苏科版七年级数学下册满分冲刺卷专题03整式乘法与因式分解(重点)(原卷版+解析)

专题03整式乘法与因式分解（重点）一、单选题1．计算的结果是（

）A． B． C． D．2．下列计算中，正确的是（

）A． B．C． D．3．下列计算错误的是（

）A． B．C． D．4．对于多项式（1）；（2）；（3）；（4）中，能用平方差公式分解的是(

)A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）5．下列从左到右的变形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．6．因式分解：①；②；③；④，含有相同因式的是（

）A．①和② B．①和④ C．②和③ D．③和④7．已知，，则（

）A．24 B．48 C．12 D．28．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（）A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣19．图①是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积不能表示为（）A． B． C． D．10．若满足，则（

）A．0.25 B．0.5 C．1 D．11．分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有()A．一组 B．两组 C．三组 D．四组12．如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为（）．A．6 B．16 C．26 D．46二、填空题13．计算_____．14．___________．15．计算：_______．16．计算______．17．因式分解：________．18．已知是完全平方式，则______．19．多项式因式分解时应提取的公因式为______．20．已知﹐则的值等于__________．21．观察下列各式：，，，…根据上述规律可得：___________．22．若，则代数式的值为___________．三、解答题23．计算：(1)；(2)．24．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．25．计算：(1)；(2)；(3)．26．因式分解：(1)(2)(3)(4)27．把下列各式分解因式：(1)；(2)x（x﹣1）﹣3x+4；(3)；(4)．28．已知，求的值．29．运用整式乘法公式先化简，再求值．其中，a＝－2，b＝1．30．已知化简的结果中不含项和项．(1)求，的值；(2)若是一个完全平方式，求的值．31．已知，求和的值．32．如图1，在一张长方形纸板的四角各切去一个大小相同的正方形，然后将四周折起，制成一个高为的长方体无盖纸盒（如图2）．已知纸盒的体积为，底面长方形的宽为．(1)求原来长方形纸板的长；(2)现要给这个长方体无盖纸盒的外表面贴一层包装纸，一共需要多少平方厘米的包装纸？33．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．例1：如图l，可得等式：；例2：由图2，可得等式：．(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为_______________________；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值．(3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为．设，若的值与无关，求与之间的数量关系．34．阅读材料：若，求的值．解：根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则，．(2)已知，求的值．(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．35．阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：．请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：(1)(2)36．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个完全相同的小长方形，然后用这四块小长方形拼成如图②所示的正方形．(1)观察图②，直接写出，，三者的等量关系式___________；(2)根据（1）的结论解答下列问题：①若，求的值；②如图③，正方形与边长分别为，．若，，求图③中阴影部分的面积和．37．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．(1)探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．(6)类比以上探究，尝试因式分解：=．专题03整式乘法与因式分解（重点）一、单选题1．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据积的乘方运算法则和单项式乘单项式运算法则进行运算，即可获得答案．【解析】解：．故选：A．【点睛】本题主要考查了积的乘方运算和单项式乘单项式运算，熟练掌握和运用相关运算法则是解决本题的关键．2．下列计算中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平方差公式和多项式乘多项式运算法则进行计算，然后逐项进行判断即可．【解析】解：A.，故A错误；B.，故B错误；C.，故C正确；D.，故D错误．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式、平方差公式，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．3．下列计算错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由整式的乘法运算进行计算，然后进行判断，即可得到答案【解析】解：，故A正确；，故B正确；，故C错误；，故D正确；故选：C【点睛】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算4．对于多项式（1）；（2）；（3）；（4）中，能用平方差公式分解的是(

)A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）【答案】C【分析】由于平方差公式必须只有两项，并且是两个数差的形式，利用这个特点即可确定哪几个能用平方差公式分解．【解析】解：平方差公式必须只有两项，并且是两个数平方差的形式，（1）两平方项符号相反，可以利用平方差公式；（2），两平方项符号相同，不能运用平方差公式；（3）4虽然是两项，并且是差的形式，但不是平方差的形式；（4），两平方项符号相反，可以利用平方差公式．所以（1）（4）能用平方差公式分解．故选：C．【点睛】此题考查了平方差公式的特点，只要抓住平方差公式的特点：两平方项，符号相反，熟记公式结构特点是解题的关键．5．下列从左到右的变形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的定义即可求出答案，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．【解析】解：A、右边不是整式的积的形式，是分式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；B、从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；D、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查因式分解的定义，解题的关键正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型．6．因式分解：①；②；③；④，含有相同因式的是（

）A．①和② B．①和④ C．②和③ D．③和④【答案】C【分析】先把每个多项式分解因式，再逐个选项判断即可．【解析】解：①2x2-x=x（2x-1），②x2+4+4x=（x+2）2，③x2+x-2=（x+2）（x-1），④-x2+4x-4=-（x-2）2，即①和②没有相同的因式，①和④没有相同的因式，②和③有相同的因式x+2，③和④没有相同的因式，故选：C．【点睛】本题考查了因式分解，能灵活运用各种方法分解因式是解此题的关键．7．已知，，则（

