2021-2022学年数学苏教版必修第二册学案：第9章向量平行的坐标表示

9.3.3向量平行的坐标表示

xp

「心能用坐标表示向情平行的充要条件.

标准

》基础认知•自主学习④

概念认知

向量平行的坐标表示

xi,yi),b=(X2,y2)

条件a=,其中b#)

结论向量a,b(b#))平行的充要条件是耳1丫2-X2W=0

自我小测

1.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a〃b，则m等于()

A.-1B.-2

C.-1或3D.0或-2

选C.由已知得-(2m+3)+m2=0,所以m=-1或m=3.

2.在以BCD中，At)=(3,7),二(-2,3),对称中心为O,

则CO等于()

A5)B-5)

C.(，-5)D.,5)

选B.CO=-；At=-；(At)+Afe)

=-；(1,10)=(-；,-5).

3.已知点A(-l,-5)和向量a=(2,3),若A6=3a,则点B的坐

标为.

设o为坐标原点，因为0A=(-1,-5),◎=3a=(6,9),故O6

=OA+Afi=(5,4),

故点B的坐标为(5,4).

答案：(5,4)

4.向量a=(n,1)与b=(4,n)共线且方向相同，则n=.

因为a//b,所以*-4=0,n=2ngn=-2,又a与b方向相

同，所以n=2.

答案：2

5.已知A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上，且融|=2|Pfi

I,求点P的坐标.

设P(x,y),则由府|二2腔|

得碇=2PB或◎=-2Pfi.

若0=2pB,贝!J(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y).

X-3=-2-2x,x=T,q>

所以解得3，故P1，0.

；

[y+4=4-2y.[y=0B

fx=-5,

若碇=-2PB,同理可解得<

ly=8,

故P(-5,8).

为学情诊断•课时测评《

基础全面练

一、单选题

1.已知向量a=(l,3),b=(2,1),若a+2b与3a+入b平行,则X

的值等于()

A.-6B.6C.2D.-2

选B.a+2b=(5,5),3a+Xb=(3+2X,9+九),由条件知，5x(9+十

-5x(3+2X)=0,所以九二6.

2.已知a=(-2,1-cos0),b=(1+cos0,-；)，且a〃b,则锐角

。等于()

A.45°B.30°

C.60°D.30。或60°

(n1

选A.由a〃b得-2x[-aj=1-cos20=sin20,sin20=，因为6

为锐角，

所以sinG=乎,所以0=45°.

3.已知向量a=(X+1,1]与向量b=(x2,2x洪线，则实数x的值

为()

A.-3B.-3或0

C.3D.3或0

选B.向量a=[x+|,1]与向量b=(x2,2x)共线，则2x[x+j]-x2

=0,即x?+3x=0,解得x=0sJ6x=-3,所以实数x的值为-3或

0.

二、填空题

4.已知A,B,C三点共线，且A(1,2),B(2,4),若C点的横坐

标为6,则C点的纵坐标为.

设C(6,y),因为A,B,C三点共线，所以&〃At,

又A6=(1,2),At=(5,y-2),

所以lx(y-2)-2x5=0.所以y=12.

答案：12

5.在平面直角坐标系中,O为原点，点A(4,-2),点P满足讨=

-3Px,则点P的坐标为.

设P(x,y),因为讨=-3pA,

所以(x,y)=-3(4-x,-2-y),

(x,y)=(-12+3x,6+3y),

x=-12+3x,fx=6,

解得所以P(6,-3).

y=6+3y,[y=-3,

答案：(6,-3)

三、解答题

6.已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).A6与Ct)是否共

线？如果共线，它们的方向相同还是相反？

成=(0,4)-(2,1)=(-2,3),

Ct)=(5,-3)-(1,3)=(4,-6),

因为(-2)x(-6)-3x4=0,

所以电，Ct)共线.

又Ct)=-2Afi,所以期,Ct)方向相反.

综上，电与Ct)共线且方向相反.

