点F运动的距离为________．第5题图6.如图，M，N分别是矩形ABCD的边AB，CD上的动点，连接MN，将矩形沿MN折叠，点B，C的对应点分别为E，F，若AB＝9，BC＝CN＝4，当点D，E，F在同一条直线上时，BM的长为______．第6题图

解题关键点需分点D在EF的延长线上和点D在线段EF上两种情况讨论．7.若一个三角形的三边长之比为3∶4∶5，则称这个三角形为“勾股三角形”．如图，在矩形ABCD中，AD＝12，点G在边DC上，将△ADG沿AG所在直线折叠，得到△AD′G，再将△AD′G沿过点A的直线折叠，使AD′与AG重合，点D′的对应点为点E，折痕与D′G

交于点F.若△GEF

是“勾股三角形”，则AF的长为_________．第7题图针对23题：与折叠有关的探究链接：微专题13特殊三角形的分类讨论；微专题14线段或直线上点位置不确定产生的分类讨论；微专题15轴对称(含折叠)落点位置不确定产生的分类讨论1.综合与实践如图，在正方形ABCD中，E为射线DA上一点，现将正方形ABCD沿CE折叠，使点D落在点D′处，连接CD′并延长，交AB所在直线于点F.第1题图(1)如图①，当∠DCE＝30°时，则线段CF，DE，BF之间的数量关系为_____________；第1题图①【解法提示】

由折叠的性质可知，∠FCE＝∠DCE＝30°，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BCF＝90°－30°－30°＝30°.在Rt△CDE中，DE＝CD·tan30°＝

CD，在Rt△BCF中，BF＝BC·tan30°＝

BC，CF＝

＝

BC，∵CD＝BC，∴CF＝DE＋BF.CF＝DE＋BF第1题图②(2)当点F不在线段AB上时．①如图②，当点F在BA的延长线上时，线段CF，DE，BF之间的数量关系为________；【解法提示】

如图②，延长FB到点G，使得BG＝DE，G连接CG，由折叠的性质可知，∠DCE＝∠ECD′，CD＝CD′，DE＝D′E，∠D＝∠CD′E＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠D＝∠ABC＝90°，∴CD′＝BC，∠CD′E＝∠CBG＝90°.又∵BG＝DE＝D′E，∴△CD′E≌△CBG，∴∠D′EC＝∠G，∠ECD′＝∠GCB，∴∠ECD′＋∠D′CB＝∠BCG＋∠D′CB，即∠ECB＝∠GCD′.∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECB，∴∠D′CG＝∠DEC＝∠D′EC＝∠G，∴CF＝FG＝BG＋BF＝DE＋BF.第1题图②G(2)①CF＝DE＋BF；第1题图③②如图③，当点F在AB的延长线上时，猜想CF，DE，BF之间的数量关系并证明；②DE＝BF＋CF；证明：如图③，在AD上截取DG＝BF，连接CG,G∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠D＝∠CBF＝90°.又∵DG＝BF，∴△CDG≌△CBF，∴∠DCG＝∠BCF，CG＝CF，由折叠的性质可知，∠DCE＝∠D′CE，∴∠GCE＝∠ECB.∵AD∥BC，∴∠ECB＝∠GEC，∴∠GEC＝∠GCE，∴CG＝GE，∴GE＝CF，∴DE＝DG＋GE＝BF＋CF；第1题图③G(3)在(2)的条件下，若AB＝4，AF＝6，请直接写出DE的长．【解法提示】∵AB＝4，AF＝6，∴点F不在线段AB上．①当点F在AB的延长线上时，则BF＝AF－AB＝2，在Rt△BCF中，CF＝

＝2

，∴DE＝BF＋CF＝2＋2

；②当点F在BA的延长线上时，则BF＝AB＋AF＝4＋6＝10，在Rt△BCF中，CF＝

＝2

，∴DE＝CF－BF＝2

－10.综上所述，DE的长为2＋2

或2

－10.第1题图③G

解题关键点需分点F在AB的延长线上与点F在BA的延长线上两种情况讨论．2.综合与实践(1)操作判断如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E是AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠得到△FBE.根据以上操作，当AE＝时，则∠CBF＝_____°；第2题图①【解法提示】∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠BAE＝90°，∵AB＝2，AE＝

