人教版新教材 物理必修第二册 第二章《匀变速直线运动的研究》2

2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系

——划重点之初升高暑假预习强化精细讲义

国/皆蟀黛

知识点1：匀速直线运动的位移

1.位移公式

x=vt,方向由起点指向终点。

2.v-t图像

8

6

4

2

0

Y

-S

如图所示，图线与t轴所围图形的面积在数值上等于物体在这段时间内的位

移的大小。当“面积”在t轴上方时，表示物体的位移与规定的正方向相同，位

移为正；当“面积”在t轴下方时，表示物体的位移与规定的正方向相反，位移

为负。

►►►

物

对相对位移的理解

图1图2

如图1所示，甲、乙同向运动，面积之差为甲、乙的相对位移;如图2所示,

甲、乙反向运动，面积之和为甲、乙的相对位移。

知识点2：匀变速直线运动的位移

1.微分思想在句变速直线运动的v-t图像中的应用

(1)微分思想是先把过程无限分割，以“不变”近似代替“变”，然后再

进行累加的思想。

如图所示，在勾变速直线运动中，速度时刻变化，但从图中可以看出，若^

t时间内速度的变化非常小，At内的运动就可近似看成匀速运动，Si=viAt,S由

fr=VlAt+V2At+V3At4-«s但每一个内的速度V都小于实际的速度，故S由机

只能粗略表示。〜to时间内的位移。

当△tTO时，各矩形面积之和趋近于V-t图线与t轴所围图形的面积，此面

积更能精确表示。〜to时间内的位移。

(2)匀变速直线运动的v-t图线与t轴所围图形的面积在数值上等于相应时

间内物体的位移，此结论可以推至任何直线运动。

2.匀变速直线运动的位移的表达式

(1)公式推导

如图所示，匀变速直线运动在0〜t时间内的位移在数值上等于直线AP与t

轴围成的梯形OAPQ的面积。

方法1:X=XI+X2=0A,0Q+—AR,RP=vot+—at•t,即位移x=vot+—at2o

222

方法2：x=；(OA+QP)XOQ,即X=；(vo+vjt,又丫=丫()+2、联立可

x=vot+」at?是匀变速直线运动的位移与时间的关系式。

2

(2)对x=vot+-at2的理解

2

①适用范围：位移-时间关系式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函

数关系，此关系式适用于加速度恒定的直线运动。

②矢量性：公式中x、vo、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，若

题目中未特殊说明，一■般选取初速度vo方向为正方向。若a与vo同向，a取正

值，物体做匀加速直线运动，若a与vo反向，a取负值，物体做匀减速直线运动，

计算出位移的正负表示位移的方向。

③公式的基本应用：公式中包含四个物理量，不涉及末速度，已知其中任意

三个物理量时，可求出剩余的一个物理量。公式中各物理量应取国际单位制单位。

巨

公式x=vot+—at2经常与公式v=vo+at联立使用，两公式中共有五个物理量,

2

已知任意三个物理量，可以求出剩余的两个物理量。

划1悬

（1）匀变速直线运动的v-t图像

如图所示，0〜tl时间内的位移XI取正值，tl〜t2时间内的位移X2取负值,

则0〜t2时间内的总位移为XI与X2的代数和，总路程为IXll+lX2lo

（2）匀加速直线运动的X-t图像

①匀加速直线运动的位移一时间图像为抛物线的一部分，位移与时间是二次

函数关系，位移不是随时间均匀增大的。

②由于曲线图像较为复杂，故一般应用化曲为直的思想，将x-t图像转化为

t-t图像再分析。

（3）位移一时间公式的适用范围

位移一时间公式既适用于匀加速直线运动（如图线①），也适用于匀减速直

线运动（如图线②），图线③整体上不是匀加速直线运动，也不是匀减速直线运

动，但它是加速度恒定的匀变速直线运动，公式也适用。

（4）位移公式的两种特殊形式

①当a=0时，x=vot（匀速直线运动）。

②当vo=O时，x=-at2,即位移与时间的平方成正比。

2

（5）匀减速直线运动的位移表达式

物体做匀减速直线运动，a与vo反向，a取负值，位移表达式可以写成

x=vot--at2（a代入的数值应为正值），也可以写成x=vot+'at2（a代入的数值应

22

为负值）。

逆向思维法：末速度为零的匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动。

（1）汽车刹车问题、子弹射入木块问题、物体在斜面上上滑到最高点问题

均可以利用逆向思维法求解。

（2）对匀加速直线运动，若不知道初速度大小，只知道末速度大小为v,

加速度为a,则时间t内的位移也可以逆向表示为x=vt--at2o

2

典例分东

【典例1］冰壶是冬奥会的一个竞赛项目。如图为我国运动员在北京冬奥会比赛

