八年级数学培优竞赛 总结方法

八年级数学专题培优竞赛总结方法

八年级数学专题培优竞赛总结方法专题一：相似三角形

一、基础检测：

1.如图1,ZADC=ZACB=9OO,Z1=ZB,AC=5,AB=6J1|JAD=.

2.如图2,AD〃EF〃BC,则图的相似三角形共有对

3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BMJ_CE,AB=6,CE=3

4.AABC的三边长为,,2,&\上（，的两边为1和，则BM=.，若△ABCsAYB'C,则

△A，B，C'的笫三边长为.

5.两个相似三角形的面积之比为1：5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为.

6.如图4,RtAABC中,NC=900,D为AB的中点,DE_LAB,AB=20,AC=12厕四边形ADEC的

面积为.

7.如图5,RtAABC中,NACB=900,CD_LAB,AC=8,BC=6,则

AD=CD=.

8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=.

9.如图7,AABC中,/A=NDBC,BC=,SABCD:SAABC=2：3,则CD=.

10.如图8,梯形ABCD中,AD〃BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF_LBC,AD=3.6,-

BC=6,EF=3,则PF=.

11.如图9,AABC中,DE〃BC,AD:DB=2：3,则SAADE:SAABE

12.如图10,正方形ABCD内接于等腰APQR,/P=900,则PA:AQ=.

13.如图11,AABC中,DE〃FG〃BC,AD：DF：FB=1：2：3,

则S四边形DFGE：S四边形FBCG=.

14.如图12,AABC中，中线BD与CE相交于O点,SAADE=1厕S四边形BCDE=.

二、简单解答：

15.已知:如图,AABC中,CEJ_AB,BFJLAC.

求证:AAEFSAACB.

16.已知:如图,AABC中,NABC=2NC,BD平分NABC.

求证:AB-BC=ACCD.

17.已知:AACB为等腰直角三角形，NACB=900延长BA至E,延长AB至F,ZECF=1350

求证：AEAC^ACBF

18.已知:如图,AABC中,AD=DB,/l=/2.求证:AABCsA

EAD.

19.已知:如图,CE是RtAABC的斜边AB上的高,BGJ_AP.

求证:(1)CE2=AE-EB;

(2)AE-EB=ED-

EP

专题二：多边形与平行四边形

1、我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则

把

这对顶点叫做这个四边形的一对等高点.

例如：如图1,平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是

平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高

点.

（1）如图2,已知平行四边形ABCD,请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形

ABCE（要求：画出必要的辅助线）；

（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图

3、图4中S1,S2,S3,S4四者之间的等量关系（S1,S2,S3,S4分别表示△ABP,ACBP,ACDP,

△ADP的面积）：

①如图3,当四边形ABCD只有一对等高点A、C时,你得到的一个结论是；

②如图4,当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是

AA

B

BS1S2S4S

1DBPS4S2

2、四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到

另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点、如图1,点P为四

边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB,PA彳PC,则点P为四边形ABCD的准

等距点.

(1)如图2,画出菱形ABCD的一个准等距点.

(2)如图3,作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法).

(3)如图4,在四边形ABCD中，P是AC上的点，PArPC,延长BP交CD于点E,延长

DP交BC于点F,且NCDF=NCBE,CE=CF,试说明：点P是四边形ABCD的准等距

点.

(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必

证明).

3、如图1,P为RtZ\ABC所在平面A

4、如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm,ZA=60°,BD±AD.一动点P从A出发,

以每秒1cm的速度沿ATB—C的路线匀速运动，过点P作直线PM,使PMLAD.

(1)当点P运动2秒时，设直线

PM与

AD相交于点

E

,求aAPE的面积；

(2)当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿ATBTC的路线运动，且在AB上以

每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN,使QN

〃PM.设点Q运动的时间为t秒(OMRO),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的

面积为Scm2.

①求S关于t的函数关系式；

②求S的最大值.

M图1BEMMM

5、如图，ABCD是矩形纸片，翻折/B、ND,使BC、AD恰好落在AC上、设F、H分

别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点、(1)试说明：

四边形AECG是平行四边形；

口6(2)若人8=«01,BC=3cm,求线段EF的长、

F

C

专题三：不等式与不等式组

一、基础探究

1、下列四个命题①若a>b,则a+l>b+l；②若a>b,则a—〉b-1；③若a>b，则

2a<-2b；④若a>b,则2a<2b.其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2、如果2m、m、l-m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么m的取

值范围是()A.m>0B.m>0.5C.m<0D.0<m<0.53>

若不等式组

有解，则

a的取值范围是

()

A.・.a<lD.

,和点，0),直线过点A,则不等式4、如图，直线经过点

()

A.

的

B.

解C.

集D.

为

5、不等式组的解集是

6、如果不等式组的解集是，那么的值为

7、已知.（1）若，则a的取值范围是.（2）若，且，则

______「8、已知关于x的不等式组

2

2

只有四个整数解，则实数a的取值范围是

9、已知关于x、y的方程组的解满足x<y<O,求m的范围.

10、小刚想给小东打电话，但忘了电话号码中的一位数字，只记得号码是284口9456（□表

,示忘记的数字）.若口位置的数字是不等式组的整数解，求□可能表示的数

字.