，∴tan∠ABE＝

＝

，∴∠ABE＝30°，由折叠的性质得∠FBE＝∠ABE＝30°，∴∠CBF＝90°－2∠ABE＝30°.第2题图①解：(1)30；(2)实践探究①如图②，连接CE，当点F在CE上时，△BCE的形状为___________；第2题图②【解法提示】∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，由折叠的性质得∠AEB＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE，∴△BCE为等腰三角形．等腰三角形②如图③，G是CD上一点，将△DEG沿直线EG折叠得到△HEG，连接CH，且E，F，H三点共线，请判断线段BE与EG的位置关系，并说明理由；第2题图③②BE⊥EG，理由如下：由折叠的性质得，∠AEB＝∠FEB，∠HEG＝∠DEG，∵∠AEB＋∠FEB＋∠HEG＋∠DEG＝180°，∴2(∠FEB＋∠HEG)＝180°，∴∠FEB＋∠HEG＝90°，即∠BEG＝90°，∴BE⊥EG；(3)拓展应用如图③，在(2)②的条件下，当△CHG中存在90°角时，求DE的长．第2题图③【解法提示】分三种情况：①如解图①，当∠CHG＝90°时，由(2)②知E，F，H三点共线，∵∠EHG＝∠D＝90°，∴∠EHG＋∠CHG＝180°，∴C、H、F、E四点共线，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CBE＝∠AEB，第2题解图①∵∠AEB＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝CB＝4，在Rt△CDE中，∵CD＝AB＝2，∴DE＝

＝2；②如解图②，当∠HCG＝90°时，过点H作HP⊥AD于点P，第2题解图①∵∠HCG＝∠D＝∠HPD＝90°，∴四边形HCDP是矩形，∴HP＝CD＝AB＝2，第2题解图②设AE＝x，则DE＝EH＝4－x，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠HBE＝∠AEB，∵∠AEB＝∠HEB，∴∠HBE＝∠HEB，∴BH＝EH＝4－x，∴HC＝DP＝4－(4－x)＝x，∴EP＝4－2x，根据勾股定理可得，(4－x)2＝(4－2x)2＋22，解得x＝

或2(舍去)，∴AE＝

，∴DE＝4－

＝

；③当∠CGH＝90°时，△CGH不存在．综上所述，满足条件的DE的长为2或

.第2题解图②

解题关键点需分三种情况讨论：①∠CHG＝90°；②∠HCG＝90°；③∠CGH＝90°，利用矩形性质与勾股定理求解．3.综合与实践(1)【操作发现】如图①，诸葛小组将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，请写出图中的一个45°角；第3题图①【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，由折叠的性质得，∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，∴∠MAE＋∠MAF＝∠BAE＋∠DAF＝

∠BAD＝45°，即∠EAF＝45°.解：(1)∠EAF＝45°；(2)【拓展探究】如图②，孔明小组继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕AE上的点N处，连接NF交AM于点P.①∠AEF＝___度；第3题图②【解法提示】由折叠的性质得，∠AEB＝∠AEF，∠CEF＝∠NEF，∴∠AEF＝∠AEB＝∠CEF＝

×180°＝60°.60②若AB＝

，求线段PM的长；②∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，由折叠的性质得，∠ANF＝∠ENF＝∠C＝90°，由(1)得∠EAF＝45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴AN＝FN，∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE＝30°，第3题图②在△ANP和△FNE中，

，∴△ANP≌△FNE(ASA)，∴AP＝FE，PN＝EN，根据折叠的性质，∴∠BAE＝∠EAP＝30°，∴BE＝

AB＝1，∴AE＝2BE＝2，第3题图②设PN＝EN＝a，∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，∴AN＝