中投掷冰壶的情形，冰壶以某一初速度被投出后做匀减速直线运动，用时16s停

止，已知停止运动前最后1s内位移大小为0.2m,则冰壶的初速度大小为（）

A.5.4m/sB.6.4m/sC.7.2m/sD.9.0m/s

【典例2】从静止开始做匀加速直线运动的物体，通过前一半位移和后一半位移

所用时间的比值为（）

A.B.1:（＞/2+1）

C.1:72D.72:1

【典例3】一个质点在*轴上运动，位置随时间的变化规律是x=4f+2/m,关于

这个质点的运动，以下说法正确的是（）

A.质点做匀速直线运动

B.质点的加速度的大小为4m/s2,方向沿x轴正方向

C.r=2s时质点的位置在x=12m处

D.f=2s时质点的速度大小为16m/s,方向沿X轴正方向

【典例4】如图（a）所示，甲、乙两车在同一平直公路上同向行驶，f=0时刻两

车刚好相遇，两车的速度随时间变化的图像如图（b）所示，下列说法正确的是

)

A.在f=3s耐，两车再次相遇

B.在r=5s时，甲、乙两车速度相同

C.在3s5s这段时间内，甲车的加速度先变大后变小

D.在05s这段时间内，乙车做匀速直线运动

【典例5]一个物块在光滑的水平面上受到水平恒力F的作用，从静止开始做匀

加速直线运动，计时开始的5T图像如甲所示v2-x图像如图乙所示，据图像的特

点与信息分析，下列说法正确的是（）

A.x=lm时物体的速度为8m/s

B.图乙的斜率是图甲的斜率的2倍

C.图甲中的y=8m/s

D.t=ls时物体的速度为4m/s

【典例6】某物体做匀加速直线运动，其初速度为2.25m/s,加速度为O.lm/s"求:

（1）物体在3s内的位移；

（2）物体在第3s内的位移；

（3）物体在第7s内的位移。

脚吃里里迎

知识点3：匀变速直线运动的速度与位移的关系

1.公式推导

物体以加速度a做匀变速直线运动时，速度公式v=vo+at,位移公式

x=vot+-at2,联立消去时间t可得速度与位移的关系式为v2-vo2=2axo

2

如果匀变速直线运动的已知量和未知量都不涉及时间，利用公式v2-v（）2=2ax

求解问题时，往往比用两个基本公式解题方便。

2.对公式v2-vo2=2ax的理解

（1）v2-v02=2ax为矢量式，适用于匀变速直线运动，x、vo、v、a都是矢量，

应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度vo的方向为正方向。

①匀加速直线运动，a取正值;匀减速直线运动，a取负值。

②位移与正方向相同，x取正值;位移与正方向相反，x取负值。

（2）特殊情况：当vo=O时，公式简化为v2=2ax（物体做初速度为零的匀加

速直线运动）；当v=0时，公式简化为-v02=2ax（物体做匀减速直线运动直到静止），

也可以视为从静止开始、末速度为V0的反向的匀加速直线运动。

吻

(1)匀减速直线运动的速度与位移的关系

公式x=±K■中，a和X可以同时取负值，表示物体做匀减速直线运动，

2a

速度减为零后反向做匀加速直线运动。但需要注意的是，若汽车刹车时，速度减

为零后即静止，故a为负，x不可能为负。

(2)用公式v2-v02=2ax求出的速度有“+”有。要根据实际情况来判

断“+”有“-”是否都有意义。

知识点4：匀变速直线运动规律总结

1.匀变速直线运动的基本关系式及推论

(1)速度与时间关系式：v=vo+at①，题目中不涉及位移x,可直接选用。

2

(2)位移与时间关系式：x=vot+-at(2),题目中不涉及末速度v,方便使用。

2

(3)速度与位移关系式：v2-v()2=2ax③，题目中不涉及时间t,可直接选用。

(4)平均速度求位移公式：x=为t)④，题目中不涉及加速度a,方便使

2

用。

(5)纸带数据常用推论公式：△x=aT2⑤，未涉及物理量V。

⑦划量置

(1)前三个公式包括五个物理量v、vo、a、x、t,已知其中任意三个，可

求其余两个。

以上公式中①②为句变速直线运动的基本公式，③是①②的导出式，④⑤为推论

式，公式中涉及初速度vo、末速度V、加速度a、位移x和时间t五个物理量，

这五个物理量中前四个都是矢量，应用时要规定统一的正方向(通常取vo的方

向为正方向)，并注意各物理量的正负。

(2)匀变速直线运动的公式及推论

国典懒分东

【典例1】在一次交通事故中，警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是16m,该车辆

的刹车加速度大小是8.0m/s2,该路段的限速为60km/h.则该车()

A.刹车所用的时间为4s

B.该肇事车没有超速

C.刹车过程的平均速度为16m/s

D.刹车最后一秒的位移为8m

【典例2】一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，经过斜面中点时速度为

2m/s,则物体到达斜面底端时的速度为()

