2024河南中考数学专题复习第三部分 题型二 微专题16 与旋转有关的分类讨论 课件

微专题16与旋转有关的分类讨论

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值背景旋转方式结合知识点设问类型202315填空题3等腰直角三角形旋转线段勾股定理求线段长旋转产生特殊角202223解答题11正方形逆时针旋转线段相似(1)判断三角形形状，求线段比值；(2)改变条件后证明(1)中的结论；(3)平行四边形存在时求线段比值旋转产生平行四边形考情分析年份题号题型分值背景旋转方式结合知识点设问类型202122解答题10等腰三角形和直角三角形三角形绕顶点旋转全等，相似，勾股定理(1)等腰三角形时求线段比值和角的度数；(2)直角三角形时求线段比值和角的度数；(3)两点重合时求线段长/202022解答题10直角三角形三角形绕顶点顺时针旋转勾股定理，相似(1)(2)不同角度求线段比值；(3)三点共线时求线段长旋转产生三点共线情形1旋转产生三点共线1.已知线段AB和线段BC，BC绕点B旋转，当点A，B，C三点共线时，分点C分别在点B的左侧和右侧两种情况讨论．方法解读一阶

方法训练2.如图，已知线段AB和△BCD，△BCD绕点B旋转，当点A，C，D三点共线时，分点C在线段AD上与点D在线段AC上两种情况讨论．1.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，以BC为边在BC右侧作等边△BCD，将等边△BCD绕点B旋转．(1)当A，B，D三点共线时，求AD的长；第1题图解：(1)分两种情况讨论：Ⅰ：如解图①，

当点B在线段AD上时，∵△BCD为等边三角形，BC＝2，∴BD＝BC＝2，∴AD＝AB＋BD＝6；第1题解图Ⅱ：如解图②，当点D在线段AB上时，同理可得：AD＝AB－BD＝2，综上所述，当A，B，D三点共线时，AD的长为6或2；第1题解图(2)当A，C，D三点共线时，求AD的长．

当点C在线段AD上时，过点B作BE⊥AD交AD于点E，则∠BED＝90°，∵△BCD为等边三角形，BD＝BC＝2，∴BE＝BD·sin60°＝

，ED＝BD·cos60°＝1，在Rt△ABE中，AE＝

＝

，∴AD＝AE＋ED＝

；第1题解图③(2)分两种情况讨论：Ⅰ：如解图③，第1题图Ⅱ：如解图④，当点D在线段AC上时，过点B作BF⊥AC交AC于点F，则∠BFD＝90°，同理可得：AD＝AF－FD＝

；综上所述，当A，C，D三点共线时，AD的长为

或

.第1题解图④与旋转有关的分类讨论情形2旋转产生特殊角(90°，60°，45°)1.如图，已知线段AB和线段BC，BC绕点B旋转，当∠ABC＝90°(或60°或45°)时，分点C在线段AB上方与点C在线段AB下方两种情况讨论．方法解读2.如图，已知线段AB和线段BC，BC绕点B旋转，连接AC，当∠ACB＝90°(或60°或45°)时，分当点C在线段AB上方与点C在线段AB下方两种情况讨论．2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，E为BC的中点，F为线段EC上一点，且EF＝3，将EF绕点E旋转，连接DF.(1)若∠CEF＝90°，求DF的长；第2题图第2题解图①解：(1)分两种情况讨论：Ⅰ：如解图①，当点F在BC上方时，过点F作FG⊥CD交CD于点G，则四边形FECG为矩形，∵E为BC中点，BC＝10，∴EC＝5，FG＝EC＝5，∴CG＝EF＝3，∵DC＝AB＝4，∴GD＝1，在Rt△FDG中，根据勾股定理得DF＝

＝

＝

；Ⅱ：如解图②，当点F在BC下方时，过点F作FH⊥AD交AD于点H，则HE＝DC＝4，同理可得：HF＝7，HD＝5，在Rt△FDH中，根据勾股定理得DF＝

＝

＝

，综上所述，当∠CEF＝90°时，DF长为

或

；第2题解图②(2)若∠CFE＝90°，求DF的长；(2)分两种情况讨论：Ⅰ：如解图③，

当点F在BC上方时，过点F分别作FM⊥BC于点M，FN⊥CD于点N，则四边形FMCN为矩形，∵E为BC中点，BC＝10，∴EC＝5，∵EF＝3，∠EFC＝90°，∴在Rt△ECF中，根据勾股定理得，FC＝

＝

＝4，第2题解图③第2题图∵∠FME＝∠EFC，∠FEC＝∠MEF，∴△EFM∽△ECF，∴

，即

，∴FM＝

，EM＝

，∴DN＝

，FN＝

，在Rt△FDN中，根据勾股定理得，DF＝

＝

；第2题解图③Ⅱ：如解图④，当点F在BC下方时，过点F分别作FP⊥BC于点P，FQ⊥DC交DC的延长线于点Q，则四边形FPCQ为矩形，同理可得：DQ＝

，FQ＝

，在Rt△FDQ中，根据勾股定理得，DF＝

＝

.综上所述，当∠CFE＝90°时，DF的长为

或

；第2题解图④(3)连接BD，当直线EF⊥BD于点M时，求FM的长．(3)分两种情况讨论：Ⅰ：如解图⑤，

当线段EF⊥BD于点M时，以点E为圆心，EF为半径作⊙E，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∵AB＝4，BC＝10，∴BD＝

