2024-2025学年高一数学(人教A版2019必修第一册)4.3.2对数的运算(分层作业)(原卷版+解析)

4.3.2对数的运算（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．(2023·全国·高一单元测试）计算：（

）A．10 B．1 C．2 D．2．(2023·全国·高一课时练习）若，则实数的值为（

）A．4 B．6 C．9 D．12二、多选题3．(2023·全国·高一单元测试）若，，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题4．(2023·广西贺州·高一期末）___．5．(2023·云南红河·高一期末）方程的解是_________．6．(2023·湖南·高一课时练习）计算：________.7．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）计算：____________.8．(2023·全国·高一课时练习），则___________.四、解答题9．(2023·湖南·高一课时练习）利用换底公式求值：(1)；(2)．10．(2023·全国·高一课时练习）求证:.11．(2023·全国·高一课时练习）求证:.12．(2023·全国·高一单元测试）计算(1)(2).13．(2023·全国·高一课时练习）已知，（，且）．(1)求的值；(2)若，，且，求的值．14．(2023·全国·高一课时练习）计算：(1)；(2)；(3)．15．(2023·全国·高一课时练习）已知，，若，求的值.【能力提升】一、单选题1．(2023·江苏·宿迁中学高一期中）空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而中国象棋空间复杂度的上限约为（参考数据：，则下列各数中与最接近的是（

）A． B． C． D．二、多选题2．(2023·江苏省如皋中学高一阶段练习）已知，，则的值不可能是（

）A． B． C． D．三、填空题3．(2023·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）若，则的最小值为________．4．(2023·全国·高一单元测试）化简____________5．(2023·全国·高一课时练习）已知，，则的值为________．6．(2023·全国·高一单元测试）已知二次函数的最小值为，则实数______，的值为______．7．(2023·全国·高一课时练习）心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）______．8．(2023·上海·高一单元测试）已知，若，则___________.9．(2023·全国·高一专题练习）设实数且，已知函数，则__________．四、解答题10．(2023·全国·高一专题练习）计算(1)(2)11．(2023·全国·高一专题练习）解下列不等式：(1)；(2)；12．(2023·全国·高一课时练习）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．(1)对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；(2)计算的值；(3)因为，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫作位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数．（注：）4.3.2对数的运算（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．(2023·全国·高一单元测试）计算：（

）A．10 B．1 C．2 D．答案：B分析：应用对数的运算性质求值即可.【详解】.故选：B2．(2023·全国·高一课时练习）若，则实数的值为（

）A．4 B．6 C．9 D．12答案：A分析：由换底公式对原式变型即可求解.【详解】∵,∴，∴．故选：A．二、多选题3．(2023·全国·高一单元测试）若，，且，则（

