2021-2022学年数学苏教版必修第二册学案：第13章平面垂直

第2课时两平面垂直

：a；1.了解二面用的概念•能在长方体中度量二面加.

课程

一人2.理解并掌握面面垂直的判定定理.

标准

；3.掌握面面垂直的性质定理及其应用方法.

》基础认知•自主学习④

概念认知

1.二面角的概念

(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部无，其中的每一

部分都叫作半平面.

⑵二面角：一般地,一条直线和由这条直线出发的叫把面所组

成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二

面角的面，如图①，②中，棱为/或AB,面为a,B记作a-Z-P(a-AB-P)

或P-Z-Q(P-AB-Q)(P,Q分别为在a,「内且不在棱上的点).

(3)二面角的平面角

文字表述：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分

别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.

图形语言:

符号语言：anp=1,OGZ,OACa,OBUp,OAL,OB±/=>ZAOB

为二面角a-Z-P的平面角.

(4)二面角大小的度量

二面角的大小可以用它的垩面鱼来度量，二面角的平面角是多少度,

就说这个二面角是多少度.二面角a的大小范围是0”取180。.平面

角是直角的二面角叫作直二H角.

2.平面与平面垂直的判定定理

(1)定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就

说这两个平面互相垂直.

⑵画法：两个互相垂直的平面通常画成如图⑴，(2)所示.

----1A

JzZZT7

(1)--------------(2)

此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直,平面a与P垂

直,记作a±p.

(3)平面与平面垂直的判定定理

文字语m如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这

两个平面垂直

图形语言/

符号语言l-La，/U|3=a_LB

3.平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有条直线垂直于这两个平

义字l口B

面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直

图形语言

ra±p,aAP=Zl

符号语言a±p

、aua,a_L/

自我小测

1.已知长方体ABCD-A]BiCiDi,在平面ABi上任取一点M，作

ME_LAB于E,贝女）

A.ME，平面ACB.MEU平面AC

C.ME〃平面ACD.以上都有可能

选A.由于MEU平面ABi,平面AB£平面AC=AB,且平面ABi±

平面AC,ME±AB,贝!!ME_L平面AC.

2.如图所示，已知PA_L矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直

的平面有（）

A

2c

AB

A.2对B.3对C.4对D.5对

选D.由PA_L矩形ABCD知，平面PADJ_平面ABCD,平面PAB±

平面ABCD；由AB_L平面PAD知，平面PABJ_平面PAD；由BC±

平面PAB知，平面PBC_L平面PAB；由口（2,平面PAD知，平面PDC_L

平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对.

3.下列说法：

①两个相交平面组成的图形叫作二面角；

②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直，则a,b所成的角

与这个二面角相等或互补；

③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角

的最小角.

其中正确的是________.（填序号）

对于①，混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于②，由于a,

b分别垂直于两个平面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线

所成的角为锐角（或直角），所以应是相等或互补，是正确的；对于③,

因为不垂直于棱，所以是错误的.

答案：②

4.在正方体ABCD-AiBiCiDi中，平面AAiCiC与平面CiBD的位置

关系是________.

因为BD_LAC,BDlCiC,fiACACiC=C,

所以BD_L平面AAiC)C.

因为BDU平面CiBD,所以平面AAiCiC_L平面CiBD.

答案：垂直

5.如图，平面角为锐角的二面角a-EF-P,A£EF,AGCa,ZGAE

二45。，若AG与B所成角为30°,求二面角a-EF-P的平面角.

作GH，P于点H，作HB±EF于点B,连接AH,GB,则GB1EF,

NGBH是二面角的平面角.

又NGAH是AG与P所成的角，

设AG=a，则GB=孚a,GH='a,sinZGBH==乎，

所以NGBH=45。，故二面角a-EF-|3的平面角为45°.

