2024-2025学年高一数学(人教A版2019必修第一册)3.2.1单调性与最大(小)值-最值(第2课时)(分层作业)(原卷版+解析)

3.2.1单调性与最大（小）值—最值（第2课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．(2023·安徽蚌埠·高一期末）若函数在定义域上的值域为，则（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高一专题练习）设，若函数，当时，的范围为，则的值为（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高一课时练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或4．(2023·全国·高一课时练习）设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（

）A．4 B．6 C．10 D．245．(2023·全国·高一课时练习）函数在区间上的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题6．(2023·全国·高一课时练习）（多选）下列关于函数的结论正确的是（

）A．单调递增区间是 B．单调递减区间是C．最大值为2 D．没有最小值7．(2023·全国·高一课时练习）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（

）A． B． C．0 D．18．(2023·全国·高一单元测试）设函数的定义域为D，若对任意的，，都有，则称满足“L条件”，则下列函数不满足“L条件”的是（

）A．， B．，C．， D．，三、填空题9．（2023·云南云天化中学教育管理有限公司高一开学考试）函数的最大值为_______．10．(2023·全国·高一）已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.11．(2023·全国·高一专题练习）在上的最小值为______．12．(2023·四川南充·高一期末）函数在上的最大值为1，则的值为___________.13．(2023·全国·高一课时练习）若不等式对一切都成立，则a的取值范围是______．14．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，对，，使成立，则实数a的取值范围是___________.15．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.16．(2023·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知函数，且，，则函数的值域是______.四、解答题17．(2023·湖南·高一课时练习）（1）在定义域上单调递减的函数，最大值是多少？（2）若在上单调递减而在上单调递增，最小值是多少？18．（2023·北京·清华附中高一期末）已知函数，，且该函数的图象经过点，.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线与x轴交于点T，且与函数的图像只有一个公共点.求的最大值.（其中O为坐标原点）19．(2023·全国·高一专题练习）已知函数在上的最大值为3，最小值为．(1)求的解析式；(2)若，使得，求实数m的取值范围．20．(2023·江西·高一期中）已知函数.(1)用定义法证明在上单调递减，在上单调递增；(2)若的最小值是6，求a的值．21．(2023·全国·高一专题练习）一个两位数除以它的的两个数位上的数字和.(1)若使商为最小值，求这个两位数；(2)若使商为最大值，则这样的两位数有多少个？22．(2023·全国·高一单元测试）设，已知函数过点，且函数的对称轴为.(1)求函数的表达式；(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.23．(2023·全国·高一专题练习）求函数，的最大值与最小值.24．(2023·全国·高一专题练习）求函数在区间上的最大值和最小值.【能力提升】一、单选题1．(2023·湖北·安陆第一高中高一阶段练习）已知函数，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高一专题练习）已知函数对任意，存在，使得，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．3．(2023·全国·高一）已知函数，，则以下结论正确的是A．任意的，且，都有B．任意的，且，都有C．有最小值，无最大值D．有最小值，无最大值4．(2023·江苏·高一）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关5．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，若，恒有，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题7．(2023·全国·高一课时练习）已知函数和的零点所构成的集合分别为M，N，若存在，，使得，则称与互为“零点伴侣”．若函数与互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是（

）A．1 B．2 C．3 D．48．(2023·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（

）A．在区间上单调递减 B．单调递增区间为C．最大值为2 D．没有最小值9．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（

