高考数学微专题集专题12定比点差法及其应用微点5定比点差法综合训练(原卷版+解析)

专题12定比点差法及其应用微点5定比点差法综合训练专题12定比点差法及其应用微点5定比点差法综合训练一、选择题(2023平顶山期末）1．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（

）A． B． C． D．，或（2023春•新余期末）2．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是（

）A． B． C． D．（2023春•桃城区校级月考）3．已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．二、填空题(2023福田区校级期中）4．已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是__．(2023浙江）5．已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．(2023慈溪市校级期中）6．设、分别为椭圆的左、右焦点，点A、在椭圆上，若，则点A的坐标是__．(2023长宁区二模）7．设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且不是椭圆的顶点．若，且，则实数的值为_____．（2023春•郫都区校级期中）8．过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为______________．(2023惠农区校级月考）9．已知椭圆，过点P（1，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB中点，则直线l斜率是______________(2023金山区校级期末）10．已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于两点，若弦恰好以点为中点，则直线的方程为__________.（写成一般式）三、解答题(2023都匀市校级期末）11．已知双曲线，过点能否作一条直线，与双曲线交于A、两点，且点是的中点？(2023如皋市校级开学）12．如图，已知椭圆上两个不同的点,关于直线对称，求实数的取值范围．(2023丹东期末）13．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，．(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列．(2023浙江月考）14．如图，已知椭圆，且满足，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点.（1）若点，求椭圆及抛物线的方程；（2）若椭圆的离心率为，点的纵坐标记为，若存在直线，使为线段的中点，求的最大值.(2023浙江）15．如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．(2023万州区模拟）16．如图所示，离心率为的椭圆上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点，和，，且满足，，其中为常数，过点作的平行线交椭圆于，两点．(1)求椭圆的方程；(2)若点，求直线的方程，并证明点平分线段．(2023绍兴校级期末）17．设椭圆过点，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹与无关．(2023·山东日照·三模）18．已知椭圆过点离心率，左、右焦点分别为，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．(1)若，求直线的方程；(2)延长分别交椭圆C于点M，N，设，求的最小值．19．已知椭圆C：（）的离心率为，过右焦点且垂直于长轴的直线与椭圆C交于P，Q两点，且.（1）求椭圆C的方程；（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（以O为坐标原点），M是的中点，连接并延长交椭圆C于点N，求的值.(2023·安徽淮南·二模）20．已知椭圆经过点，左焦点为F，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点作直线l交椭圆C于A、B两点，过点F且垂直于x轴的直线交直线l于点E，记，求证：．(2023全国·高三专题练习）21．设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为.（1）求抛物线的方程；（2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上.(2023·浙江·模拟预测）22．已知抛物线：经过点，焦点为F，PF=2，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．(1)求抛物线C的方程(2)求直线的斜率的取值范围；(3)设为原点，，，求证：为定值．(2023吉林·长春十一高高二期中）23．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点．过点的直线与抛物线交于，两点．（1）若直线与圆：相切，求直线的方程；（2）若直线与轴的交点为．且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．(2023云南·模拟预测）24．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的动直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆于、，且，，当的面积最大时，为等边三角形．（1）求椭圆的离心率；（2）若，直线与椭圆是否有公共点？若有，有多少个公共点？若没有，请说明理由．(2023·四川·射洪中学高二期中）25．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：，F是椭圆的右焦点且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中并作答：注：如果选择多个条件作答，按第一个计分．条件①：椭圆C的离心率，焦点到相应准线的距离是3．条件②：椭圆C与圆M：外切，又与圆N：外切．(1)求椭圆C的方程．(2)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，E两点，证明：直线DE过定点．专题12定比点差法及其应用微点5定比点差法综合训练专题12定比点差法及其应用微点5定比点差法综合训练一、选择题(2023平顶山期末）1．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（

）A． B． C． D．，或（2023春•新余期末）2．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是（

