江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题【含答案】

高二年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算（

）A．20 B．21 C．35 D．362．已知样本数据，，…，的平均数为5，则，，…，的平均数为（

）A．6 B．7 C．15 D．163．下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（

）得分78910111314频数4246242A．13.5 B．10.5 C．12 D．134．已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．，，则 D．若，，则5．已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（

）A． B．C． D．6．已知随机事件，，，，，则（

）A． B． C． D．7．已知，则的值为（

）A．255 B．256 C．511 D．5128．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列选项中叙述正确的有（

）A．在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系B．在公式中，变量与之间不具有相关关系C．相关系数时变量间的相关程度弱于时变量间的相关程度D．某小区所有家庭年收入（万元）与年支出（万元）具有相关关系，其线性回归方程为．若，，则．10．已知点，，，平面经过线段的中点，且与直线垂直，下列选项中叙述正确的有（

）A．线段的长为36B．点在平面内C．线段的中点的坐标为D．直线与平面所成角的正弦值为11．甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为、，方差为、，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知随机变量服从正态分布，若，则．13．如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有种．14．如图，已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，，为中点，，则三棱锥的外接球表面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．(1)证明展开式中不存在常数项；(2)求展开式中所有的有理项．16．某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到，两个班级招募新社员．(1)求到班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；(2)设到，两班招募新社员的男生人数分别为，，记，求的分布列和方差．17．如图，正三棱柱中，为的中点．(1)求证：平面；(2)当的值为多少时，平面?请给出证明．18．会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：年龄段满意度合计满意不满意不高于40岁502070高于40岁25530合计7525100(1)问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关；(2)用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为，求的分布列和数学期望．参考公式：（其中）．参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为．(1)求证：；(2)若，求三棱台的体积；(3)若到平面的距离为，求的值．1．B【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.【详解】由组合数计算公式可得.故选：B2．B【分析】根据平均数的性质即可得的平均数为，则可得到新的一组数据的平均数.【详解】由题意，样本数据，，…，的平均数为5，设的平均数为，即，解得，根据平均数的性质知，，…，的平均数为.故选：B.3．D【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为，24个班级的得分按照从小到大排序，可得80百分位数是第20个数为13.故选：D4．C【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题.【详解】若，，则或，则A错；若，，则或与异面，则B错；，，由平行的传递性可知，，则C对；若，，则或相交.，D错，故选：C.5．D【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.【详解】由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数使得，且，显然选项A，C不成立；对于选项B，由可得，不合题意，即B错误；对于D，化简可得，满足，可得D正确；故选：D6．A【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，，，则，则.故选：A7．A【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令求出，分别令、，再两式相加可得，再减去即可.【详解】令，得，令，得，令，得，两式相加得，得，则.故选：A.8．C【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即可求解.【详解】记事件A表示甲车间生产的产品，记事件表示乙车间生产的产品，记事件表示丙车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，则,，取到次品的概率为，若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：.故选：C9．ACD【分析】根据相关关系的定义和性质可判断AB的正误，根据相关系数的性质可判断C的正误，根据回归方程的性质可判断D的正误.【详解】对于A，在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高，故两者之间具有正相关关系，故A正确.对于B，变量与之间是函数关系，不是相关关系，故B错误.对于C，因为，故相关系数时变量间的相关程度弱于时变量间的相关程度，故C正确.对于D，因为回归直线过，故，故，故D正确.故选：ACD.10．BCD【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段的长，判断A；由平面，垂足为点，，即可判断B；由中点坐标公式可得点的坐标，判断C；设直线与平面所成的角为，，通过坐标运算可得，判断D.【详解】因为点，，所以,故A错误；设点的坐标为，因为为线段的中点，所以，则的坐标为，故C正确；因为点，则，又，则，所以，即，又平面，垂足为点，即平面，所以平面，故B正确；由，，得，设直线与平面所成的角为，则，故D正确.故选：BCD.11．ABD【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知，利用期望值和方差性质可得A，D正确，C错误；易知随机变量的所有可能取值为，写出对应的概率并得出分布列，可得，，可得B正确.【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为，不管如何交换红球个数始终只有5个，易知，对于A，由期望值性质可得，即，所以A正确；对于B，易知随机变量的所有可能取值为；当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得，当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得；当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得，随机变量的分布列为01234所以期望值，可得，即，可得B正确；对于C，D，由方差性质可得，即可得，所以C错误，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足，利用期望值和方差性质可判断出AD选项，再求出随机变量的分布列可得结论.12．##【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可.【详解】因为随机变量服从正态分布，，所以,故答案为：13．72【分析】由图形可知点比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点开始涂色计算可得结果.【详解】根据题意按照的顺序分5步进行涂色，第一步，点的涂色有种，第二步，点的颜色与不同，其涂色有种，第三步，点的颜色与都不同，其涂色有种，第四步，对点涂色，当同色时，点有1种选择；当不同色时，点有1种选择；第五步，对点涂色，当同色时，点有2种选择；当不同色时，点有1种选择；根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有种.故答案为：7214．##【分析】设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为，连接，的外接圆的圆心为，连接，，可证四边形为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.【详解】因为为等边三角形，为中点，故，而，，平面，所以平面.设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为，连接，设的外接圆的圆心为，连接，，则平面，故，故共面，而平面，故，故四边形为矩形.又，而，故外接球半径为，故外接球的表面积为，故答案为：15．(1)证明见解析；(2)，，，.【分析】（1）根据题意可求得，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；（2）由二项展开式的通项令的指数为整数即可解得合适的值，求出所有的有理项.【详解】（1）易知第2，3，4项的二项式系数依次为，可得，即，整理得，解得或（舍）；所以二项式为，假设第项为常数项，其中，即可得为常数项，所以，解得，不合题意；即假设不成立，所以展开式中不存在常数项；（2）由（1）可知，二项展开式的通项可得，其中的有理项需满足，即，且；当，此时有理项为；当，此时有理项为；当，此时有理项为；当，此时有理项为；综上可知，展开式中所有的有理项为，，，.16．(1)(2)【分析】（1）由古典概型的概率求解；（2）由题意，的可能取值为，算出对应概率，，，即可列出的分布列，再求出，进而由公式求出方差．【详解】（1）到班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为.（2）由题意，的可能取值为，则，，，所以的分布列为则，所以.17．(1)证明见答案.(2)【分析】（1）连接,交于点，连接，能证出，则能证出平面.（2）先把平面当做条件，得出，得出的值，过程要正面分析.【详解】（1）连接,交于点，连接，因为是的中点，为的中点，所以是的中位线，即,平面，平面，所以平面.（2）时，平面，证明如下：因为，，，，，，即.因为三棱柱为正三棱柱，为正三角形，且平面，，，平面，平面，平面，因为平面，所以，，平面，平面..18．(1)不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关.(2)分布列见解析；.【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算值，然后对照表格得到结论；（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为，且，根据二项分布公式即可求解．【详解】（1）由列联表可知：，所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关.（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为，且，则，可得：，，，，故的分布列如图：X0123P可得.19．(1)证明见解析；(2)(3)【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得平面，可证明结论；（2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；（3）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出的值.【详解】（1）取的中点为，连接；如下图所示：易知平面平面，且平面平面，平面平面；所以，又因为，可得四边形为等腰梯形，且分别为的中点，所以，因为，所以，易知，且平面，所以平面，又平面，所以；（2）由二面角定义可得，二面角的平面角即为