）A．

B．C．

D．10．(2023·广东·广州六中高一期中）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．则下列命题中正确的是：A．设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”B．函数的充要条件是有最大值和最小值C．若函数，的定义域相同，且，，则D．若函数有最大值，则三、填空题11．(2023·福建·福州四中高一期末）设函数若存在最小值，a的取值范围___________.12．（2023·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）若函数与同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，已知函数与是定义在区间上的“兄弟函数”，那么在区间上的最大值是___________.13．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的最小值为，则实数的值为____．14．(2023·安徽宣城·高一期末）已知函数，若是的最大值，则实数t的取值范围是______．15．(2023·全国·高一课时练习）已知函数有如下性质：若常数，那么函数在上是减函数，在上是增函数．若函数在区间[1，4]上的最小值为7，则实数m的值是______．16．(2023·浙江省淳安中学高一期中）已知函数，若对于，不等式恒成立，则正整数的最小值为__________.17．(2023·上海·曹杨二中高一期末）已知常数，函数、的表达式分别为、．若对任意，总存在，使得，则a的最大值为______．四、解答题18．(2023·江苏·高一）设函数,，，其中，记函数的最大值减去最小值的差为．(1)求函数的解析式；(2)画出函数的图象并指出的最小值．19．(2023·全国·高一课时练习）已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(2)对于（1）中的函数和函数，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．20．（2023·上海市杨浦高级中学高一期中）已知函数(常数).(1)若，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;(2)若该函数在区间上是严格减函数，且在上存在自变量，使得函数值为正，求整数的值.21．(2023·海南·海口一中高一期中）已知函数.(1)当，且时，求的取值范围；(2)是否存在正实数a，，使得函数在上的取值范围是.若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由.22．(2023·全国·高一课时练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)若______，，求实数a的取值范围．23．(2023·湖南·周南中学高一阶段练习）已知函数（）.(1)当时，求的单调增区间；(2)当时，的最大值为，求实数a的取值范围.24．(2023·浙江省乐清中学高一开学考试）已知，设函数.(1)若在区间内有最小值，求的取值范围；(2)，，，求正数的最小值.25．(2023·上海金山·高一期末）设是定义在[m，n]（）上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，[m，n]称为含峰区间.(1)试判断是否为[0，6]上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由；(2)若（，a、b、）是定义在[m，3]上峰点为2的“含峰函数”，且值域为[0，4]，求a的取值范围；(3)若是[1，2]上的“含峰函数”，求t的取值范围.3.2.1单调性与最大（小）值—最值（第2课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．(2023·安徽蚌埠·高一期末）若函数在定义域上的值域为，则（

）A． B． C． D．答案：A分析：的对称轴为，且，然后可得答案.【详解】因为的对称轴为，且所以若函数在定义域上的值域为，则故选：A2．(2023·全国·高一专题练习）设，若函数，当时，的范围为，则的值为（

）A． B． C． D．答案：B分析：根据的单调性可直接构造方程组求得结果.【详解】在上单调递减，，解得：.故选：B.3．(2023·全国·高一课时练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或答案：B分析：注意讨论的情况，然后利用一次函数的单调性分类讨论可求得.【详解】依题意，当时，，不符合题意；当时，在区间上单调递增，所以，得；当时，在区间上单调递减，所以，得．综上，a的值为故选:B.4．(2023·全国·高一课时练习）设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（

）A．4 B．6 C．10 D．24答案：C分析：将函数分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解.【详解】因为f(x)==2+，所以f(x)在[3，4]上是减函数.所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.所以.故选：C.5．(2023·全国·高一课时练习）函数在区间上的最大值为（

）A． B． C． D．答案：B分析：利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．故选：B二、多选题6．(2023·全国·高一课时练习）（多选）下列关于函数的结论正确的是（

）A．单调递增区间是 B．单调递减区间是C．最大值为2 D．没有最小值答案：AC分析：先求的定义域排除选项B，再利用一元二次函数的性质与复合函数的单调性求得的单调性，进而求其最值.【详解】要使函数有意义，则，得，故B错误；函数由与复合而成，当时，单调递增，当时，单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故,又，所以，故A，C正确，D错误．故选：AC.7．(2023·全国·高一课时练习）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（