）A． B． C． D．（2023春•桃城区校级月考）3．已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．二、填空题(2023福田区校级期中）4．已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是__．(2023浙江）5．已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．(2023慈溪市校级期中）6．设、分别为椭圆的左、右焦点，点A、在椭圆上，若，则点A的坐标是__．(2023长宁区二模）7．设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且不是椭圆的顶点．若，且，则实数的值为_____．（2023春•郫都区校级期中）8．过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为______________．(2023惠农区校级月考）9．已知椭圆，过点P（1，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB中点，则直线l斜率是______________(2023金山区校级期末）10．已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于两点，若弦恰好以点为中点，则直线的方程为__________.（写成一般式）三、解答题(2023都匀市校级期末）11．已知双曲线，过点能否作一条直线，与双曲线交于A、两点，且点是的中点？(2023如皋市校级开学）12．如图，已知椭圆上两个不同的点,关于直线对称，求实数的取值范围．(2023丹东期末）13．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，．(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列．(2023浙江月考）14．如图，已知椭圆，且满足，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点.（1）若点，求椭圆及抛物线的方程；（2）若椭圆的离心率为，点的纵坐标记为，若存在直线，使为线段的中点，求的最大值.(2023浙江）15．如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．(2023万州区模拟）16．如图所示，离心率为的椭圆上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点，和，，且满足，，其中为常数，过点作的平行线交椭圆于，两点．(1)求椭圆的方程；(2)若点，求直线的方程，并证明点平分线段．(2023绍兴校级期末）17．设椭圆过点，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹与无关．(2023·山东日照·三模）18．已知椭圆过点离心率，左、右焦点分别为，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．(1)若，求直线的方程；(2)延长分别交椭圆C于点M，N，设，求的最小值．19．已知椭圆C：（）的离心率为，过右焦点且垂直于长轴的直线与椭圆C交于P，Q两点，且.（1）求椭圆C的方程；（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（以O为坐标原点），M是的中点，连接并延长交椭圆C于点N，求的值.(2023·安徽淮南·二模）20．已知椭圆经过点，左焦点为F，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点作直线l交椭圆C于A、B两点，过点F且垂直于x轴的直线交直线l于点E，记，求证：．(2023全国·高三专题练习）21．设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为.（1）求抛物线的方程；（2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上.(2023·浙江·模拟预测）22．已知抛物线：经过点，焦点为F，PF=2，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．(1)求抛物线C的方程(2)求直线的斜率的取值范围；(3)设为原点，，，求证：为定值．(2023吉林·长春十一高高二期中）23．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点．过点的直线与抛物线交于，两点．（1）若直线与圆：相切，求直线的方程；（2）若直线与轴的交点为．且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．(2023云南·模拟预测）24．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的动直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆于、，且，，当的面积最大时，为等边三角形．（1）求椭圆的离心率；（2）若，直线与椭圆是否有公共点？若有，有多少个公共点？若没有，请说明理由．(2023·四川·射洪中学高二期中）25．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：，F是椭圆的右焦点且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中并作答：注：如果选择多个条件作答，按第一个计分．条件①：椭圆C的离心率，焦点到相应准线的距离是3．条件②：椭圆C与圆M：外切，又与圆N：外切．(1)求椭圆C的方程．(2)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，E两点，证明：直线DE过定点．参考答案：1．A【解析】先设，，再由点差法求出，再由点，在椭圆内，求出的范围即可得解.【详解】解：设，，又点，在椭圆上，则，，两式相减可得：，又，则，又点，在椭圆内，则，则，所以，故选：A.【点睛】本题考查了椭圆中的中点弦问题，重点考查了点差法，属基础题.2．C【解析】设出的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解.【详解】设，则，则，，两式相减得，所以，即直线斜率是.故选：C【点睛】方法点睛：一般涉及到弦的中点和弦所在直线的斜率时，使用点差法解决.3．A分析：设出四点的坐标，将两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将两点坐标代入椭圆方程并化简，根据化简上述两个式子，由此求得的值，进而求得椭圆离心率.【详解】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题.4．分析：设这组平行直线的方程为，联立方程组结合韦达定理求得中点坐标为，进而求得中点的轨迹方程.【详解】设这组平行直线的方程为，联立方程组，整理得，由可得，则，所以它们与椭圆交点的中点坐标为，即这些点均在轨迹上，即直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是.故答案为：．5．5【详解】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设，由得因为A,B在椭圆上,所以，与对应相减得，当且仅当时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.6．，或，分析：设出，，，后，表达出向量条件，再由点A、在椭圆上可列方程组解决此问题.【详解】椭圆中，，，则左焦点，，右焦点，，设，，，．则，，则有，解得由点，在椭圆上，则有解之得，或故有或即，或，故答案为：，或，7．1分析：由已知向量条件结合椭圆的对称性推出四边形一定为平行四边形，可得，即.【详解】因为，所以，所以，又，且不是椭圆的顶点．根据椭圆的对称性可知，四边形一定为平行四边形，如图：所以，所以，即，故答案为：．【点睛】关键点点睛：根据椭圆的对称性求解是解题关键.8．.分析：先设，，，由且得整理得：，同理分析出：，由于A,B在椭圆上，则可以分析出，则Q点的轨迹是直线，利用点到线得距离求得OQ得最小值【详解】设，，则于是，同理，于是我们可以得到.即，所以Q点的轨迹是直线，即为原点到直线的距离，所以【点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．9．分析：先设点坐标代入椭圆方程，作差得到，再根据中点和斜率公式求得斜率即可.【详解】依题意，设，则，两式作差得，即，而弦AB中点为P（1，1），故，故，又，故，即，所以直线l斜率是.故答案为：.【点睛】思路点睛：对椭圆上两点构成的弦及其中点相关的题型，我们常用“点差法”，其中直线的斜率，中点的坐标M为，点代入椭圆方程作差，就可以得到弦中点与直线斜率的关系式．10．3x+4y-7=0分析：利用弦中点公式求直线斜率,其中（x0,y0）为中点坐标，然后就可以求得直线方程【详解】由弦中点公式：直线斜率，所以直线方程：，整理：3x+4y7=0,故答案为：3x+4y7=0【点睛】根据直线与椭圆所交弦中点坐标，求直线方程.11．不存在分析：讨论直线的斜率是否存在两种情况，当斜率存在时，联立方程利用根与系数的关系结合中点坐标公式求得参数k的值，验证是否符合题意，当直线斜率不存在时，判断是否符合题意，可得答案.【详解】当直线斜率存在时，设过点的直线方程为，联立和，得