A.2V2m/sB.3m/sC.4m/sD.6m/s

【典例3】一辆汽车从车站开出，做匀加速直线运动，它开出一段时间后，司机

突然发现有一乘客未上车，急忙制动，车又作匀减速直线运动，结果汽车从开始

起动到停止共用t=10s,前进了x=15m,则此过程中汽车达到的最大速度Vm是

()

A.5m/sB.3m/sC.4m/sD.无法确定

Q

重难点1：匀变速直线运动的重要推论

1.平均速度

X

(1)平均速度的一般表达式：v=-,适用于任何形式的运动。

t

(2)匀变速直线运动中，某段过程的平均速度等于初、末速度的平均值，

即小山

2

推导：

(方法一)如图所示为匀变速直线运动的v-t图像，则t时间内的位移为图

1X1

线与横轴围成的梯形的面积，即x=：Cvo+vtJt,故平均速度D=彳=：(%+匕)。

（方法二）在匀变速直线运动中，某一段时间t的末速度vt=vo+at,由平均

速度的定义式和匀变速直线运动的位移一时间公式整理可得

2_2

+at

_x01vn++atvn+v,a,—vft+v.

V=-=----乙——=v+-at=~9------=~~L,即V=——L

ttn2222

2.中间时刻的速度

匀变速直线运动中，某段过程中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度,

即：匕=/=：（%+匕）

22

推导：

在方法一的v-t图像中，在0〜“，有匕=%+ax,；在人〜3有匕=匕+QX，

2222万2

可得匕=~(v+v)=Vo

o20/

►►►

划重点

（1）平均速度是过程量，公式万=%土乜中的V0和VI表示所取过程的初速

2

度和末速度。

X

（2）/=土适用于任何形式的运动，而匕=1（%+匕）="只适用于匀变速直

t22

线运动，不适用于非匀变逃直线运动

(3)用平均速度求位移时，因为不涉及加速度，所以较为方便，但

%=应=为土匕，是矢量式，故应注意各物理量的方向。

2

3.逐差法

匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T内，位移差是一个定

值，即△*=X2-xi二aT?

推导

①公式法：设物体的初速度为V0,在第1个T时间内的位移xi=voT+'aT2,

2

2T时间内的位移x=vo・(2T)+-a-(2T)2,在第2个T时间内的位移

2

X2=x-x1=v()T+—aT2,连续相等时间T内的位移差△

2

31

X=X2-XI=VOT+—aT2-voT--aT2=aT2,即Ax=aT2

22

进一步推导可得;X2-X1=X3-X2=X4-X3=…=Xn-Xn-1=aT2

②图像法：如图所示，可知X2-xi=aT2

吻

(1)该推论揭示了做匀变速直线运动的物体在连续相等的时间内的位移差

是一个定值，此结论只适用于匀变速直线运动，可以用于判断物体的运动是否是

句变速直线运动。

(2)在探究物体速度随时间变化规律的实验中根据纸带求物体的加速度时

常用逐差法。

(3)xm-Xn=(m-n)aT?的推导：

X2-xi=aT2,

x3-x2=aT2

2

xm-xn=(m-n)aT

国典例东

【典例1】如图所示，物体从。点开始做初速度不为零的匀加速直线运动，在第

一个时间T内通过位移为si到达A点，紧接着在第二个时间T内通过位移为s2

到达B点，则以下判断正确的是

.S]■力.