为学情诊断•课时测评④

基础全面练

一、单选题

1.下列命题中错误的是（）

A.如果平面a_L平面B,那么平面a内一定存在直线平行于平面P

B.如果平面a不垂直于平面P,那么平面a内一定不存在直线垂直

于平面B

C.如果平面a，平面y,平面M平面y,an「=/,那么L平面y

D.如果平面a，平面P,那么平面a内所有直线都垂直于平面P

选D.如果平面a_L平面P,那么平面a内垂直于交线的直线都垂直于

平面B,其他与交线不垂直的直线均不与平面P垂直，故D项叙述是

错误的.

2.将锐角A为60。，边长为a的菱形沿BD折成60。的二面角，则折

叠后A与C之间的距离为（）

]A/3

A.aB.2aC.^aD,小a

选C.设折叠后点A到Ai的位置,取BD的中点E,连接AiE,CE.

则BD±CE,BDlAiE.

于是NAiEC为二面角Ai-BD-C的平面角.

故NAiEC=60。.

因为AiE=CE,所以△AiEC是等边三角形.

所以AiE=CE=AiC=§a.

3.设a-/-p是直二面角，直线aUa,直线bUp,a,b与/都不垂直,

那么说法中正确的是（）

A.a与b可能垂直，但不可能平行

B.a与b可能垂直，也可能平行

C.a与b不可能垂直，但可能平行

D.a与b不可能垂直，也不可能平行

选C.当a,b都与/平行时，

则a〃b,所以A,D错.如图,若a±b,

过a上一点P在a内作a,.Ll,

因为a±p,所以ar±p.

又bUp,所以a」b,

所以b，a,与题干要求矛盾，即a与b不可能垂直.

4.（2021.宁波高一检测）已知直线a,b,平面a,P,下列命题：

①若a〃b,a_La,则b_l_a；

②若a〃p,a_La，贝（Ja_Lp；

③若a〃a,a_l_p,则a_Lp；

④若a±a,a±p,贝!Ja〃B

其中真命题是（）

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

选A.对于①，若a〃b,a±a,则由线面垂直的性质可得b±a,故①

正确；

对于②，若a〃B,a±a，则由线面垂直的性质可得a±p，故②正确；

对于③,若a〃a,则存在a，Ua，使得a〃F,若a±p,则,则

a±P,故③正确；

对于④，若2_1_01,a±p,贝［|2〃0或2（=0,故④错误.

5.（2021.舟山高一检测）三棱锥的各棱长都相等，D,E,F分别是AB,

BC,CA的中点，下列结论中不成立的是（）

A.BC〃平面PDF

B.DF,平面PAE

C.平面PDE,平面ABC

D.平面PAE_L平面ABC

选C.对于A中，因为D,F分别是AB,CA的中点，可得BC〃DF,

因为BCC平面PDF,DFU平面PDF,

所以BC〃平面PDF,

所以A正确，不符合题意；

对于B中，因为AC=AB,BE=EC,

所以BCLAE,同理可得BC,PE,

又因为PEnAE=E,

所以BC_L平面PAE,

又由BC〃DF,所以DFL平面PAE,

所以B正确，不符合题意；

对于D中，由DF_L平面PAE,

因为DFU平面ABC,

所以平面PAE平面ABC,

所以D正确，不符合题意，C不正确，符合题意.

二、多选题

6.（2021.镇江高一检测）若m,n是两条不重合的直线，a,p为两个

不重合的平面，下列说法正确的有（）

A.若m〃n,m//a,则n〃a

B.若m〃a,n〃B,贝!Ja〃0

C.若m〃n,n±a,贝Um_La

D.若m_l-a,n±p,m±n,贝！］a±P

选CD.A.若m//n,m//a,则n//a或nCa,故A不正确；B.若m,

n都与两平面的交线平行，也满足条件，但不能推出a〃「，故B不

正确；C.两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故

C正确；D.若m±a,n±p,m±n,则a_L0,故D正确.