11、已知不等式组，求（x+y）（x-xy+y）的值.3的整数解a满足

12、我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3m/s的时间共约160天,

其中日平均风速不小于6m/s的时间约占60天，为了充分利用风能这种“绿色能源”，该地拟

建一个小型风力发电场，决定选用A、B两种型号的风力发电机.根

A

型风力发电机一年的发电总量至少为kWh；

（2）已知A型风力发电机每台0.3万元,B型风力发电机每台0.2万元，该发电场拟购置风力

发电机共10台，希望购置的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电总量不少于

102000kW.h,请你提供符合条件的购机方案。

13、我县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运

A、

B、C三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运

每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果

重量之和.

（1）设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求

y与x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围.

（2）最大利润时的车辆分配方案.

二、能力提升

14、解方程由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1

和一2的距离之和为5的点对应的x的值.在数轴上，1和一2的距离为3,满足方程的x

对应点在1的右边或一2的左边，若x对应点在1的右边，由图（17）可以看出x=2；同理,

若x对应点在一2的左边，可得x=-3,故原方程的解是x=2

或x=—3

012参考阅读材料，解答下列问题：-2

（1）方程的解为

（2）解不等式；

（3）若对任意的x都成立，求a的取值范围

15、小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多(设为a人，a>8),

就站在A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍上，

B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。

(1)此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少(用含a的代数

式表示)？

(2)此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，且到达B窗口所花的

时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围(不考虑其它因素)。

16、“5T2”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A、B两个蔬菜基地得知四川

C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区.已

知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个

灾民安置点.从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D

两处的费用分别为每吨15元和18元.设从B地运往C处的蔬菜为x吨.

请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；

设A、B两个蔬菜基地的总运费为元，写出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运

方案；

经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元

(m>0),其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案.

17、某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中

70件给甲店,30

(1)设分配给甲店A型产品件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W(元)，求W

关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；

(2)若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设

计出来；

(3)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产

品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润.甲店的B型产品以及乙店的A,B型产品

的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？

专题四：综合几何总结方法

一、几何证明题中的几种基本方法：

1、等量代换法：

如图，已知中，，，点P为BC边上的一动点(BP<CP),

分别过点B,C作BEJ_AP于E,CF_LAP于F。

(1)求证：EF=CF-BE

(2)若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确

定

的数量关系？画图并直接写出你的结论。

E

2、倍长中线法：

(1)如图，AD是的角平分线，M为BC中点，ME〃AD交AB,CA的延长线于

E,

F,求证：BE=CF

BMDC

(2)如图，AD是的中线，AE1AC,AF±AB,且AE=AC,AF=AB,求证:

AD=1EF2

E

B

3、截长补短法：

(1)如图，正方形ABGE(四边相等，四个角都等于90。)，点D在BG上，且

求证：CD=CE+CB

EDG

C

AB

(2)如图，在上题中，若点D在EG的延长线上，点C在GB的延长线上，其余条件

不变，

求证：DE=BC+CD

G

D

C

综合运用：

1、点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为边在线段AB同侧作4ACD和aBCE,且

CA=CD,CB=CE,,,直线AE与BD交于点F。

E

DACB

E

ACB

AF

CB

2

图3

0(1)如图1,若,则

(2)如图2,若,则(用含的式子表示)

(3)将图2中的4ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一

条

线段上)，如图3,试探究与的数量关系，并证明。

2.如图，等腰Rt^ABC中，/BAC=900,AB=AC,点A、C分别在y轴、x轴上.且

点

A、点C的坐标分别为A(0,2)、(5,0).

(1)如图24,求点B的坐标；

(2)如图25,点P是第一、三象限的平分线PQ上的一动点，是否存在点P,使得aPAC

的面积是12,若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由；

(3)如图26,BF在AABC内部且过B点的任意一条射线，分别过A作AMJ_BF于M

点，过C作NCLBF于N点，写出BM、AM与NC之间的数量关系，并证明你的结论.

3、在平面直角坐标系中，点B的坐标为(-1,0),点C的坐标为(1,0),点D为第一

象限内一点，且/ABD=NACD.AE_LCD于E点.

(1)求证：DA平分NBDE；

(2)判断BD-CD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)若BD=5,AE=CD=3,求4ACE的面积。

4.如图1,0A=2,0B=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt^ABC.

(1)求C点的坐标；

图2

(2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点,

PA为腰作等腰Rtz^APD,过D作DE_Lx轴于E点，求OP-DE的值；

(3)如图3,已知点F坐标为(-4,-4),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作

RtAFGH,始终保持NGFH=900,FG与y轴负半轴交于点G(0,m),FH与x轴正半轴

交于点H(n,0),当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求m+n的值.

二、基础篇：

1、如图，4ABC的顶点均在坐标轴上，A(-4,0),D(0,1),且OD=OC,AD±BC,

则AADB的面积是

图1图2

2、如图，AD是4ABC的角平分线，DF_LAB于F,DE1AC于E,AB+AC=18,

求DF的长？

3、如图，点P为NABC角平分线上一点，D点和E点分别在AB和BC上，且PD=PE,

试探

究/BDP和NBEP的数量关系，并给出证明。

A

C

C

图4

图3

4、如图，ZXABC中，ZD=90°,DE垂直平分AB交CE于E,AB=2AC,BC=18cm,则

BE的长度是

5、已知：如图所示，BD为/ABC的平分线，AB=BC,点P在BD上，PMJ_AD于M,

•PN_LCD于N,判断PM与PN的关系.

AMCDN

图5

6、.AD是^ABC的边BC上的中线，AB=12,AC=8,则边BC的取值范围是；

中线AD的取值范围是.

三、提高篇：

7、如图，^