OAB

A.物体运动的加速度为衰

B.物体运动的加速度为争

C.物体在A点的速度大小为党

D.物体在B点的速度大小为与汽

【典例2】如图所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底

片上多次曝光，得到了小球运动过程中每次曝光的位置。已知连续两次曝光的时

间间隔均为T，每块砖的厚度为d,不计空气阻力。下列判断正确的是（）

A.小球做变加速直线运动B.位置"1"不是小球释放的初始位置

C.小球在位置"3"的速度大小为券D.第5次曝光和第6次曝光之间距离应

为5d

【典例3】小球在光滑斜面上，从4点静止开始下滑，通过必、历、力各段所用

时间均为T。则（）

A.必与0c位移差等于历与《/位移差

B.通过必、〃段的位移之比为1:5

C.通过。、d点的速度之比可能为1:2

D.通过c点的瞬时速度等于通过㈤段的平均速度

【典例4】做匀加速直线运动的质点，在第6s内和前5s内的平均速度之差是3m/s,

则此质点运动的加速度大小为（）

A.Im/s2B.2m/s2C.3m/s2D.6m/s2

【典例5］一个做匀加速直线运动的物体，在前4s内经过的位移是24m,又经

过4s通过的位移是72m,求这个物体的加速度和初速度各是多少？

【典例6］从斜面上某一位置每隔0.1s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加

速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照

片（照片与实际大小相同），测得x=15cm,x=20cm.试问：

（1）小球的加速度的大小；

（2）拍摄时小球在B点时的速度的大小；

（3）A点的上方滚动的小球还有几个。

重难点2：匀变速直线运动位移中点的瞬时速度

1.公式推导

设匀变速直线运动的初速度为V0、末速度为VI、加速度为a、位移为x,设

物体经过这段位移的中点时的速度为,，如图所示。

2

VOfIVi

A1^~~x—~x~

II

对前半段位移有H-片=2a三,

对后半段位移有V；-V=2a三，两式联立可得匕=片

522

2.结论

(1)匀变速直线运动位移中点的瞬时速度公式匕=，既适用于匀

2

加速直线运动，也适用于匀减速直线运动。

(2)不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有匕＞匕。

22

证明方法一：图像法。分别作出匀加速直线运动的速度一时间图像和匀减速

直线运动的速度一时间图像，如图甲、乙所示。由图甲看出员时刻的位移小于二,

22

因此位移为三的时刻心＞无则由图乙可知所以U*＞%。因此,

2方2222422

只要物体做匀变速直线运动，总有匕＞匕。

22

证明方法二：数学比较法

①作差法

%+匕=J(%+匕T+(%—匕T一(%+匕)

②作商法

2-上^>1则V>V,o

匕一匕+%X

(v,+22

22

国典例分笳

【典例1】做匀加速直线运动的物体，通过A、B两点的速度分别为v和3v,则

该物体（）

A.通过A、B中点时的速度为右丫

B.通过A、B中点时的速度为2V

C.由A到B运动一半时间时的速度为v

D.由A到B运动一半时间时的速度为2V

【典例2】做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时，其速度分别为v

和7v,经历的时间为t,则（）

A.经A、B中点位置时的速度是5V

B.从A到B所需时间的中点时刻的速度是5v

C.AB间的距离为5Vt

D.在后一半时间所通过的距离比前一半时间通过的距离多1.5vt

【典例3】滑雪者以某一初速度从斜面底端冲上斜面做匀减速直线运动，到达斜

面顶端时的速度为0,已知滑雪者通过斜面中点时的速度为2nVs,则下列说法正

确的是（）

A.滑雪者的初速度为（立+l）m/s

B.滑雪者在整个斜面上运动的平均速度为夜m/s

C.前一半位移和后一半位移所需时间之比为

D.斜面长度为8m

量出点理逾

Q

重难点3：纸带问题的外理方法

1.由纸带粗略地判断物体是否做匀变速直线运动

常用“位移差法”判断物体的运动情况，即判断纸带上的任意两个连续相等

的时间间隔内的位移差是否满足关系式Xn+LXn=恒量。

(1)若X2-X1=X3-X2=X4-X3=O,则物体做匀速直线运动

(2)若X2-X1=X3-X2=X4-X3=Z\X=#O,则物体做匀变速直线运动.

目|敲黑粕出

若利用粘贴法处理纸带，纵坐标之差即代表△*,若为定值(不为零)，则

物体做匀变速直线运动，否则，物体的运动不是匀变速直线运动。

2.瞬时速度v的求法

(1)非首、末点的瞬时速度：一般利用“平均速度法”，即n=>+"'辿

2T

(2)首、末点的瞬时速度：一般利用中间时刻瞬时速度等于相邻时刻的速

度的平均值，即匕=匕山也

2

目|敲黑粕出

若为理想纸带(即不考虑的误差)，可将首、末点前延或后补一段位移,

该段位移的大小为x±4x,从而使首、末点变为非首末点进行处理。

3.由纸带求物体运动加速度的方法

(1)利用“逐差法”求加速度。若为偶数段(假设为6段),则4=当?，

石二学上学然后取平均值，即。=幺土区口；或由

-3T233T23

a=(X4+鼻+/)-(『+3+七)直接求得。这相当于把纸带分成两份，此法又叫"

(37)2

整体二分法

(2)图像法：

①瞬时速度一时间图像：图线斜率表示加速度a,先根据匀变速直线运动中

某段时间中点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，求出打第n个点时的瞬时

速度，然后作出v-t图像，则图线的斜率表示物体运动的加速度，即2=包。

②平均速度一时间图像：斜率代表」a。

2

如图所示，x代表物体自计时起点t时间内发生的位移，符合匀变速直线运

1V1

动的位移一时间关系式*=丫0+±果2,故v=-=v0+-at,即此时图线的斜率k

2t2

1

=­a

20

要点4：几种常见纸带的处理

1.连续型纸带

如图甲所示纸带中，可以连续测得计数点0到各个计数点间的距离;如图乙

所示纸带中，可以测得具有相等时间间隔的相邻各个计数点间的距离.