）A． B． C．0 D．1答案：ABC分析：根据函数解析式，分、、三种情况讨论，当时根据二次函数的性质只需函数在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可；【详解】解：因为，若，当时在上单调递增，当时，此时函数不存在最小值；若，则，此时，符合题意；若，当时在上单调递减，当时，二次函数对称轴为，开口向上，此时在上单调递增，要使函数存在最小值，只需，解得，综上可得.故选：ABC8．(2023·全国·高一单元测试）设函数的定义域为D，若对任意的，，都有，则称满足“L条件”，则下列函数不满足“L条件”的是（

）A．， B．，C．， D．，答案：ACD分析：根据“L条件”的定义对选项逐一分析，结合特殊值法、函数的单调性、最值等知识确定正确选项.【详解】由定义知函数的最大值与最小值差的绝对值小于1.选项A，，，取，，则，不满足“L条件”；选项B，，，任取，，其中，当时，，递减；当时，，递增，即在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，最大值为，所以对任意的，，都有，所以，满足“L条件”；选项C，在上单调递减，在上单调递增，，，，所以的最大值为，最小值为，，所以，不满足“L条件”；选项D，函数在上单调递增，显然不满足“L条件”.故选：ACD三、填空题9．（2023·云南云天化中学教育管理有限公司高一开学考试）函数的最大值为_______．答案：2分析：利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最大值.【详解】设，则，所以原函数可化为：，由二次函数性质，当时，函数取最大值2.故答案为：2.【点睛】本题考查换元法求函数最值，当函数解析式中含有根式时，一般考虑换元法，用换元法时要注意一定写出新变量数的取值范围，属于基础题型.10．(2023·全国·高一）已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.答案：36分析：利用对勾函数的单调性即可求解.【详解】f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝时取得最小值，由题意知＝3，∴a＝36.故答案为：11．(2023·全国·高一专题练习）在上的最小值为______．答案：0分析：先确定函数的单调性，再根据单调性求最小值即可.【详解】解:根据题意在上为增函数，则在上的最小值为．故答案为：0.12．(2023·四川南充·高一期末）函数在上的最大值为1，则的值为___________.答案：分析：依题意可得在上单调递减，即可得到，从而求出的值；【详解】解：因为是由向右平移个单位得到，即在上单调递减，所以在上单调递减，所以，解得；故答案为：13．(2023·全国·高一课时练习）若不等式对一切都成立，则a的取值范围是______．答案：分析：利用参变分离法将不等式转化为，令，将不等式恒成立问题转化为成立，求解函数的最大值.【详解】解：因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，令，可知成立，当，函数单调递减，所以，所以.故答案为：.14．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，对，，使成立，则实数a的取值范围是___________.答案：分析：由题意可知的值域是值域的子集，所以分别求出两函数的值域，列不等式组可求得答案.【详解】函数图象的对称轴为直线x=2，所以在上单调递减，则在上的值域为.因为在上单调递增，所以在上的值域为.由题意，可得，即，解得.故答案为：15．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.答案：94##214##2.25分析：依题意可得，再根据函数的定义域求出，的取值范围，则，，根据二次函数的性质计算可得.【详解】解：∵函数，，实数，满足，∴，可得，，，又，∴，则，，所以当时，，即，时，取得最大值.故答案为：16．(2023·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知函数，且，，则函数的值域是______.答案：分析：根据题意，待定系数法求得，再证明函数的单调性，结合单调性求解即可.【详解】解：因为，，所以，即，解得：所以，设且，所以，因为且，所以，所以，即，所以，即在上单调递减，所以，所以，函数的值域是故答案为：四、解答题17．(2023·湖南·高一课时练习）（1）在定义域上单调递减的函数，最大值是多少？（2）若在上单调递减而在上单调递增，最小值是多少？答案：（1）；（2）.分析：（1）根据单调递减函数的性质进行求解即可；（2）根据函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）因为是定义域上单调递减的函数，所以；（2）因为在上单调递减而在上单调递增，所以.18．（2023·北京·清华附中高一期末）已知函数，，且该函数的图象经过点，.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线与x轴交于点T，且与函数的图像只有一个公共点.求的最大值.（其中O为坐标原点）答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）1.分析：（Ⅰ）根据已知点的坐标，利用函数的解析式，得到关于的方程组，求解即得;（Ⅱ）设,则直线方程可以写成,与函数联立，消去，利用判别式求得，利用二次函数的性质求得取得最大值1，进而得到的最大值.【详解】（Ⅰ）由已知得，解得;（Ⅱ）设,则直线方程可以写成,与函数联立，消去，并整理得由已知得判别式,当时，取得最大值1，所以.19．(2023·全国·高一专题练习）已知函数在上的最大值为3，最小值为．(1)求的解析式；(2)若，使得，求实数m的取值范围．答案：(1)(2)分析：（1）根据的最值列方程组，解方程组求得，进而求得.（2）利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围.（1）的开口向上，对称轴为，所以在区间上有：，即，所以.（2）依题意，使得，即，由于，，当且仅当时等号成立.所以.20．(2023·江西·高一期中）已知函数.(1)用定义法证明在上单调递减，在上单调递增；(2)若的最小值是6，求a的值．答案：(1)证明见解析(2)分析：（1）由定义法,分别设和两种不同情况时,计算的正负即可；（2）分别计算在和时的最小值,更小的那个即为函数的最小值,再分不同情况时将的函数解析式表示出,使得即可求解.(1)证明：对任意的，．当时，，，则，即；当时，，，则，即．故在上单调递减，在上单调递增．(2)由（1）可知在上的最小值是．当时，，其图象的对称轴方程是直线．