）A． B．C． D．答案：AB分析：根据对数运算求得正确答案.【详解】依题意，由，得，所以，且，即，．故选：AB三、填空题4．(2023·广西贺州·高一期末）___．答案：分析：根据对数的运算法则计算可得；【详解】解：；故答案为：5．(2023·云南红河·高一期末）方程的解是_________．答案：分析：根据对数的运算法则和运算性质，即可求解.【详解】由对数的运算性质，可得，可得，解得．故答案为：.6．(2023·湖南·高一课时练习）计算：________.答案：分析：利用换底公式化简可得结果.【详解】原式.故答案为：.7．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）计算：____________.答案：1分析：利用对数运算法则及换底公式运算即可【详解】，故答案为：18．(2023·全国·高一课时练习），则___________.答案：分析：利用对数的性质，及指数式与对数式的互化求出x即可计算作答.【详解】因，则，即，解得，所以.故答案为：四、解答题9．(2023·湖南·高一课时练习）利用换底公式求值：(1)；(2)．答案：(1)；(2).分析：应用换底公式，将（1）换为，（2）换为的形式，即可求值.(1)由.(2)由.10．(2023·全国·高一课时练习）求证:.答案：见解析【解析】利用换底公式，证得等式成立.【详解】∵左边,右边,∴左边=右边,得证.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查推理论证能力，属于基础题.11．(2023·全国·高一课时练习）求证:.答案：见解析【解析】利用换底公式，证得等式成立.【详解】左边右边,得证.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查推理论证能力，属于基础题.12．(2023·全国·高一单元测试）计算(1)(2).答案：(1)(2)分析：（1）根据对数的运算性质求解，（2）根据对数的运算性质和换底公式求解.（1）；（2）原式＝.13．(2023·全国·高一课时练习）已知，（，且）．(1)求的值；(2)若，，且，求的值．答案：(1)12(2)分析：（1）根据指数与对数的关系将对数式化为指数式，再根据指数的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算求出，再根据乘法公式求出，即可得解.（1）解：由，得，，因此．（2）解：∵，∴，即，因此，于是，由知，从而，∴．14．(2023·全国·高一课时练习）计算：(1)；(2)；(3)．答案：(1)0(2)3(3)1分析：（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可；（2）提公因式，逐步化简即可求解；（3）逐步将原式化成只含和形式.（1）方法一：（直接运算）原式．方法二：（拆项后运算）原式．（2）原式．（3）原式．15．(2023·全国·高一课时练习）已知，，若，求的值.答案：分析：根据对数式与指数式互化公式得到，解方程求出答案.【详解】设，，，则，，，∴，整理得，又，，∴.故答案为：【能力提升】一、单选题1．(2023·江苏·宿迁中学高一期中）空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而中国象棋空间复杂度的上限约为（参考数据：，则下列各数中与最接近的是（

）A． B． C． D．答案：B分析：根据指数式与对数式的互化以及对数的运算法则即可求出结果．【详解】，，，，，．故选：B二、多选题2．(2023·江苏省如皋中学高一阶段练习）已知，，则的值不可能是（

）A． B． C． D．答案：ABD分析：利用对数运算的公式计算即可.【详解】由换底公式得：，，，其中，，故故选：ABD.三、填空题3．(2023·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）若，则的最小值为________．答案：16分析：由题得，再利用基本不等式求解.【详解】因为，所以.所以所以.当且仅当时取等.故答案为：164．(2023·全国·高一单元测试）化简____________答案：2分析：结合、换底公式化简计算即可【详解】原式.故答案为：2.5．(2023·全国·高一课时练习）已知，，则的值为________．答案：2022分析：化简计算得，即得解.【详解】解：..所以故答案为：20226．(2023·全国·高一单元测试）已知二次函数的最小值为，则实数______，的值为______．答案：

分析：对于题空①，根据开口向上的二次函数，自变量取对称轴对应的值达到最小值，解得的值；对于题空②，把的值代入表达式，根据对数的运算，化简求值即可.【详解】因为的最小值为3，所以，，即，所以，解得或（舍去），所以，故．故答案为：①；②.7．(2023·全国·高一课时练习）心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）______．答案：0.021分析：该生在5min内能够记忆20个单词，将，带入即可得出结论.【详解】由题意可知，所以，，所以，解得．故答案为：0.021.8．(2023·上海·高一单元测试）已知，若，则___________.答案：8分析：利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．【详解】解：由，且所以是方程的两根，解得或，又，所以，即，又从而，且，则，．所以.故答案为：8.9．(2023·全国·高一专题练习）设实数且，已知函数，则__________．答案：1分析：根据题意计算，进而根据求解即可【详解】，而，则；故答案为：1四、解答题10．(2023·全国·高一专题练习）计算(1)(2)答案：(1)(2)1分析：（1）根据对数的运算法则化简，即可求得答案;（2）根据对数的运算法则结合完全平方公式化简，即可求得答案;（1）;（2）.11．(2023·全国·高一专题练习）解下列不等式：(1)；(2)；答案：(1)(2)分析：（1）、（2）结合对数函数的定义与性质、对数运算求得不等式的解集.（1）由题且，且，得且，，则，由，，化简得，则或，解得或，故不等式解集为.（2）由题，则或，解得.故不等式解集为.12．(2023·全国·高一课时练习）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．(1)对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；(2)计算的值；(3)因为，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫作位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数．（注：）答案：(1)答案见解析(2)(3)位数为6689．分析：(1)根据指数与对数之间