以上两种均为连续型纸带，可以直接采用逐差法△x=aT2求匀变速直线运动

的加速度。

2.间隔型纸带

0123♦4'6

如图所示纸带中，由于某种原因导致纸带的某一段或某几段的数据丢失或不

可测量，这种纸带即为间隔型纸带，可以采用重新选取计数点法，将（S1+S2）视

为一段，（S5+S6）视为另一段，利用Xm-Xn=（m-n）aTn求解加速度a即可。

3.重叠型纸带

x,~~H

1''

0244

<--------X2--------

如图所示的纸带，测量过程中所测距离有一部分重叠，这种即为重叠型纸带,

可利用已知数据之差X2-X1,结合X2-3-X0—i=2aT2,从而求得加速度a。

【典例1］某一学习小组的同学用如图甲所示装置研究匀变速直线运动的规律，

打点计时器在小车拖动的纸带上打下一系列点迹，以此记录小车的运动情况。图

乙中A、B、C、D、E为每隔3个计时点所取的计数点。打点计时器电源频率为

50HZo

小车纸带电火花计时器

（1）打点计时器是一种（选填“计时"或"测位移"）的仪器，图甲中电火

花打点计时器的工作电压为（选填"直流"或"交流"）V（选填"220V”

或"8V"）。

（2）除打点计时器（纸带、墨粉纸盘）、小车、一端附有滑轮的长木板、细绳、

祛码、导线及开关外，在下列仪器和器材中，还需要使用的有

A.天平

B.电压可调的直流电源

C.刻度尺

D.秒表

（3）在某次实验中，小车拖着纸带通过计时器记录下的运动情况如图乙所示，

2

则v=m/s,a=m/s0（结果均保留2位有效数字）

【典例2］在做"研究匀变速直线运动”的实验时，某同学得到一条用打点计时器

打下的纸带，点迹分布如图所示。打点计时器接频率为f的交流电源。

（1）该实验平衡摩擦力，满足钩码质量远小于木块的质量

（均选填"需要"或"不需要”）；

（2）打下点6时纸带的速度大小心=（用给定的字母表示）;