7.（2021唐山高一检测）如图，在三棱锥S-ABC中，ZSBA=ZSCA

=90。,且4ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形包合出下列结论中，

正确的是（）

A.SB1AC

B.SB_L平面ABC

C.平面SBC，平面SAC

D.点C到平面SAB的距离为与a

选ABC.由于AC_LBC,AC±SC,SC,BCU平面SBC,SCABC=C,

所以AC_L平面SBC,

所以SB_LAC,故选项A正确；

前面已经证明AC,平面SBC,ACU平面SAC,所以平面53（31_平

面SAC,所以选项C正确；

因为SB1AC,SB1AB,AB,ACU平面ABC,ABAAC=A,所以

SBJ_平面ABC,故选项B正确；

取AB的中点D,连接CD,贝［JCD±AB,CD1SB，因为AB,SB

U平面SAB,ABASB=B，故CD_L平面SAB,则CD的长度即为点

C到平面SAB的距离，而CD=；a,故选项D错误.

三、填空题

8.已知/,m是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，有下列

四个结论：

①若/Up,且a±p,则/_La；②若Z±P,且a〃p,则/J_a；

③若/_1_0，且a_l_p，则/〃a；④若anp=m,且/〃m,则/〃a.

则所有正确结论的序号是________.

若/Up,,则/,a可以平行或相交,I也可能在平面a内，故①

错误；由面面平行的性质、线面垂直的判定方法，得②正确；若,

a_Lp则/〃a或/Ua,故③错误；若aPlp=m,I//m,则/〃a或/Ua,

故④错误.所以正确结论的序号是②.

答案：②

四、解答题

9.如图所示，已知圆锥的顶点为S,AB为底面圆O的直径，点D

为线段AB上一点，且AD=；DB,点C为圆0上一点，且BC=仍

AC,P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D,求证

PALCD.

【证明】连接co（图略），由3AD=DB知，D为AO的中点，

又AB为圆O的直径，所以AC1CB,

由小AC=BC矢口，ZCAB=60°,

所以△ACO为等边三角形,从而CD±AO.

因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D,

所以PD_L平面ABC,又CDU平面ABC,

所以PD±CD，由PDCIAO=D得,CDd_平面PAB又PAU平面PAB,

所以PAJ_CD.

综合突破练

一、选择题

1.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面a内，且ACJ_PC,平面

PACJ_平面PBC,点P,A,B是定点，则动点C的轨迹是（）

A.一条线段

B.一条直线

C.一个圆

D.一个圆，但要去掉两个点

选D.因为平面PAC,平面PBCAC±PC，平面PACn平面PBC=PC,

ACU平面PAC,所以AC_L平面PBC又因为BCU平面PBC,所以

ACLBC.所以/ACB=90。.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，

除去A和B两点.

2.如图所示,将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一

个二面角，此时NBAC=60°,那么这个二面角大小是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

选D.连接B'C,则^ABC为等边三角形,

A

B'

设AD=a，则BC=AC二娘a,B，D=DC=a,

所以B，C2=BT）2+DC2,

所以NB，DC=90。.