①若，在上单调递减，则在上的最小值是．②若，在上单调递减，在上单调递增，则在上的最小值是．综上，，因为的最小值是6，所以或或解得．21．(2023·全国·高一专题练习）一个两位数除以它的的两个数位上的数字和.(1)若使商为最小值，求这个两位数；(2)若使商为最大值，则这样的两位数有多少个？答案：(1)19(2)9分析：（1）设这个两位数是，则所求为，分离常数可得，根据x，y的范围，分析即可得取得最小值时的答案.（2）分析得取到的任一整数时最大，即可得答案.(1)设这个两位数是，那么，且是整数，，当时，取到最小，即最小，此时两位数是.(2)当取到的任一整数时，取到最大值，即最大，此时两位数可以是共9个数.22．(2023·全国·高一单元测试）设，已知函数过点，且函数的对称轴为.(1)求函数的表达式；(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.答案：(1)(2)分析：根据函数过点及二次函数的对称轴，得到方程组，解得、即可求出函数解析式；（2）将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.（1）解：依题意，解得，所以；（2）解：由（1）可得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以，，即、，所以.23．(2023·全国·高一专题练习）求函数，的最大值与最小值.答案：最大值，最小值分析：根据对勾函数的性质，得到函数的单调性，从而得出其最值.【详解】函数，根据对勾函数的性质可得：在上单调递减，上单调递增.当时取到最小值.又当时，，当时，所以当时取到最大值，所以函数的最大值，最小值24．(2023·全国·高一专题练习）求函数在区间上的最大值和最小值.答案：最大值，最小值分析：首先判断函数的单调性，根据单调性，求函数的最值.【详解】函数在区间上递减，则，所以最大值，最小值.【能力提升】一、单选题1．(2023·湖北·安陆第一高中高一阶段练习）已知函数，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B分析：将已知函数整理得，令，由二次函数的性质求得，将不等式等价于，求解即可.【详解】解：由已知得，令，因为，所以，所以，所以，当时，，当时，，即，所以对任意，，所以对任意，都有，等价于，即，解得或，所以实数m的取值范围是，故选：B.2．(2023·全国·高一专题练习）已知函数对任意，存在，使得，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：C分析：对任意，，存在，，使得，的值域是值域的子集，求出在区间，上的值域和在区间，上的值域，再讨论取值即可．【详解】解：因为在区间，上满足：，；，所以在，上单调递增，所以，，又因为，所以，当时显然成立；所以当时，，即，因为，，所以不成立，舍去；当时，对成立，只需满足，即，解得，综上所述的范围为．故选：C．3．(2023·全国·高一）已知函数，，则以下结论正确的是A．任意的，且，都有B．任意的，且，都有C．有最小值，无最大值D．有最小值，无最大值答案：D分析：A：根据函数解析式直接判断的单调性，可判断对错；B：利用奇偶性判断的单调性，即可判断对错；C：利用奇偶性和单调性判断最值情况；D：利用奇偶性和单调性判断最值情况.【详解】A：在上均是增函数，所以是上增函数，故错误；B：因为，所以是偶函数，所以在上不可能是减函数，故错误；C：因为，所以是奇函数，又在上是增函数，所以无最值，故错误；D：任意的，且，所以，因为，，所以，所以，所以在上单调递增，因为是偶函数，所以在上单调递减，所以，无最大值，故正确.故选D.【点睛】本题考查函数的单调性、最值、奇偶性的综合应用，难度一般.奇函数在对称区间上的单调性是相同的，并且在对称区间上如果有最值，则最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，并且在对称区间上如果有最值，则最值相等.4．(2023·江苏·高一）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关答案：B【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．5．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，若，恒有，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：B分析：函数恒成立问题，直接求最值利用二次函数的性质可得；或利用参变分离法，利用基本不等式求最值即得.【详解】解法一：若，恒有，只需，设函数在上的最小值为，则（1）当，即时，，即，所以；（2）当，即时，，即，所以此时不满足题意；（3）当，即时，，所以，即，得，则.综上，实数的取值范围为.故选：B.解法二：若，恒有，即对任意恒成立，所以对任意的恒成立，而，当且仅当，即时取等号，所以.因此，实数的取值范围是.故选：B.6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D分析：分和，分析函数在区间上的单调性，得出函数的最大值，并结合得出实数的取值范围.【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.①当时，函数在区间上单调递增，则；②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，函数在或处取得最大值，由于，所以，，即，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是，故选D.【点睛】本题考查二次函数的最值问题，属于定轴动区间型，解题时要分析二次函数在区间上的单调性，借助单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、多选题7．(2023·全国·高一课时练习）已知函数和的零点所构成的集合分别为M，N，若存在，，使得，则称与互为“零点伴侣”．若函数与互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：AD分析：首先确定函数的零点，然后结合新定义的知识得到关于a的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数的取值范围即可.【详解】因为函数是R上的增函数，且，所以，结合“零点伴侣”的定义得，则，又函数在区间上存在零点，即方程在区间上存在实数根，整理得，令，，所以在区间上单调递减，在上单调递增，又，，，所以函数的值域为，所以实数a的取值范围是．故选：AD．8．(2023·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（