（3）如果实验中交变电流的频率f变大，而当时做实验的同学并不知道，那么

测得的速度值比真实值_________（选填“偏大"或"偏小"，

一、单选题

1.甲、乙两辆汽车以相同的速度沿两条平直车道同向匀速行驶，两车行驶至路

口附近时发现再经时间to绿灯就要熄灭，于是同时开始刹车，恰好同时停在停止

线处，该过程中甲、乙两车的v—t图像分别为图中直线a和曲线b所示，假设

汽车可看成质点。由图可知（）

A.0时刻，甲、乙两车恰好并排

B.0—to时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度

C.当时刻，甲、乙两车的瞬时速度大小相等

D.O—to时间内，甲车的加速度始终大于乙车的加速度

2.甲、乙两个物体沿同一方向做直线运动，其v—t图像如图所示。关于两车的

运动情况，下列说法正确的是（）

A.在4s~6s内，甲、乙两物体的加速度大小相等，方向相反

B.前6s内甲通过的路程更大

C.在t=2s至t=6s内，甲相对乙静止

D.甲、乙两物体一定在2s末相遇

3.用如图所示的计时装置可以近似测出气垫导轨上滑块的瞬时速度。已经固定

在滑块上的遮光条的宽度为4.0mm,遮光条经过光电门的遮光时间为0.040s,则

滑块经过光电门位置时的速度大小为（）

A.0.10m/sB.100m/sC.4.0m/sD.0.40m/s

4.某质点做初速度为零的匀加速直线运动，在运动过程中的总时间分为相等的

3段，且在第一段时间的位移是1.8m,则小球在第三段时间的位移是（）

A.1.8mB.7.2mC.9.0mD.16.2m

5.某同学跑步过程中的图像如图所示，图线为一条不过坐标原点的直线,

V

假定该同学沿水平直线道路前进，下列说法正确的是（）

A.运动的速度与位移成线性规律变化

B.运动到演处的时间为月y

C.运动到处的时间为

N%LV\

D.运动的加速度保持不变

6.北京时间2022年11月20日晚上23：00时，第22届世界杯在卡塔尔正式开

幕，图为一个足球被踢出后每隔0.1S拍下的频闪照片，x,=1.05m,马=0.75m,

W=0.45m,x4=0.15m,由此可以判定（）

—

A.足球做匀变速直线运动

B.足球的加速度大小为20m/s2

C.足球的初速度大小v=15m/s

D.整个过程中足球的平均速度大小为8m/s

7.据了解，CR300AF型复兴号动车组是拥有完全自主国产研发的中国标准动车

组体系中的新车型。该车型设计时速为300千米每小时，外观呈淡蓝色，除此之

外复兴号动车组全车覆盖免费wifi,且每两个座椅有一个插座。假设一列复兴号

动车进站时从某时刻起做匀减速直线运动，分别用时3s、2s、1s连续通过三段

位移后停下，则这三段位移的平均速度之比是（）

A.9：4：1B.27：8：1C.5：3：1D.3：2：1

二、多选题

8.小汽车甲和乙同时从同一地点向同一方向出发，两小汽车的v—t图像如图所

示，两车在运动过程中，始终不会发生碰撞，下列关于两小汽车的运动分析合理

的是（）

A.在前2s内，小汽车甲的平均速度比小汽车乙的平均速度大

B.乙追上甲之前，两辆小汽车相隔的最远距离AXmaxMlOm

C.在t=2s后，以小汽车乙为参考系，小汽车甲在后退

D.在第2s末小汽车甲、乙相遇

三、实验题

9.某实验小组用如图（a）所示装置探究小车做匀变速直线运动的规律。

（1）请在下列实验器材中，选出本实验中不需要的器材：（填编号）。

①电火花计时器②电压220V频率50Hz的交流电源③细线和纸带钩码和小车

⑤刻度尺⑥秒表⑦一端带有滑轮的长木板

（2）①甲同学得到如图（b）所示的一条纸带，在纸带上每5个点选取1个计

数点，依次标记为A、B、C、D、Eo测量时发现B点已经模糊不清，于是他测得

AC长为14.56cm、CD长为11.15cm、DE长为13.73cm,则小车运动的加速度大小为

m/s2,A、B间的距离应为cm。（均保留三位有效数字）

②若打点计时器实际工作频率/=51Hz,电压不变，而做实验的同学并不知道，

那么加速度的测量值________（选填"偏大""偏小"或"不变"）。

（3）乙同学得到点迹清晰的纸带如图（c）,在纸带上取六个计数点（各点到纸

带两侧距离相等），标记为A、B、C、D、E、F,相邻两点的间距依次记为

为、松不、七、三，相邻计数点的时间间隔记为T。从每个计数点处将纸带剪开分

成五段，将五段纸带两侧依次靠紧但不重叠，沿下端各计数点连线作横轴，沿

AB段左侧作纵轴，上端各计数点拟合成一条倾斜直线，如图（d）所示。

图（d）

①若用横轴表示时间3纸带宽度表示T,纵轴表示相（〃=1、2、3、4、5）,则倾斜直线

的斜率表示的物理量是（填序号）

A.位移B.瞬时速度C.T内瞬时速度的变化量D.加速度

②若用纵轴表示/（〃=1、2、3、4、5）,纸带宽度表示（用题中所给物理量符

号写出表达式），则倾斜直线的斜率就表示纸带运动的加速度。

四、解答题

10.一辆汽车以72km/h的速度行驶，现因紧急事故刹车并最终停止运动。已知

汽车刹车过程中的加速度大小为4m/s2,若从刹车瞬间开始计时，求：

（1）汽车2s末的速度；

（2）汽车前2s的位移；

（3）汽车前6s的位移。

参考答案

2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系

—划重点之初升高暑假预习强化精细讲义

加货释迦

知识点1:匀速直线运动的位移

1.位移公式

x=vt,方向由起点指向终点。

2,v-t图像

8喇■・「）

6

4

2

0

-T2

6

Y

如图所示，图线与t轴所围图形的面积在数值上等于物体在这段时间内的位

移的大小。当“面积”在t轴上方时，表示物体的位移与规定的正方向相同，位

移为正；当“面积”在t轴下方时，位移

为负。

对相对位移的理解

ffil图2

如图1所示，甲、乙同向运动，面积之差为甲、乙的相对位移;如图2所示,

甲、乙反向运动,面积之和为甲、乙的相对位移。

知识点2：匀变速直线运动的位移

1.微分思想在匀变速直线运动的v-t图像中的应用

(1)微分思想是先把过程无限分割，以“不变”近似代替“变”，然后再