综合突破练

一、选择题

1.在AABC中，点P在BC上，且加=2Pt，点Q是AC的中点，

若腐=(4,3),PQ=(1,5),则等于()

A.(-2,7)B.(-6,21)

C.(2,-7)D.(6,-21)

选B.因为点Q是AC的中点,

所以PQ=；(瓜+闷，所以Pt=2PQ-PA,

因为腐=(4,3)=(1,5),

所以Pt=(-2,7),又磔=2PC,

所以Bt=3Pt=(-6,21).

2.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中，正确的个数是

()

①存在实数x，使a〃b；

②存在实数x，使(a+b)〃a；

③存在实数x,m,使(ma+b)〃a；

④存在实数x,m,使(ma+b)〃b.

A.0B.1C.2D.3

选B.由a〃b得x2=-9,无实数解，①不对；又a+b=(x-3,3+

x),由(a+b)〃a得3(x-3)-x(3+x)=0,BPx2=-9,无实数解,②

不对；

因为ma+b=(mx-3,3m+x),

而(ma+b)〃a,所以(3m+x)x-3(mx-3)=0,BPx2=-9,无实数

解,③不对；由(ma+b)〃b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2

+9)=0,所以m=0,xeR,④正确，综上，正确的个数为1.

3.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾

股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,

被后人称为“赵爽弦图”.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直

角三角形和中间的小正方形组成的，若期=a,At)=b,E为BF

的中点，则建=()

4224

A.ga+5bB.ga+5b

「4224

C.ga+gbD.ga+gb

【解题指南】建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,BE=x，则AE

=2x.利用勾股定理可得x,通过RtAABE的边角关系，可得E的坐

标，设建=mAfi+nAt),通过坐标运算性质即可得出.

选A.如图所示，建立平面直角坐标系.

不妨设AB=1,BE=x，则AE=2x.

所以x2+4x2=1,解得x=乎.

设NBAE=e,则sin0=坐,cos0=.

所以XE=¥8s相用著Sin海.

设At=mA^+nAt),

则修'D=m(l,0)+n(0,1).

4242

所以m=§,n=g.所以At=5a+5b.

4.(多选)下列向量中，与向量c=(2,3洪线的向量有()

选BCD.由向量平行的坐标表示，若a=(xi,yi),b=(X2,y2),则

a〃box】y2-X2yi=。可知，只有选项A与已知向量不共线.

二、填空题

5.已知三点A(-2,-2),B(0,m),C(n,0)(mn#0)，若A,B,C

三点共线，则A+~的值为；若期±At，则m,n满足

因为A,B,C三点共线，所以期〃At,

因为ATfe=(2,m+2),At=(n+2,2),

所以4-(m+2)(n+2)=0,

所以mn+2m+2n=0,因为mn#O,

111

'所八以八—m+—n=-2o-

因为Afe±At,

所以2(n+2)+2(m+2)=0,所以m+n+4=0.

答案：m+n+4=0

6.已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),若&=+?iAt(XeR),

且点P在第一、三象限的角平分线上，则九二.

因为碇=Aft+入At,

所以3=OA+=OA+期+XAt=3+入At=(5,4)+

九(5,7)=(5+5入，4+7k),

由题意，可知5+5入=4+7入，得入=；.

答案：;

三、解答题

7.已知点0(0,0),A(1,3),B(4,5)及8=0A+tAfe.

(Dt为何值时，P在第二象限？

(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应t的值；若不

能，请说明理由.

_1+3t<0,

⑴易知期=(3,2),从而>=(l+3t,3+2t).T^得

3+2t>0,

⑵若四边形OABP能成为平行四边形，则有OP=A6,从而

fl+3t=3,

《这是不可能的.

[3+2t=2,

所以四边形OABP不能成为平行四边形.

法素养培优练。-

(60分钟100分)

一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对

但不全的得2分，有选错的得0分)

2一一1_

1.如图,在^ABC中,At)At,=gBt),若@=

九

入期+，则口=()

c

/

A.-3B.3C.2D.-2

选B.因为B?=|Bt)=|(At)-Afe).

