2024河南中考数学专题复习第六章 第一节 圆的基本性质 课件

圆基本性质与圆有关的位置关系与圆有关的计算圆的有关概念及性质圆周角定理及其推论垂径定理及其推论弦、弧、圆心角的关系三角形的外接圆点与圆的位置关系直线与圆的位置关系切线的性质与判定切线长定理圆内接四边形正多边形和圆与扇形有关的计算与圆锥有关的计算阴影部分图形面积计算三角形的内切圆圆锥的侧面展开图是扇形尺规作图一题串讲重难点2河南9年真题子母题31考点精讲第一节圆的基本性质正多边形和圆与圆有关的概念圆周角定理及其推论与圆有关的性质※垂径定理及其推论弦、弧、圆心角的关系圆的基本性质三角形的外接圆圆内接四边形的性质对称性旋转不变性定理推论定理推论定理推论定义圆心O性质角度关系外角周长中心角边心距内角面积圆周角、圆心角弦优弧、劣弧等弧考点精讲与圆有关的概念(图①)如图①，点A，B，C，D均在⊙O上，线段AB经过圆心O，且点D为弧AB的中点，连接AC，OC，OD.(任填一个符合要求的答案)(1)图中________是圆周角，________________________________________是圆心角(写出小于180°的角即可)；(2)图中__________是弦，其中________是最长的弦；(3)图中____________________________________是优弧，____________________________________________是劣弧；(4)图中

和________，

和________，

和

是等弧.图①∠BAC∠AOC(或∠BOC或∠AOD或∠BOD或∠COD)AC(或AB)AB

(或或

或或

)

(或

或或

或

)与圆有关的性质对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，________是它的对称中心旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合弦、弧、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______，所对的弦也______推论1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角________，所对的弦________2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角________，所对的优弧与劣弧分别________【满分技法】在同圆或等圆中，若

＝2

，则

所对的圆心角(或圆周角)等于

所对的圆心角(或圆周角)的2倍，但弦AB≠2CD圆心相等相等相等相等相等相等圆周角定理及其推论(图②)定理：______________________________________________，即∠BAC＝

∠BOC推论1.___________________________，即∠BAC＝∠BDC2.半圆(或直径)所对的圆周角是____________，90°的圆周角,所对的弦是________图②【满分技法】

1.一条弦对着两条弧，这两条弧所对的圆周角互补；2.一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半同弧或等弧所对的圆周角相等直角(或90°)直径※垂径定理及其推论(图③)定理：垂直于弦的直径________弦，并且________弦所对的弧(2022版课标将探索并证明垂径定理调整为考查内容)推论：平分弦(不是直径)的直径________于弦，并且________弦所对的弧【满分技法】根据圆的对称性，如图③所示，在以下五个结论中：(1)

＝____；(2)____＝

；(3)AE＝____；(4)AB⊥CD；(5)CD是直径，只要满足其中的两个结论，另外三个结论一定成立，即“知二推三”，若由(3)(5)推其他3个结论应满足AB不是直径图③平分平分垂直平分BE三角形的外接圆(图④)定义：经过三角形三个顶点的圆圆心O：外心(三角形外接圆圆心或三角形三条边的___________的交点)性质：三角形的外心到三角形的_________的距离相等角度关系：∠BOC＝2∠A，∠BOC＝360°－2∠A′图④垂直平分线三个顶点图⑤圆内接四边形的性质(图⑤)1.圆内接四边形的对角_______，即∠B＋∠D＝_______2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即∠DCE＝_______互补180°∠BAD正多边形和圆名称公式图例内角正n边形的每个内角为＝180°－R：半径r：边心距a：边长θ：中心角外角正n边形的每个外角为中心角正n边形的每个中心角θ为_______边心距正n边形的边心距r＝周长正n边形的周长l＝na面积正n边形的面积S＝_______rl(l为正n边形的周长)一题串讲重难点基础知识巩固例1如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，点D是

上一点(在点A异侧)，连接AD，BD，AO，AD与BC交于点E，已知AB＝3.例1题图(1)∠BAC＝________°；(2)若∠AOC＝110°，则∠ABC＝________°，∠ACB＝______°，∠D＝______°；(3)若AD⊥BC，AD＝4，则BE＝________；90553535(4)若AD平分∠BAC，AC＝2AB.①求证：△BCD是等腰直角三角形；例1题图①证明：如图，连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BCD＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形；②求BD的长．②解：∵AB＝3，AC＝2AB，∴AC＝6，由勾股定理得BC＝＝3，∴BD＝