进行累加的思想。

如图所示，在勾变速直线运动中，速度时刻变化，但从图中可以看出，若^

t时间内速度的变化非常小，At内的运动就可近似看成匀速运动，Si=viAt,S由

<a=VlAt+V2At+V3At4-«s但每一个内的速度V都小于实际的速度，故S1s机

只能粗略表示。〜to时间内的位移。

当△tTO时，各矩形面积之和趋近于V-t图线与t轴所围图形的面积，此面

积更能精确表示0〜to时间内的位移。

(2)匀变速直线运动的v-t图线与t轴所围图形的面积在数值上等于相应时

间内物体的位移，此结论可以推至任何直线运动。

2.匀变速直线运动的位移的表达式

(1)公式推导

如图所示，匀变速直线运动在0〜t时间内的位移在数值上等于直线AP与t

轴围成的梯形OAPQ的面积。

方法1:X=XI+X2=0A,0Q+—AR,RP=vot+—at•t,即位移x=vot+—at2o

222

方法2：x=；(OA+QP)XOQ,即X=；(vo+vjt,又丫=丫()+2、联立可

x=vot+」at?是匀变速直线运动的位移与时间的关系式。

2

(3)对x=vot+-at2的理解

2

①适用范围：位移-时间关系式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函

数关系，此关系式适用于加速度恒定的直线运动。

②矢量性：公式中x、vo、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，若

题目中未特殊说明，一■般选取初速度vo方向为正方向。若a与vo同向，a取正

值，物体做匀加速直线运动，若a与vo反向，a取负值，物体做匀减速直线运动，

计算出位移的正负表示位移的方向。

③公式的基本应用：公式中包含四个物理量，不涉及末速度，已知其中任意

三个物理量时，可求出剩余的一个物理量。公式中各物理量应取国际单位制单位。

巨

公式x=vot+—at2经常与公式v=vo+at联立使用，两公式中共有五个物理量,

2

已知任意三个物理量，可以求出剩余的两个物理量。

划1悬

（1）匀变速直线运动的v-t图像

如图所示，0〜tl时间内的位移XI取正值，tl〜t2时间内的位移X2取负值,

则0〜t2时间内的总位移为XI与X2的代数和，总路程为IXll+lX2lo

（2）匀加速直线运动的X-t图像

①匀加速直线运动的位移一时间图像为抛物线的一部分，位移与时间是二次

函数关系，位移不是随时间均匀增大的。

②由于曲线图像较为复杂，故一般应用化曲为直的思想，将x-t图像转化为

t-t图像再分析。

（3）位移一时间公式的适用范围

位移一时间公式既适用于匀加速直线运动（如图线①），也适用于匀减速直

线运动（如图线②），图线③整体上不是匀加速直线运动，也不是匀减速直线运

动，但它是加速度恒定的匀变速直线运动，公式也适用。

（4）位移公式的两种特殊形式

①当a=0时，x=vot（匀速直线运动）。

②当vo=O时，x=-at2,即位移与时间的平方成正比。

2

（5）匀减速直线运动的位移表达式

物体做匀减速直线运动，a与vo反向，a取负值，位移表达式可以写成

x=vot--at2（a代入的数值应为正值），也可以写成x=vot+'at2（a代入的数值应

22

为负值）。

逆向思维法：末速度为零的匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动。

（1）汽车刹车问题、子弹射入木块问题、物体在斜面上上滑到最高点问题

均可以利用逆向思维法求解。

（2）对匀加速直线运动，若不知道初速度大小，只知道末速度大小为v,

加速度为a,则时间t内的位移也可以逆向表示为x=vt--at2o

2

典例分东

【典例1］冰壶是冬奥会的一个竞赛项目。如图为我国运动员在北京冬奥会比赛

中投掷冰壶的情形，冰壶以某一初速度被投出后做匀减速直线运动，用时16s停

止，已知停止运动前最后1s内位移大小为0.2m,则冰壶的初速度大小为（）

A.5.4m/sB.6.4m/sC.7.2m/sD.9.0m/s

【答案】B

【详解】将冰壶看成初速度为0的反向匀加速直线运动，根据

得

a=0.4m/s2

则冰壶的初速度大小为

v=at=6.4m/s

故选Bo

【典例2】从静止开始做匀加速直线运动的物体，通过前一半位移和后一半位移

所用时间的比值为（）

A.1:（72-!）B.1:（V2+1）

C.1：&D.>/2:l

【答案】A

【详解】通过前一半位移和后一半位移所用时间的比值为

卷：（符一后卜：（四T）

故选Ao

【典例3】一个质点在x轴上运动，位置随时间的变化规律是x=4r+2/m,关于

这个质点的运动，以下说法正确的是（）

A.质点做匀速直线运动

B.质点的加速度的大小为4m/s2,方向沿x轴正方向

C.f=2s时质点的位置在x=12m处

D.f=2s时质点的速度大小为16m/s,方向沿x轴正方向

【答案】B

【详解】AB.根据题意，由公式x=+结合位置随时间的变化规律

x=4t+2rn\,可得

v0=4m/s

a=4m/s2

可知，质点在“轴上做初速度为4m/s,加速度为4m/1的匀加速直线运动，故A

错误，B正确；

C.由位置随时间的变化规律x=4r+2产m可得，f=2s时质点的位置在

x=(4x2+2x22)m=16m

故C错误；

D.由公式丫=%+或可得，f=2s时质点的速度大小为

v=(4+4x2)m/s=12nys

方向沿x轴正方向，故D错误。

故选Bo

【典例4】如图(a)所示，甲、乙两车在同一平直公路上同向行驶，r=0时刻两

车刚好相遇，两车的速度随时间变化的图像如图(b)所示，下列说法正确的是

()

甲

乙

图(a)

A.在r=3s耐，两车再次相遇

B.在r=5s时，甲、乙两车速度相同

C.在3s5s这段时间内，甲车的加速度先变大后变小

D.在05s这段时间内，乙车做匀速直线运动

【答案】B

【详解】A.f=0时刻两车刚好相遇，又根据题图可知，在0~3s时，甲车速度大

于乙车，甲车一直在乙车前方，在，=3s时，两车不会相遇，故A错误；

B.由题图可知，在r=5s时，甲乙两车速度相同，故B正确;