）A．在区间上单调递减 B．单调递增区间为C．最大值为2 D．没有最小值答案：ABC分析：先求出函数定义域，令，根据二次函数的性质，由已知解析式，逐项判断，即可得出结果.【详解】由得，即函数的定义域为，令，则的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故A，B正确；，当x＝－3时，，当x＝1时，，则，故C正确，D错误.故选：ABC.9．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（

）A．

B．C．

D．答案：BC分析：根据题意计算每个函数的值域，再分析是否有界即可.【详解】对于A，，由于，所以，所以，故不存在正数M，使得成立.对于B，令，则，，当时，u取得最大值4，所以，所以，故存在正数2，使得成立.对于C，令，则，易得，所以，即，故存在正数5，使得成立.对于D，令，则，，则，易得，所以，故不存在正数M，使得成立.故选：BC10．(2023·广东·广州六中高一期中）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．则下列命题中正确的是：A．设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”B．函数的充要条件是有最大值和最小值C．若函数，的定义域相同，且，，则D．若函数有最大值，则答案：ACD分析：A选项中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；B选项中举反例保证函数的值域为集合的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；C选项中从并集的角度认识函数值域，可以发现，从而发现命题正确；D选项中从极限的角度证明，均不成立，所以，再求出函数的值域为，从而得到命题D正确.【详解】对A，“”即函数值域为，“，，”表示的是函数可以在中任意取值，故有：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”，命题A是真命题；对B，若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．．例如：函数满足，则有，此时，无最大值，无最小值．命题B“若函数，则有最大值和最小值．”是假命题；对C，若函数，的定义域相同，且，，则值域为，，并且存在一个正数，使得，，则．命题C是真命题．对D，函数有最大值，假设，当时，，，，则，与题意不符；