、2、

又因为At)=gAt,

所以吩=|修At＞闻2fIf

=gAt-g,

21

所以二期+GAtAft

yJ

22

-磋+-

39At

又邓=入期+MC且期与At不共线,

所以入=|,=1.则W=3.

2.如图，以e1，e2为基底，目ei=(1,0),e2=(0,1),则向量a的

坐标为()

A.(1,3)B.(3,1)

C.(-1,-3)D.(-3,-1)

选A.因为e—e?分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，由题

图可知a=ei+3e2,根据平面向量坐标的定义可知a=(l,3).

3.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a-(2a-b)=0,贝!Jk=()

A.-12B.-6C.6D.12

选D.2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a-(2a-b)=0,得(2,

1)-(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.

4.已知向量a=(2,2),b=(x,4)，若(3a+4b)〃(5b-a),则x=()

A.2B.3C.4D.5

选C.由向量a=(2,2),b=(x,4),

所以3a+4b=(6+4x,22),5b-a=(5x-2,18)；

又(3a+4b)〃(5b-a),

所以18(6+4x)-22(5x-2)=0,解得x=4.

5.已知在△ABC中，ZC=90°,AB=2AC=4,点D沿A-C—B

运动，则At)Bt)的最小值是()

A.-3B.-1C.1D.3

选A.方法一:在△ABC中NC=90。,AB=2AC=4，可得BC=2小，

当点D在AC上运动时，

设At)(0<X<l),

则Ct)=(X-1)At，所以At)Bt)=At)-(BC+Ct))=At)Bt+

At)Ct),

又因为NC=90°,所以AD_LBC,

所以At)=0,

所以At)Bt)=At)Ct)=X(X-1)At2=

4b-自2_i，当入巳时，电碗取得最小值-1.

当点D在BC上运动时，

设Ht)=XBt(0<X<l),则Ct)=(入-1)Ht,

所以At)Bt)=(At+Ct))Bt)=AtBt)+Ct)Bt)，又因为NC

=90°,

所以ACJ_BD,所以AtBt)=0,所以At)Bt)=Ct)Bt)=

-1)2=12k-2-3,

当人=；时，At)砒取得最小值-3,

综上可得，At)Bt)的最小值是-3.

方法二：如图建立坐标系,则A(0,-2),BQ小,0),

设D(x,y),若D在AC上运动，则D(0,y)(-2<y<0),At)=(0,y

+2),Bt)=(-2^3,y),

所以At)Bt)=y(y+2)=y2+2y=(y+I)2-1,

当y=-1时，取最小值-1；

若D在CB上运动，则D(x,0)(0<x<2V3),

At)=(x,2),Bt)=(x-2s,0),

所以At)Bt)=x(x-2小)=x2-2小x=(x-巾)2-3,

当x二小时，取最小值-3.

综上知，At)Bt)的最小值为-3.

6.已知平面向量a,b满足|a|=|a-b|=1,则13a-2bl+|a+b|

的最大值为（）

A.4B.2小

C.3+2小D.6

选B.因为|a|=|a-b|=1,

设a,b的夹角为。，

所以|a|2=|a-b|2=|a|2-2|a||b|cos0+|b|2=1,

则|b|=2cos0,

令t=cos0,y[-1,1,

所以|b|=2t,

则13a-2bl=-\J(3a-2b

=^9|a(2-12|a||b|t+4|b|2

=勺9-24t2+16t2=y^9-8t2,

|a+b|=N(a+bp=^|a|2+2|a||b|t+|b|2

=y1+4t2+4t2=1+8t2,

所以|3a-2bl+|a+b|=-8t2+1+8t2，利用基本不等式知

-y-=a+b<^2(a2+b2),则3-8t2+1+8t2

<^2(9-8t2+1+8t2)=2小,

当且仅当-8t2;5+非时取等号，此时t=±半.则13a-2bl

+Ia+b|的最大值为2小.