C.由题图可知，在3s5s这段时间内，甲车的VT图像倾斜程度先变小后变大,

因此甲车加速度先变小后变大，故C错误；

D.在05s这段时间内，乙车的VT图像的斜率不变，乙车做匀加速直线运动，

故D错误。

故选Bo

【典例5]一个物块在光滑的水平面上受到水平恒力F的作用，从静止开始做匀

加速直线运动，计时开始的;-图像如甲所示v2-x图像如图乙所示，据图像的特

点与信息分析，下列说法正确的是（）

A.x=lm时物体的速度为8m/s

B.图乙的斜率是图甲的斜率的2倍

C.图甲中的y=8m/s

D.t=ls时物体的速度为4m/s

【答案】D

【详解】A.当x=lm,由图乙可知

v2=8m2/s2

解得

v=2\[2m/s

故A错误;

BC.由初速度为0的匀加速直线运动规律可得

12

x=—at

2

则有

xa

—=—t

t2

可得甲图的斜率为

褊=B5

22

由

v2=2ax

可知乙图的斜率为

k乙=2a=8

解得

a=4m/s2

则

坛=

图甲中的y=4m/s,故BC错误;

D.t=ls时物体的速度为

v'=at=4m/s

故D正确。

故选D。

【典例6】某物体做匀加速直线运动，其初速度为2.25m/s,加速度为O.kn/s?,求:

(1)物体在3s内的位移；

(2)物体在第3s内的位移；

(3)物体在第7s内的位移。

【答案】(1)7.2m；(2)2.5m；(3)2.9m

【详解】(1)由题意可得：物体在加速过程中，在3s内位移由公式可得

%,=%。+—atf=7.2m

(2)在2s内位移由公式可得

x2=vot2+；M=4.7m

则物体在第3s内的位移为

x3=x2-%=2.5m

(3)物体在第7s内的位移为

Z=+g据卜(次+加卜2.9m

知识点3：匀变速直线运动的速度与位移的关系

1.公式推导

物体以加速度a做匀变速直线运动时，速度公式v=vo+at,位移公式

x=vot+—at*12,联立消去时间t可得速度与位移的关系式为v2-vo2=2axo

2

如果匀变速直线运动的已知量和未知量都不涉及时间，利用公式v2-vo2=2ax

求解问题时，往往比用两个基本公式解题方便。

2.对公式V?-v()2=2ax的理解

(1)v2-v()2=2ax为矢量式，适用于匀变速直线运动，x、vo>v、a都是矢量，

应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度V0的方向为正方向。

①匀加速直线运动，a取正值;匀减速直线运动，a取负值。

②位移与正方向相同，X取正值;位移与正方向相反，X取负值。

(2)特殊情况：当vo=O时，公式简化为v?=2ax(物体做初速度为零的匀力口

速直线运动)；当v=0时，公式简化为-v02=2ax(物体做匀减速直线运动直到静止)，

也可以视为从静止开始、末速度为vo的反向的匀加速直线运动。

►►►

(1)匀减速直线运动的速度与位移的关系

公式x=二二%中，a和X可以同时取负值，表示物体做匀减速直线运动，

2a

速度减为零后反向做匀加速直线运动。但需要注意的是，若汽车刹车时，速度减

为零后即静止，故a为负，x不可能为负。

(2)用公式v2-v02=2ax求出的速度有“+”有。要根据实际情况来判

断"+”有是否都有意义。

知识点4：匀变速直线运动规律总结

1.匀变速直线运动的基本关系式及推论

(1)速度与时间关系式：v=vo+at①，题目中不涉及位移x,可直接选用。

(2)位移与时间关系式：x=vot+'at2②，题目中不涉及末速度v,方便使用。

2

(3)速度与位移关系式：v2-v()2=2ax③，题目中不涉及时间t,可直接选用。

(4)平均速度求位移公式：④，题目中不涉及加速度a,方便使

2

用。

(5)纸带数据常用推论公式：△xuaT?⑤，未涉及物理量V。

划重装

吻

(1)前三个公式包括五个物理量v、vo>a、x、t,已知其中任意三个，可

求其余两个。

以上公式中①②为匀变速直线运动的基本公式，③是①②的导出式，④⑤为推论

式，公式中涉及初速度vo、末速度V、加速度a、位移x和时间t五个物理量，

这五个物理量中前四个都是矢量，应用时要规定统一的正方向(通常取vo的方

向为正方向)，并注意各物理量的正负。

(2)匀变速直线运动的公式及推论

【典例1】在一次交通事故中，警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是16m,该车辆

的刹车加速度大小是8.0nVs?,该路段的限速为60km/h.则该车（）

A.刹车所用的时间为4s

B.该肇事车没有超速

C.刹车过程的平均速度为16m/s

D.刹车最后一秒的位移为8m

【答案】B

【详解】A.刹车所用的时间为

选项A错误；

B.刚刹车时的速度

v=sjlax=16m/s=57.6km/h<60km/h

该肇事车没有超速，选项B正确；

C.刹车过程