）A．24 B．48 C．12 D．2【答案】C【分析】根据题中条件，结合完全平方公式，先计算出2ab的值，然后再除以2即可求出答案．【解析】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得2ab+25＝49，则2ab＝24，∴

ab＝12，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是根据题中条件，变换形式即可．8．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（）A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1【答案】C【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【解析】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．故选：C．【点睛】此题考查多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.9．图①是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积不能表示为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得图2正方形的边长为(m+n)，4个小长方形的长为a，宽为b，空白部分的面积为大正方的面积减去4个小长方形的面积，计算即可得出的答案．【解析】解：根据题意可得，图2正方形的边长为(m+n)，空白部分的面积．所以中间空白部分的面积可以表示的选项有：A，B，D．故选：C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景计算方法进行求解是解决本题的关键．10．若满足，则（

）A．0.25 B．0.5 C．1 D．【答案】B【分析】将与看做整体，根据完全平方公式的变形即：，进行简便运算即可．【解析】解：，故选：B．【点睛】本题考查完全平方公式的变形，整体代入思想，能够熟练运用完全平方公式的变形是解决本题的关键．11．分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有()A．一组 B．两组 C．三组 D．四组【答案】D【分析】分别用两种方法表示图形面积，用大长方形的面积等于几个小的长方形或正方形的面积和，逐项分析判断即可求解．【解析】解：图，整体长方形的长为，宽为，因此面积为，整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为、、，所以有：，因此图符合题意；图，整体长方形的长为，宽为，因此面积为，整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为，所以有：，因此图符合题意；图，整体正方形的边长为，因此面积为，整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为，所以有：，因此图符合题意；图，整体正方形的边长为，因此面积为，整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为，因此面积为，较小正方形的边长为，因此面积为，另外两个长方形的长为，宽为，则面积为，所以有，即，因此图4符合题意；综上所述，四组均符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积，完全平方公式与图形面积，数形结合是解题的关键．12．如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为（）．A．6 B．16 C．26 D．46【答案】B【分析】根据正方形面积为，得出正方形边长为，将阴影部分面积根据三角形面积公式表示出来可得，即可求解．【解析】解：∵正方形面积为，∴正方形边长为，设正方形边长为x，则，∴，，∵阴影部分面积为，∴，整理得：，∴，解得：，∴正方形面积为．故选：B．【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积以及用平方差公式求解．．二、填空题13．计算_____．【答案】【分析】根据单项式乘以单项式法则进行运算，即可求解．【解析】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了单项式乘以单项式法则，熟练掌握和运用单项式乘以单项式法则是解决本题的关键．14．___________．【答案】【分析】根据单项式乘多项式法则计算即可．【解析】解：．故答案为．【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式法则，正确运用单项式乘多项式法则成为解答本题的关键．15．计算：_______．【答案】1【分析】将分解成，然后利用完全平方公式分解因式即可．【解析】．【点睛】本题考查了利用因式分解简化运算，掌握完全平方公式是解题的关键．16．计算______．【答案】【分析】原式先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可求出答案．【解析】解：===故答案为：．【点睛】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方以及单项式乘以单项式，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．17．因式分解：________．【答案】【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．【解析】解：原式；故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．18．已知是完全平方式，则______．【答案】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解析】解：∵是完全平方式，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．多项式因式分解时应提取的公因式为______．【答案】【分析】根据公因式取系数最大公约数，相同字母的最低次项相乘即可求解．【解析】解：多项式因式分解时应提取的公因式为，故答案为：．【点睛】本题考查了确定公因式，解题关键是明确公因式的确定方法．20．已知﹐则的值等于__________．【答案】【分析】先将变形为，再根据多项式乘以多项式法则将进行运算并代入求值即可．【解析】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了整式运算及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题关键．21．观察下列各式：，，，…根据上述规律可得：___________．【答案】【分析】根据题目给出式子得规律，右边x的指数正好比前边x的最高指数大1．【解析】解：找出等号右边指数和等号左边括号中第一项指数之间的关系，，，．∴，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了平方差公式，发现规律：右边x的指数正好比前边x的最高指数大1是解答本题的关键．22．若，则代数式的值为___________．【答案】【分析】根据完全平方公式因式分解进而即可求解．【解析】解：∵∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握是解题的关键．三、解答题23．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据单项式乘以多项式即可求解；（2）根据多项式除以单项式即可求解．【解析】（1）（2）【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式除以单项式，解题的关键是掌握法则，正确计算．24．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（2）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（3）先算乘方，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可得出答案；（4）根据单项式乘多项式的运算法则分别进行计算，然后合并同类项即可．【解析】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．25．计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)0(2)(3)【分析】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则计算各项，再合并同类项即可；（2）根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可；（3）根据平方差公式以及多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可．【解析】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则和运算顺序．26．因式分解：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；（2）利用完全平方公式，进行分解即可解答；（3）先利用平方差公式，再利用十字相乘法进行分解即可解答；（4）利用因式分解﹣分组分解法，进行分解即可解答．（1）解：；（2）；（3）；（4）【点睛】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法与公式法，熟练掌握各种因式分解的方法是解题的关键．27．把下列各式分解因式：(1)；(2)x（x﹣1）﹣3x+4；(3)；(4)．【答案】(1)3（a﹣b）（2a﹣2b+1）(2)(3)(4)【分析】（1）利用提公因式法分解；（2）先利用乘法法则化简整式，再利用完全平方公式因式分解；（3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解；（4）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解．（1）解：＝3（a﹣b）[2（a﹣b）+1]＝3（a﹣b）（2a﹣2b+1）（2）解：x（x﹣1）﹣3x+4（3）解：（4）解：【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．28．已知，求的值．【答案】，【分析】首先利用整式的乘法计算出等号左面的算式，与等号右边的式子对应，得到关于a，b的方程，解之即可．【解析】解：∴，，，解得：，．【点睛】此题考查整式的乘法，以及多项式的意义，注意对应项的指数与系数的关系．29．运用整式乘法公式先化简，再求值．其中，a＝－2，b＝1．【答案】，-15【分析】先根据平方差公式去括号，再合并同类项，然后把a、b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解析】解：