3.（多选）（2021•泉州高一检测）如图菱形ABCD中，AB=2,ZDAB

二60。，E是AB的中点，将^ADE沿直线DE翻折至△A,DE的位置

后，连接AC,AiB.若F是A.C的中点,则在翻折过程中，下列说

法正确的有（）

A.异面直线AiE与DC所成的角不断变大

B.二面角ArDC-E的平面角恒为45°

C.点F到平面A1EB的距离恒为苧

D.当Ai在平面EBCD的投影为E点时，直线AiC与平面EBCD所

成角最大

选CD.因为DC〃AB，可知NAFB或其补角即是异面直线A.E与DC

所成的角，

在翻折的过程中，异面直线A.E与DC所成的角是先增大后减小，所

以选项A不正确；

二面角Ai-DC-E的平面角不是定值，所以选项B不正确；

因为F是AiC的中点，所以F到平面A.EB的距离是C到平面AiEB

的距离的一半，

因为DC〃EB,DCQ平面AiEB,EBU平面AiEB,所以DC〃平面

AiBE,

所以C到平面A.EB的距离等于D到平面AiEB的距离，

又因为DELEB,DE±EA,,EAiAEB=E,

所以DE,平面AiEB,易知DE=S,

所以点D到平面A.EB的距离为小，

即点F到平面A.EB的距离恒为晋，所以选项C正确；

因为DE_L平面AiEB,DEU平面DEBC,所以平面A]EB_L平面

DEBC,

平面AiEBCl平面DEBC=EB,在平面AiEB中，作A1H1EB,垂足

为H，则AiH_L平面DEBC直线AC与平面EBCD所成角为NACH,

因为AiH<AiE,当且仅当A.在平面EBCD的投影为E点时，取到等

号,此时直线AiC与平面EBCD所成角最大,所以选项D正确.

二、填空题

4.如图，把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60。的二面角，

这时顶点A到BC的距离是________.

在翻折后的图形中，ZBDC为二面角B-AD-C的平面角，

即NBDC=60。，AD，平面BDC.

过D作DE±BC于E,连接AE,

则E为BC的中点，且AE±BC,

所以AE即为点A到BC的距离.

易知，AD二坐a,△BCD是边长为微的等边三角形，

所以DE=乎a,AE=AD2+DE2=a.

答案中a

5.如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一

边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺

边是否和这个面密合就可以了，其原理是_______.

如图：因为OA±OB,OA±OC,OBcp,OCup且OBnOC=O,

根据线面垂直的判定定理，可得OA_L「，又OAUa,根据两平面垂

直的判定定理，可得a_LB.

答案：两平面垂直的判定定理

6.在空间四边形ABCD中,平面ABDJ_平面BCD,ZBAD=90°,

且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是_________.

如图，过A作AO1BD于。点，

因为平面ABDJ_平面BCD,所以AO_L平面BCD,则NADO即为

AD与平面BCD所成的角.

因为/BAD=90。，AB=AD.所以NADO=45。.

答案：45°

7.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，

ZBCD=60°,E是CD的中点，PA_L底面ABCD,PA=2.

(1)平面PBE与平面PAB的位置关系是________；

⑵平面PAD和平面PBE所成的二面角的正弦值为.

⑴连接BD.

因为四边形ABCD是菱形，ZBCD=60°,

所以△BCD是等边三角形，

因为E是CD的中点，所以BEJ_CD,所以BEJ_AB.

因为PA,平面ABCD,BEU平面ABCD,所以PA±BE,

又PAU平面PAB,ABU平面PAB,PAAAB=A,

所以BE_L平面PAB,

又BEU平面PBE,所以平面PBEJ_平面PAB.

⑵延长AD,BE相交于点F,连接PF,过点A作AH±PB于H,

由⑴知平面PBEJ_平面PAB,

所以AH_L平面PBE.PFU平面PBE，贝JAH_LPF,

在RtAABF中,因为ZBAF=60°,

所以AF=2AB=2=AP.

在等腰RtAPAF中，取PF的中点G,连接AG,

则AG1PF，连接HGAGAAH=A,AGU平面AGHAHU平面AGH,

所以PFJ_平面AGH,所以PF1HG,

所以NAGH是平面PAD和平面PBE所成的二面角的平面角（锐角）.

在等腰R3AGP中，AG*AP=g,

在RtZkPAB中，AH二”等JKPAB_2__2^5

-^AP2+AB2巾5

2小

所以，在RtAAHG中，sinZAGH=然=泉~=

故平面PAD和平面PBE所成的二面角的正弦值为手.

答案：（1）垂直⑵芈

三、解答题

8.如图，在三棱锥ABCD中，ABLAD,BC_LBD,平面ABDJ_平

面BCD,点E,F（E与A,D不重合）分别在棱AD,BD上，且EF1AD.

求证：（1）EF〃平面ABC；

(2)AD±AC.

【解题指南】(1)根据ABJ_AD,EF±AD，可得EF〃AB，从而得EF〃

平面ABC.

(2)证明BC±AD,再由AB±AD,从而可得AD,平面ABC,即得

AD±AC.

【证明】(1)在平面