PN＝

a，AP＝2PN＝2a，∵AN＋EN＝AE，∴

a＋a＝2，解得，a＝

－1，∴AP＝2a＝2

－2，∵AM＝AD＝

，∴PM＝AM－AP＝

－(2

－2)＝2－

；第3题图②(3)【迁移应用】如图③，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，将矩形ABCD沿AE，AF折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为CD的三等分点，AB＝3，AD＝5，请直接写出线段BE的长．第3题图③【解法提示】如图，在AD上取一点J，使得AJ＝AB，过点J作JT⊥BC于点T，交AF于点K，连接EK.∟TJK∵点F是CO的三等分点，当DF＝2CF时，CF＝1，DF＝2，∵JK∥DF，∴△AJK∽△ADF，∴ ，∴

，解得JK＝

，由(1)可知EK＝BE＋JK，设BE＝x，则EK＝x＋

，在Rt△ETK中，根据勾股定理可得，(x＋

)2＝(3－x)2＋(3－

)2，解得x＝

；当CF＝2DF时，同理可得BE＝2.综上所述，线段BE的长为

或2.(3)线段BE的长为

或2.第3题图③∟TJK

解题关键点需分两种情况讨论：①DF＝2CF；②CF＝2DF.4.在进行“图形的变化”单元教学时，杨老师尝试把知识进行整合，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是杨老师设计的问题，请你解答．第4题图①第4题图②(1)观察发现如图①，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(－1，4)，B

(－5，1)，C(－1,1)．将△ABC向右平移6个单位得△A1B1C1；作△A1B1C1关于x轴对称的图形△A2B2C2；再作△A2B2C2关于y轴对称的图形△A3B3C3.则△A3B3C3可以看作是△A1B1C1绕点O顺时针旋转____°得到的；△ABC与△A3B3C3也是中心对称图形，其对称中心是点(____，__)．第4题图①180－3

0(2)探究迁移如图②，将△DEF沿DE所在的直线l向下平移得△EHG，连接FG，再作△DEF与△EHG关于l的轴对称的图形△DEN和△EHM.①FG与DE之间的关系是__________________；②若设∠FDN＝α，∠DFE＝β，请把∠FEN用含α，β的式子表示出来，并说明理由．第4题图②FG∥DE且FG＝DE第4题图②②∠FEN＝α＋2β.理由如下：∵△DEF关于l的轴对称的图形是△DEN，∴△DEF≌△DEN，∴

∠DFE＝∠N＝β.∵∠FEH和∠NEH分别是△DEF和△DEN的外角，∴∠FEH＝∠DFE＋∠FDE，∠NEH＝∠N＋∠NDH，∴∠FEN＝∠FEH＋∠NEH＝∠DFE＋∠FDE＋∠N＋∠NDH＝∠FDN＋∠DFE＋∠N＝α＋2β，即∠FEN＝α＋2β；【解法提示】如解图①，当∠FHG＝60°时，连接FN，GM，NM，根据题意可知四边形FGMN为矩形，FM，GN为矩形的对角线，∴FH＝GH＝HN，(3)拓展应用在(2)的条件下，FG＝2

，连接FM与GN，当FM与GN所夹的锐角为60°时，请直接写出此时FN的长．第4题图②第4题解图①∵∠FHG＝60°，∴△FGH为等边三角形，即FG＝FH，∴GN＝2FH＝2FG＝4

，在Rt△FGN中，FN＝

＝6；如解图②，当∠FHN＝60°时，同理可得GN＝2FN，在Rt△FGN中，FN2＋FG2＝GN2，即FN2＋(2

)2＝(2FN)2，解得FN＝2(负值已舍去)，综上所述，当FM与GN所夹的锐角为60°时，FN的长为2或6.(3)FN的长为2或6.第4题解图①第4题解图②

解题关键点需分两种情况讨论：①∠FHG

＝60°；②∠FHN

＝60°.5.(2023河南黑白卷)综合与实践【问题背景】数学活动课上，老师将矩形ABCD按如图①所示方式折叠，使点A与点C重合，点B的对应点为B′，折痕为EF，若△CEF为等边三角形，试猜想AB与AD的数量关系，并加以证明．(1)请解答老师提出的问题；第1题图①解：(1)AB与AD的数量关系为

