2025届新高考数学冲刺突破复习 双曲线

2025届新高考数学冲刺突破复习双曲线高考

数学考点清单题型清单目录考点1双曲线的定义和标准方程考点2双曲线的几何性质题型1利用双曲线的定义解决相关问题题型2双曲线的离心率(或取值范围)题型3直线与双曲线的位置关系考点1双曲线的定义和标准方程1.定义把平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫

做双曲线.2.标准方程焦点在x轴上:

-

=1(a>0,b>0);焦点在y轴上:

-

=1(a>0,b>0).3.焦点三角形问题(1)P为双曲线上不与顶点重合的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则

=

=c|yP|.(2)过焦点F1的直线与双曲线的一支交于A、B两点,则A、B与另一个焦点F2构成的△

ABF2的周长为4a+2|AB|.(3)若P是双曲线右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,

=c-a.(4)P是双曲线

-

=1(a>0,b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标恒为定值a.考点2双曲线的几何性质

焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程

-

=1(a>0,b>0)

-

=1(a>0,b>0)图形

范围|x|≥a|y|≥a焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)对称性关于x轴、y轴对称,关于原点对称实、虚轴长实轴长为2a,虚轴长为2b离心率双曲线的焦距与实轴长的比e=

渐近线方程y=±

xy=±

xa,b,c的关系c2=a2+b2常见结论1.等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的离心率e=

,两条渐近线互相垂直.2.共轭双曲线的性质:①它们有共同的渐近线;②它们的四个焦点共圆;③它们的离心

率的倒数的平方和等于1.3.焦点到渐近线的距离为b.4.设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,则直线PA与PB的斜率

之积为

.5.共渐近线的双曲线方程:

-

=λ(λ≠0).6.双曲线的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为

,通径是最短的焦点弦.即练即清1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于8的点的轨迹是双曲线.

(

)(2)方程

-

=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.

(

)(3)双曲线

-

=1(m>0,n>0)的渐近线方程是

±

=0.

(

)(4)若双曲线的离心率e=

,则该双曲线一定为等轴双曲线.

(

)2.双曲线C:

-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且|PF1|=6,则|PF2|=

.××√√2或10题型1利用双曲线的定义解决相关问题1.求方程:通过对题设条件分析、转化后,能够明确动点满足双曲线的定义,便可直接

求解其轨迹方程.2.求焦点三角形问题:利用定义求焦点三角形的周长和面积.解决焦点三角形问题常利

用双曲线的定义、正弦定理或余弦定理,其中||PF1|-|PF2||=2a两边平方是常用的技巧.例1已知动圆E与圆A:(x+4)2+y2=2外切,与圆B:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心E的轨迹方

程为

.

解析

由题意得圆A的圆心为A(-4,0),半径为

,圆B的圆心为B(4,0),半径为

.设动圆E的半径为R,由题意得|EA|=R+

,|EB|=R-

.∴|EA|-|EB|=2

<4-(-4)=8,则动圆圆心E在以点A(-4,0),B(4,0)为焦点的双曲线的右支上.又∵a=

,c=4,∴b2=c2-a2=14.∴动圆圆心E的轨迹方程为

-

=1(x≥

).

答案

-

=1(x≥

)即练即清1.已知F1、F2是双曲线

-

=1(b>0)的左、右焦点,点P为双曲线右支上一点,且P在以F1F2为直径的圆上,若|PF1||PF2|=12,则tan∠POF2=

(

)A.

B.

C.

D.

A题型2双曲线的离心率(或取值范围)求双曲线离心率的值或取值范围的常用方法1.利用公式e=

=

=

=

求解.2.列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化为关于e的方程(或

不等式)求解.3.构造焦点三角形,利用定义转化为焦点三角形三边的关系,如图,e=

=

=

=

.

例2

(2023山东济宁三模,7)已知F为双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的右焦点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线C的右支交于A、B两点,若在双曲线C左支上存在点P使得PA⊥

PB,则该双曲线的离心率的取值范围是

(

)A.(1,3]

B.[3,+∞)

C.(1,2]

D.[2,+∞)

解析

将x=c代入双曲线C的方程可得

-

=1,可得y=±

,不妨取点A

,B

,设点P(x,y),其中x≤-a,且y2=

-b2,则

=

,

=

,因为PA⊥PB,所以

·

=(x-c)2+y2-

=x2-2cx+c2+

x2-b2-

=

x2-2cx+a2-

=

-

=0,又x≤-a,所以

x-a<0,所以

x-a=-

,可得x=

=

≤-a,即c2-ac-2a2≥0,整理可得e2-e-2≥0,结合e>1,解得e≥2.故选D.

答案

D即练即清2.(2021全国甲理,5,5分)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(

)A.

B.

C.

D.

A题型3直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系主要是指公共点问题,相交弦问题及其他综合问题,常用下

面的方法解题:1.直线与双曲线方程联立,消元后化为Ax2+Bx+C=0的形式,(1)当A≠0时,①Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.②Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.③Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.(2)当A=0时,直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.2.弦长公式设直线y=kx+m与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=

|x1-x2|=

·

或|AB|=

|y1-y2|=

·

(k≠0).例3若过点P(0,1)的直线l与双曲线E:x2-y2=1的右支相交于不同两点,则直线l斜率的

取值范围为

(

)A.(1,

)

B.[-

,-1]C.[1,

]

D.(-

,-1)

解析

如图所示,设双曲线x2-y2=1的右顶点为A,则A(1,0),所以kPA=-1,与双曲线的渐近线y=-x平行,直线PA与双曲线只有一个交点.设直线l的方程为y=kx+1,联立

消去y得(1-k2)x2-2kx-2=0.由Δ=(-2k)2-4×(1-k2)×(-2)=0