，∵E为BC中点，∴BE＝5，第2题解图⑤第2题图∵∠EBM＝∠DBC，∠EMB＝∠DCB，∴△BEM∽△BDC，∴

，即

，解得ME＝

，∴FM＝3－

；第2题解图⑤Ⅱ：如解图⑥，当线段FE的延长线垂直BD于点M时，同理可得：ME＝

，∴FM＝3＋

.综上所述，当直线EF⊥BD时，FM的长为3－

或3＋

.第2题解图⑥与旋转有关的分类讨论情形3旋转产生线段平行如图，已知线段AB和△BCD，△BCD绕点B旋转，当CD∥AB时，分CD在线段AB上方与CD在线段AB下方两种情况讨论．方法解读解：分情况讨论：Ⅰ：如解图①，当DE在线段BC上方时，过点D作DM⊥BC于点M，∵AB＝AC＝4，D为AC中点，∴CD＝2，∵△CDE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，∵DE∥BC，∴∠DCB＝∠CDE＝45°，∴CM＝DM＝

，第3题解图①3.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝

，D为AC中点，连接BD，以C为直角顶点，CD为边在CD右侧作等腰Rt△CDE，将等腰Rt△CDE绕点C旋转．当DE∥BC时，求BD的长．第3题图∵BC＝

，∴BM＝

，在Rt△BMD中，根据勾股定理得，BD＝

＝

＝

；第3题解图①Ⅱ：如解图②，当DE在线段BC下方时，过点D作DN⊥BC交BC的延长线于点N，同理可得：DN＝

，BN＝

，在Rt△BDN中，根据勾股定理得，BD＝

＝

＝

，综上所述，当DE∥BC时，BD的长为

或

.第3题解图②与旋转有关的分类讨论情形4旋转产生平行四边形如图，已知定长线段AB和△BCD(大小不定)，将△BCD绕点B旋转，当以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，分四边形ACBD为平行四边形与四边形ABCD为平行四边形与四边形ABDC为平行四边形三种情况讨论．方法解读4.如图，在Rt△ABC中，BC＝4，D为BC上一点，以BD为边作等边△BDE，将△BDE绕点B旋转．当以B，C，D，E四点为顶点的四边形为平行四边形时，求BD的长．第4题图解：分三种情况：Ⅰ：当DE与BC互相垂直平分时，如解图①，四边形BECD为平行四边形，设DE与BC相交于点O，∵DE与BC互相垂直平分，∴BO＝CO＝2，EO＝DO，∵△BED为等边三角形，∴∠DBO＝30°，∴BD＝

＝

；第4题解图①Ⅱ：当DE∥BC，且DE＝BC时，如解图②，则四边形BCDE为平行四边形，∵△BED为等边三角形，∴BD＝DE＝BC＝4；Ⅲ：当DE∥BC，且DE＝BC时，如解图③，则四边形BDEC为平行四边形，∵△BED为等边三角形，∴BD＝DE＝BC＝4，综上所述，当以B，C，D，E四点为顶点的四边形为平行四边形时，BD的长为

或4.图③第4题解图与旋转有关的分类讨论与旋转有关的分类讨论二阶

综合应用1.如图，在等边△AOB中，C，D分别是边AO，BO上一点，连接CD，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，将△COD绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，当A，C，D三点共线时，

的值为______________．第1题图

或

解题关键点需分点D在线段AC上与点C在线段AD上两种情况讨论．2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，∠DAB＝60°，点E为AD的中点，在AC上取一点F使得AF＝EF，将△AEF绕点E旋转得到△A′EF′，点A，F的对应点分别为A′，F′，当∠FEF′＝60°时，A′F的长为________．第2题图2或4

3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，AD＝2，点M为线段AD上一点(不与A，D重合)，在线段BD上取点N，使DM＝DN，连接AN，CM.将△DMN绕点D旋转，当以A，D，M，N四点为顶点的四边形为平行四边形时，求BN的长．

∵四边形AMDN是平行四边形，∠BAC＝90°，DM＝DN，∴四边形ANDM是正方形，∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，AD＝2，∴AB＝

，∴BN＝AN＝

＝

；解：如解图①，第3题解图①第3题图如解图②，∵AD＝2，∴AB＝AC＝

，∵四边形ADMN是平行四边形，AD＝2，△DMN是等腰直角三角形，∴△ADN为等腰直角三角形，∴AN＝DN＝DM＝

＝

，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理得，BN＝

；第3题解图②如解图③，同理可知四边形BMDN是正方形，∴BN＝DM＝

．综上所述，BN的长为

或

.第3题解图③4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝90°，点E为平面内一点，EB＝3，将线段EB绕点E顺时针旋转90°得EF，连接FC，点D为FC的中点，当EF∥AC时，请求出AD的长．解：根据题意，分两种情况：①E在线段AB上；②E在线段AB延长线上；①延长AD到点G，使DG＝AD，连接AF，CG，FG，如解