（1）,当直线与双曲线相交于两个不同点，则需有，且，故且，又方程（1）的两个不同的根是两交点A、的横坐标，，又为线段的中点，，即，，与且矛盾，即但使，因此当时，方程（1）无实数解，故过点与双曲线交于两点A、且使为线段中点的直线不存在．当直线斜率不存在时，，直线经过点但不满足条件P为AB的中点.综上，符合条件的直线不存在．12．【解析】设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程可得,且,将中点代入直线中,可得,将代入中,进而求得的范围【详解】由题意知,可设直线的方程为,联立,消去,得,因为直线与椭圆有两个不同的交点,所以①所以,设线段中点,所以,,所以为,将点代入直线方程,即,解得②将②代入①得,即,解得或,故实数的取值范围为【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查转化思想和运算能力,利用获得不等关系是解题关键13．(1)证明见解析(2)证明见解析分析：(1)根据“点差法”，即可证明结果；(2)利用已知条件先求出点的横坐标，代入椭圆方程求出点的坐标，进而求出，易知，，再根据等差中项，即可求证，，成等差数列．(1)证明：设，，，，，，两式相减得：，又,，，；(2)证明：．，即，为的右焦点，，设，则，，由（1）及题设得，．又点在上，所以，从而，．于是．同理．所以，故，即成等差数列．14．（1）的方程为：；；（2）.分析：（1）点代入椭圆与联解及抛物线的方程得解；（2）由椭圆的离心率为与联解求得椭圆方程，设，直线的方程为：，与椭圆方程联解及为线段的中点，且点的纵坐标为，得，再利用根与系数关系化简得再分离变量得解.【详解】解：（1）点在抛物线上，代入得，，故抛物线.点在椭圆上，故，又，，故：，，椭圆的方程为：.（2）椭圆的离心率为，故，又，故.又，，故：，，椭圆的方程为：.设，直线的方程为：，联立椭圆方程得：，代入化简得：，，，，由于为线段的中点，且点的纵坐标为，故，得：，，消得：，代入得：，又，所以的最大值为，当，时，取到最大值.【点睛】本题考查圆锥曲线方程及直线与圆锥曲线位置关系求参数最值，属于较难题.15．（Ⅰ）；（Ⅱ）分析：（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得关于的表达式，得到关于的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得的坐标关于的表达式，根据点在椭圆上，得到关于关于的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到．根据判别式大于零，得到不等式，通过解方程组求得，代入求解得到的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点的参数坐标，利用斜率关系求得的坐标关于的表达式．作换元，利用点A在椭圆上，得到，然后利用二次函数的性质求得的最大值【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；（Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法设，由，，由在抛物线上，所以，又，，，.由即，所以，，，所以，的最大值为，此时.[方法二]【最优解】：设直线，.将直线的方程代入椭圆得：，所以点的纵坐标为.将直线的方程代入抛物线得：，所以，解得，因此，由解得，所以当时，取到最大值为.[方法三]：点差和判别式法设，其中．因为所以．整理得，所以．又，所以，整理得．因为存在，所以上述关于的二次方程有解，即判别式．