.证明：∵△CEF为等边三角形，∴∠ECF＝60°，∴∠DCE＝30°，设DE＝x，在Rt△DEC中，EC＝

＝2x，CD＝

＝

x，∵矩形ABCD沿EF折叠，∴AE＝EC＝2x，∴AD＝AE＋DE＝2x＋x＝3x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝

x，∴

，即AB与AD的数量关系为

；第1题图①(2)小明受到此问题启发，将△ABC纸片按如图②所示方式折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若∠A＝45°，AC＝2，①试判断重叠部分△CEF的形状，并说明理由；第1题图②(2)①△CEF为等腰直角三角形；理由如下：∵△AEF沿EF折叠，点A与点C重合，∴EF是AC的垂直平分线，∴∠EFC＝90°，由题意知，∠ECF＝∠A＝45°，∴∠FEC＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形；②若点D为EF的中点，连接CD，求CD的长；②由①可知，F为AC的中点，△CEF为等腰直角三角形，∵AC＝2，∴CF＝EF＝

AC＝1，∵点D是EF的中点，∴DF＝

EF＝

，∴在Rt△DFC中，由勾股定理得，CD＝

；第1题图②(3)小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在△ABC中，将△ABC折叠，使点A与点C重合，点D为折痕所在直线上一点，若AB＝AC＝，BC＝2，∠ACD＝45°，请直接写出线段BD的长．第1题图③【解法提示】∵点D为折痕所在直线上一点，∠ACD＝45°，∴需分为点D在△ABC内部和外部讨论．①当点D在△ABC内部时，如解图①，过点A作AE⊥BC于点E，点D为折痕上一点，过点D作DM⊥AE于点M，作DN⊥BC于点N，连接AD，CD，BD，第5题解图①∵A，C两点关于折痕对称且∠ACD＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形且DA＝DC，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴点E为BC的中点，∵BC＝2，∴BE＝1，∵AB＝AC＝

，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝

＝2，∵AE⊥BC，DM⊥AE，DN⊥BC，∴四边形DMEN为矩形，∵∠AMD＝∠CND，∠ADC＝∠MDN＝90°，又∵∠ADC＝∠ADM＋∠CDM，∠MDN＝∠CDM＋∠CDN，∴∠ADM＝∠CDN，第5题解图①第5题解图①∵AD＝CD，∴△ADM≌△CDN(AAS)，∴DM＝DN，∴四边形DMEN为正方形，∴DN＝DM＝NE.设DN＝x，则NC＝x＋1＝AM，∴AE＝AM＋ME＝x＋1＋x＝2x＋1，∵AE＝2，∴2x＋1＝2，∴x＝

，∴BN＝BE－NE＝

，在Rt△DBN中，BD＝

；

解题关键点需分两种情况讨论：①点D的位置在△ABC

内部；②点D的位置在△ABC

外部．6.(2023河南定心卷)综合与实践莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片ABC，如图，AB＝AC＝5，BC＝6.为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕AE，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕DF，再展开后连接CD，交折痕AE于点O，则点O就是△ABC的重心．第6题图①②当点D在△ABC外部时，如解图②，同理可得△ADM≌△CDN，四边形DMEN为正方形，设DN＝x，则CN＝x－1＝AM，∴AE＝x－1＋x＝2，∴x＝

，∴BN＝BE＋EN＝1＋

＝

，在Rt△BND中，BD＝

，综上所述，BD的长为

或

.第5题解图②(3)BD的长为

或

.(1)连接AF，则AF与BF的数量关系是：________；第6题图(2)请帮助莹莹求出△AOC的面积；AF＝BF(2)如图，连接BO并延长交AC于点G，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BE＝CE＝3，∵AE⊥BC，∴AE＝4，∴S△ABC＝6×4×＝12，∵点D，E，G分别为AB，BC，AC的中点，∴AD＝BD，AG＝CG，CE＝BE，∴S△ABE＝S△ACE，S△BOE＝S△COE，∴S△AOB＝S△AOC，G∵点D，G分别为AB，AC的中点，∴S△ADO＝S△BDO，S△AGO＝S△CGO，∴S△ADO＝S△AGO，同理可得S△ADO＝S△BDO＝S△BOE＝S△COE＝