假设，当时，，，，则，与题意不符.，即函数，当时，，，即；当时，；当时，，，即．，即，故命题D是真命题．故选ACD.【点睛】本题以新定义概念为问题背景，考查函数值域的概念、基本不等式、充要条件、双勾函数等知识的综合，还考查了极限思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合应用，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．三、填空题11．(2023·福建·福州四中高一期末）设函数若存在最小值，a的取值范围___________.答案：分析：根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值再求解即可.【详解】若时，，∴；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，，当时，∴或，解得，综上可得；故答案为：12．（2023·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）若函数与同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，已知函数与是定义在区间上的“兄弟函数”，那么在区间上的最大值是___________.答案：分析：利用基本不等式求出的最小值及对应的的值，根据“兄弟函数”的定义可知在区间上最小值为，根据二次函数的性质求出、的值，即可得到的解析式，最后根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：，当且仅当即时取等号，当时，取最小值．函数与同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，函数在区间上最小值为．点为抛物线的顶点．，．．在区间上单调递减，在区间上单调递增．，，在区间上的最大值是．故答案为：．13．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的最小值为，则实数的值为____．答案：或分析：分类讨论a的取值范围，去掉绝对值符号，确定函数的最小值，解方程求得a的值.【详解】当，即时，，结合其图象：可知，所以或（舍）;当，即时，，则，所以或（舍）,综上得或,故答案为：或14．(2023·安徽宣城·高一期末）已知函数，若是的最大值，则实数t的取值范围是______．答案：分析：先求出时最大值为，再由是的最大值，解出t的范围.【详解】当时，，由对勾函数的性质可得：在时取得最大值；当时，，且是的最大值，所以，解得：.故答案为：15．(2023·全国·高一课时练习）已知函数有如下性质：若常数，那么函数在上是减函数，在上是增函数．若函数在区间[1，4]上的最小值为7，则实数m的值是______．答案：6分析：首先利用换元，令，求的值域，再分类讨论的取值，利用函数的最小值，求的值.【详解】令，则其在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数，所以．令，则在区间[4，5]上的最小值为7．当时，，解得；当时，（舍去）；当时，．综上，实数m的值是6．故答案为：616．(2023·浙江省淳安中学高一期中）已知函数，若对于，不等式恒成立，则正整数的最小值为__________.答案：3034分析：先利用定义判定函数在上的单调递增，得到当时，；并利用分子实数化变形和不等式放缩得到时，，进而得到的取值范围是，然后利用不等式恒成立的意义得到，从而求得的取值范围，得到的最小值.【详解】设，则，又∵，同理，∴，∴，即，∴在[1，+∞)上单调递增，又∵，∴当时，；又∵时，，∴时，，且当趋近于时，无限趋近于，∵，∴的取值范围是，为使不等式恒成立，必须且只需，∴，∴正整数的最小值为3034，故答案为：3034.【点睛】本题难点在于利用分子有理化方法进行恒等变形，并利用放缩法得到有关不等关系，进而证明函数的单调性和求得函数的值域.17．(2023·上海·曹杨二中高一期末）已知常数，函数、的表达式分别为、．若对任意，总存在，使得，则a的最大值为______．答案：分析：求出函数在上的最大值，分类探讨函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解判断作答.