①由得．因此，将此式代入①式解得．当且仅当点M的坐标为时，p的最大值为．[方法四]：参数法设，由，得．令，则，点A坐标代入椭圆方程中，得．所以，此时M坐标为．16．(1)(2)证明见解析，分析：（1）根据题意可得出，，从而可求椭圆的方程；（2）设出两点的坐标，根据题中条件，，可得出点的坐标，把点的坐标的代入椭圆方程后，两式相减即可得出，从而求出答案；(1)由题意，得，，又，所以解得，，，所以椭圆方程为.(2)设，由，得.因为点在椭圆上，所以，整理，得，又由点在椭圆上，知，所以----①同理，由，得----②②①得：，即，又，故，所以直线的方程为，即．由，得，所以，是的中点，即点平分线段.17．(1)(2)证明见解析分析：（1）根据点在椭圆上和离心率，分别建立方程，然后解出，即可；（2）根据，，，四点共线和点，都在椭圆上建立方程，通过化简后得到关于点的轨迹为，即点的轨迹与无关.(1)由题意解可得：解得：，故椭圆方程为：(2)设点，，，，，由题设．又，，，四点共线，可得：，则有：

（1）（2）由于，，，在椭圆上，将（1），（2）分别代入的方程，整理得：（3）（4）由（4）（3）可得：又，则有：故有：点总在定直线上即点的轨迹与无关18．(1)(2)分析：（1）根据题意求出椭圆方程，设直线的方程为，设直线的方程为，设，由，求得，从而可求得，同理求得，从而可求得，即可得解；（2）设，由，得，代入椭圆的方程，可求得，同理可求得，从而可得出答案.(1)解：由已知过点，得，①由，②由①、②，得，故椭圆C的方程为，若，设直线的方程为，设直线的方程为，设，由，得，解得，故，同理，，，则，，故直线的方程为；(2)解：设，由，得，故，代入椭圆的方程得（3），又由，得，代入（3）式得，，化简得，，即，显然，故，同理可得，故，所以的最小值．19．（1）；（2）分析：（1）将代入椭圆方程，可得，再由，结合，解出，得到椭圆方程.（2）设，，，,则得到，由在椭圆上，将坐标代入椭圆方程，得到关于的方程，从而解出的值，得到答案.【详解】（1）联立，解得，故，又，，联立三式，解得，，.故椭圆C的方程为.（2）设，，，，∵M是的中点，，，.又，，即，∵点在椭圆C上，，即.（*）∵，在椭圆C上，，①②又直线，斜率之积为，，即，③将①②③代入（*）得，解得所以【点睛】本题考查椭圆椭圆方程与集合性质，直线与椭圆的位置关系，利用点在椭圆上进行消元，属于中档题.20．(1)(2)证明见解析分析：（1）待定系数法去求椭圆C的标准方程；（2）设出直线l的方程，与椭圆C的标准方程联立，利用设而不求的方法去证明(1)设点，由题意得解之得．所以椭圆C的标准方程为；(2)设直线l的方程为）（斜率k显然存在），代入，整理得．由，得则，，因为，所以．设，则，由，可得，由，得，所以21．（1）；（2）证明见解析.分析：（1）利用直线的斜率列方程，化简求得，由此求得抛物线方程.（2）设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系.利用向量的坐标运算建立中的关系式，由此求得点所在定直线方程.【详解】（1）由题意，得，则，解得，故抛物线的方程为.（2）证明：设，，，直线的方程为.由得，，.由，，得，，故，化简得.又，故，化简得，即，则或.当点在定直线上时，直线与抛物线只有一个交点，与题意不符.故点在定直线上.【点睛】在解析几何中的向量运算，可用来建立方程，通过化简方程来进行解题.22．(1)(2)(3)证明见解析分析：（1）利用抛物线的定义，直接计算求出，可得答案.（2）根据题意，考虑斜率存在，设直线的方程为，与抛物线联立方程，利用判别式和、要与轴相交，得到的范围.（3）设点，，利用，，得出，进而联立，利用韦达定理进行消参，可证明为定值.（1）抛物线：经过点，PF=1+2解得，故抛物线方程为：（2）由题意，直线的斜率存在且不为，设过点的直线的方程为，设，联立方程组可得，消可得，，且，解得，且，则，，又、要与轴相交，直线