BC＝

.例1题图

解题有策略与圆有关的计算解题方法(9年4考)第一步：先结合圆中的知识，在图中标注出相等的线段、存在倍数关系的线段、相等的角、2倍角、互补的角等；运用的知识点有：圆的基本性质，弦、弧、圆心角的关系，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形性质等；第二步：去圆(擦掉圆)，解剩余的几何图形．重难考法突破与圆周角、圆心角有关的计算(9年4考)例2如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠A的平分线与⊙O交于点D，AC＝.(1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作∠A的平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹)解：(1)如解图①，AD即为所求；例2题解图①例2题图(2)连接OD，当∠ODA＝30°时，求⊙O的半径；(2)如图，连接OD，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴∠BAC＝60°，∵BA是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，在Rt△BAC中，∠B＝30°，AC＝，∴BA＝2AC＝2，∴⊙O的半径为

；例2题解图①(3)在(2)的条件下，OD交BC于点E，求DE的长度；(3)如图，连接OC，OD交BC于点E，由(2)得BO＝DO＝，∠B＝30°，∴∠OCB＝∠B＝30°，又∵∠BOD＝∠OAD＋∠ODA＝60°，∴∠OEB＝90°，∴E为BC的中点，∴OD⊥BC，在Rt△OBE中，OE＝OB·sinB＝

，∴DE＝DO－OE＝

；例2题解图①E(4)连接OD，CD，当四边形ACDO是菱形时，求∠ODA的度数．(4)连接OD，CD，如图，连接OC，∵四边形ACDO是菱形，∴DC＝DO，OC⊥AD.∵OC＝OD，∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝∠COD＝60°，∴∠ODA＝90°－60°＝30°.例2题解图①拓展探索探究：直径所对的角例3已知AB是⊙O的直径，点C为直线AB外一点，连接AC，BC.例3题图(1)如图①，当点C在⊙O上时，∠C为直角，依据是____________________________；(2)如图②，当点C在⊙O内时，请证明：∠C是钝角；直径所对的圆周角是直角(2)证明：如图，延长AC交⊙O于点D，连接BD，D∵AB为⊙O的直径，∴∠D＝90°，∴∠DCB为锐角，∠ACB＝180°－∠DCB，∴∠ACB为钝角；例3题图D(3)如图③，当点C在⊙O外时，请证明：∠C是锐角．例3题图(3)证明：如图，设⊙O与BC交于点D，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝180°－∠CAD－∠ADC，∴∠C为锐角．D

新考法拓展1.(2023江西14题)如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).(1)在图①中作锐角△ABC，使点C在格点上；(2)在图②中的线段AB上作点Q，使PQ最短．

新考法拓展解：(1)如解图①，△ABC即为所求作(答案不唯一，作出其中一个即可)；(2)如解图②，点Q即为所求作．河南9年真题子母题与圆周角、圆心角有关的计算9年4考命题点1.(2023河南6题3分)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为(

)第1题图A.95°B.100°C.105°D.110°D回归教材1.1变设问——将求角度变为证明圆周角定理如图，点A，B，C在⊙O上，求证：∠C＝

∠AOB.子题1.1图证明：如图，连接CO并延长交⊙O于点D，∵OC＝OB＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC.∵∠OCA＋∠OAC＝∠DOA，∠OCB＋∠OBC＝∠BOD，∴∠AOB＝∠DOA＋∠BOD＝2∠OCA＋2∠OCB＝2∠BCA，∴∠BCA＝

∠AOB.D2.(2021河南17题改编)如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是

上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G.(1)求证：△ADF≌△BDG；第2题图(1)证明：∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，∵AB为半圆O的直径，∴∠ADF＝∠BDG＝90°，∴∠DBA＝∠DAB＝45°，∴AD＝BD.(3分)∵∠DAF和∠DBG都是

所对的圆周角，∴∠DAF＝∠DBG，∴△ADF≌△BDG(ASA)；(5分)(2)若AB＝4，且点E是

的中点，求DF的长；第2题图(2)解：∵点E是

的中点，∴∠DAE＝∠BAE，∵AB是半圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEG＝90°，又∵AE＝AE，∴△AEB≌△AEG，∴AG＝AB＝4，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，AB是半圆O的直径，∠DAB＝45°，∴AD＝AB·cos45°＝2，∴DG＝AG－AD＝4－2，由(1)知DF＝DG，∴DF＝4－2；(7分)(3)取

的中点H，当四边形OBEH为菱形时，求∠EAB的度数．第2题图(3)解：∵四边形OBEH是菱形，∴BE＝OB，∵OE＝OB，∴△OEB为等边三角形，∴∠EOB＝60°，∴∠EAB＝30°.(9分)3.(2022河南18题改编)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E