【详解】依题意，函数在上单调递增，则当时，，因对任意，总存在，使得，则存在，成立，则当时，成立，而函数是奇函数，当时，，当时，，因此，在上的最大值只能在上取得而当时，，在上单调递增，在上单调递减，当，即时，在上单调递增，，由解得，于是得，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，，而，此时不存在使得成立，综上得，即，所以a的最大值为.故答案为：【点睛】结论点睛：函数，，若，，有成立，则.四、解答题18．(2023·江苏·高一）设函数,，，其中，记函数的最大值减去最小值的差为．(1)求函数的解析式；(2)画出函数的图象并指出的最小值．答案：(1)(2)图象见解析，最小值为.分析：（1）分类讨论，利用函数的单调性求出的最大、最小值后可得；（2）根据解析式作出图象，根据图象可求出最小值.(1),当时，在上为单调递减函数，，当时，，，当时，在上单调递减，在上单调递增，，，，若，即时，，，若，即时，，，当时，，，当时，在上为单调递增函数，，综上所述：.(2)图象如图：由图可知，当时，取得最小值为.19．(2023·全国·高一课时练习）已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(2)对于（1）中的函数和函数，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．答案：(1)的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．(2)分析：（1）令，，将化为，由对勾函数的单调性可得的单调区间和值域（2）由题意可得的值域是的值域的子集，结合（1）的值域和一次函数的单调性可得的值域，可得的不等式，解不等式可得所求范围（1）．设，，则，．由已知性质，得当，即时，单调递减，所以的单调递减区间为；当，即时，单调递增，所以的单调递增区间为．由，，，得的值域为．（2）因为在上单调递减，所以．由题意，得的值域是的值域的子集，所以，所以．20．（2023·上海市杨浦高级中学高一期中）已知函数(常数).(1)若，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;(2)若该函数在区间上是严格减函数，且在上存在自变量，使得函数值为正，求整数的值.答案：(1)见解析(2)或分析：（1）先对函数化简，再列表，描点，连线可得函数图像，（2）由函数在区间上是严格减函数，结合函数单调性的定义可得，再由在上存在自变量，使得函数值为正，可得在上有解，从而可求出的范围，进而可得整数的值.（1）当时，，列表如下：……0…………032……函数图像如下：（2），任取，且，因为该函数在区间上是严格减函数，所以，因为，所以，因为所以，得，因为在上存在自变量，使得函数值为正，所以在上有解，因为，所以在上有解，所以在上有解，所以，因为在上递增，所以当时，取得最小值为，所以，综上，因为，所以或21．(2023·海南·海口一中高一期中）已知函数.(1)当，且时，求的取值范围；(2)是否存在正实数a，，使得函数在上的取值范围是.若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由.答案：(1)(2)存在，，分析：（1）根据条件得到的关系，代入消去得到关于的函数，求其最值即可；（2）假设存在满足条件的实数a，b，且，分a，，a，，，讨论，列方程组求解.(1)因为，所以在上为减函数，在上为增函数，由且，可得且，故.令，则，函数在上单调递增，所以，即的取值范围是.(2)存在满足条件的实数a，b，理由如下：假设存在满足条件的实数a，b，且.①当a，时，在上单调递减，则由，即，解得ab=1，因为a，，故此时不存在符合条件的实数a，b.②当a，时，在上单调递增.则由，即，所以a，b是方程得或，所以，此时存在符合条件的实数，.③当，时，由于，而，故此时不存在符合条件的实数a，b.综上所述，存在符合条件的实数，.22．(2023·全国·高一课时练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)若______，，求实数a的取值范围．答案：(1)(2)答案见解析分析：（1）利用二次函数的性质直接求解其值域，（2）若选条件①，求出抛物线的对称轴，分，和三种情况求出函数的最小值，使最小值大于等于零，即可求出a的取值范围，若选条件②，则，由抛物线的性质可得或，从而可求出a的取值范围.（1）当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，，∴函数在区间上的值域为．（2）方案一：选条件①．由题意，得．若，即，则函数在区间上单调递增