7.（多选）在^ABC中，期=（2,3）,At=（1,k）,若^ABC是直

角三角形，则k的值可能为（）

211

A.*B,y

选ABC因为期=(2,3),At=(1,k),

所以=At-期=(-1,k-3).

若A=90°,则ASAt=2x1+3xk=0,

所以k=J2；

若B=90。，贝!jATfeBt=2x(-1)+3(k-3)=0,

所以k=?；

若C=90。，则At=1x(-l)+k(k-3)=0,

所以k二四算.

故所求k的值为-|或号或.

8.(多选)若角a顶点在坐标原点O,始边与x轴的正半轴重合，点P

在a的终边上，点Q(-3,-4),且tana=-2,则6与8夹角的

余弦值可能为（）

AWB小

C.一半D.坐

选CD.因为tana=-2,

所以可设P(x,-2x),

__5x_

cos〈6,8〉=——

gig5巾|x|

当x>o时,cos〈m,8)=坐；

当x<0时，cos〈OP,(X))=-W.

9.(多选)如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成角的两条数

轴，自，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐

标系xOy为0仿射坐标系，若0K1=xei+ye?,则把有序数对(x,y)

叫作向量E的仿射坐标，记为g=(x,y)在。=号的仿射坐标

系中，a=(l,2),b=(2,-1).则下列结论中，正确的是()

A.a-b=(-l,3)

C.alb

选AD.a-b=(e1+2e2)-(2ei-e?)

=-ei+3e2,则a-b=(-1,3)，故A正确；

2

|a|=AJ(e]+2e2)=+4eie2+4el

='5+4cos1=小，故B错误；

3

22

a-b=(ei+2e2)-(2ei-e2)=2ei+3ei-e2-2e2=-y，故C错误;

由于|b|

3

二小，故需=勺|二一呼，故D正确•

二、填空题(每小题5分，共15分)

10.设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量Xa+b与向量c=(-4,

-7)共线，贝!]入=.

入a+b=(入+2/2k+3),

所以-4(2入+3)=-7(入+2).

所以-8入-12=-7X-14,所以入=2.

答案：2

11.已知向量a=(2,1),b=(-1,3)，若存在向量c,使得a.c=

6,b・c=4,则2c-a=.

设c=(x,y),

因为ac=6,be=4,

f2x+y=6fx=2

<，解得

[-x+3y=4[y=2

所以c=（2,2）,

则2c-a=（2,3）.

答案：（2,3）

12.如图，在△ABC中，■=gNt若硒=XAt，则入的值为

,P是BN上的一点，若舒=|Afe+mAt,则m的值

如图在△ABC中，界！=|Nt.

所以糜1=1At，故入=".

由于点B,P,N三点共线.所以0=tPKl,

t

期

邓

◎+故

=4-At

1

解得

以

=0+--所

\Ac

1+t4H+

17

答案1

--

6

4

分)

共40

分，

题10

(每小

解答题

三、

2

兀

角是Q

的夹

,b

向量a

面非零

已知平

13.

|；

，求|b

=巾

b|

a+2

1,|

|a|=

⑴若

单位

线的

b共

与a-

并求

值，

t的

),求

(t,小

,b=

,0)

=(2

⑵若a

标.

e的坐

向量

2

i,

是17

夹角

b的

量a,

⑴向

2

2

2

2

|+

1+4|b

ab=

+4

(2b)

(a)+

)=

+2b

，得(a

=巾

2bl

由|a+

27r

.

,

=7

cosy

4|b|

3

去，

-1舍

|=

"b

问=2

解得

3

.

|

所以|b

),

,y/3

=(t

),b

(2,0

(2)a=

-2

兀

是g

夹角

b的

量a,

由向

去,

1舍

1,t=

t=-

,解彳导

=

----

--:-

=---

j,।

r=,f

s|7

彳导co

2

2+3

2x4

|

|a|x|b

3