，当a=-2，b＝1时，原式．【点睛】本题考查了整式的混合运算一化简求值，解题的关键是掌握平方差公式并准确熟练地进行计算．30．已知化简的结果中不含项和项．(1)求，的值；(2)若是一个完全平方式，求的值．【答案】(1)(2)25【分析】（1）先将原式化简，再根据结果中不含项和项可得，即可求解；（2）先将原式化简，再根据原式是一个完全平方式，把化简后的结果中作为一个整体，再变形为完全平方形式，即可求解．【解析】（1）解：，∵化简的结果中不含项和项，∴，解得：；（2）解：∵是一个完全平方式，∴，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了整式乘法运算中的无关项题，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，不含某一项就是化简后该项的系数等于0是解题的关键．31．已知，求和的值．【答案】5；47．【分析】把已知条件两边平方，利用完全平方公式展开，然后整理即可得到的值；与的值的过程同理可求的值．【解析】，∵，∴，即，∴．【点睛】本题考查了完全平方公式，利用和互为倒数乘积是1是解题的关键，完全平方公式：．32．如图1，在一张长方形纸板的四角各切去一个大小相同的正方形，然后将四周折起，制成一个高为的长方体无盖纸盒（如图2）．已知纸盒的体积为，底面长方形的宽为．(1)求原来长方形纸板的长；(2)现要给这个长方体无盖纸盒的外表面贴一层包装纸，一共需要多少平方厘米的包装纸？【答案】(1)厘米(2)平方厘米【分析】（1）根据长方体的体积公式进行计算即可；（2）根据长方体的表面积公式进行计算即可．【解析】（1）解：由题意得：厘米，厘米，答：这张长方形纸板的长为厘米；（2）解：（平方厘米），答：一个这样的纸盒需要用平方厘米的红色包装纸．【点睛】本题考查了整式的混合运算，认识立体图形，熟练掌握长方体的体积公式和表面积公式是解题的关键．33．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．例1：如图l，可得等式：；例2：由图2，可得等式：．(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为_______________________；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值．(3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为．设，若的值与无关，求与之间的数量关系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）正方形面积为，小块四边形面积总和为，由面积相等即可求解；（2）根据（1）中的结论，将式子的值代入计算即可求解；（3），，，，根据，即可求解．【解析】（1）解：∵正方形面积为，小块四边形面积总和为∴由面积相等可得：，故答案为：．（2）解：由（1）可知，∵，；∴，∴．（3）解：由题意知，，，，，∵，∴，即，又∵为定值，∴，即．【点睛】本题主要考查图形面积与整式运算的综合，掌握整式混合运算法则是解题的关键．34．阅读材料：若，求的值．解：根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则，．(2)已知，求的值．(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果；（2）由得，然后由非负数性质求得结果；（3）把两个方程通过变式得，然后由非负数性质求得a、c，进而得b，便可求得三角形的周长．【解析】（1）解：由，得，∵≥0，，∴a-3=0，b=0，∴a=3，b=0．故答案为：3；0．（2）由得，∴x-y=0，y-4=0，∴x=y=4，∴=16；（3）∵a+b=8，∴b=8-a，∵，∴，∴，∴a-4=0，c-5=0，∴a=4，c=5，∴b=4，∴△ABC的周长为a+b+c=4+4+5=13．【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路是解题的关键．35．阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：．请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果；（2）原式补上

，利用平方差公式计算即可得到结果．【解析】（1）原式；（2）原式．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．36．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个完全相同的小长方形，然后用这四块小长方形拼成如图②所示的正方形．(1)观察图②，直接写出，，三者的等量关系式___________；(2)根据（1）的结论解答下列问题：①若，求的值；②如图③，正方形与边长分别为，．若，，求图③中阴影部分的面积和．【答案】(1)(2)①1；②8【分析】（1）用不同的方法分别表示大正方形的面积即可；（2）①由（1）的结论，代入计算即可；②由题意可知，已知，，求出即可．【解析】（1）解：大正方形的边长为，小正方形的边长为，每个小长方形的面积为，由面积之间的和差关系可得：，故答案为：；（2）解：①∵，即，∴；答：的值为1；②由拼图