2023北师大版新教材高中数学必修第一册考前必背

考前必背

集合

集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性

元素与集合

元素与集合的关系是属于或不属于关系，分别用符号£或阵表示

集合常用的

列举法、描述法

表示方法

常用数集

自然数集N;正整数集N+或N*;整数集Z;有理数集Q;实数集R;正实数集R+

及其记法

子集:若对任意x£A都有xWB,则AUB或B3A

集合的集合相等:若AWB,且BUA厕A=B

基本关系真子集:若AGB,且AWB,则A是B或B^A

结论:若有限集合A中有n(neN.)个元素，则A的子集有2"个，真子集有(2。-1)个

交集:ACIB={x|x£A,且xGB）

集合的

并集:AUB={x|x£A,或xGB）

基本运算

补集：[uA={x|x£U,且x住A}

二、必要条件与充分条件

命题真假"若P，则q"是真命题"若P厕q"是假命题

推出关系p=qpo/q

P是q的充分条件,q是

条件关系P不是q的充分条件,q不是P的必要条件

P的必要条件

三、充要条件

一般地，如果p=q,且q=p,那么称P是q的充分且必要条件，简称P是q的充要条件，记作P=q.

四、含有量方的命题的否定

命题的类型命题的符号表ZF命题否定的符号表示命题否定的类型

全称量词命题p：vxGM,x具有性质p(x]rp3x£M,x不具有性质p(x)存在量词命题

存在量词命题P：3xGM,x具有性质p(x]rp：VxGM,x不具有性质p(x)全称量词命题

五、不等式的性质

1.（传递性）a>b,b>c=a>c.

2.（可力口性）a>b=a+c>b+c.

3.（可乘性）a>b,c>0=>ac>bc;a>b,c<0=>ac<bc.

4.（同向可力口，性）a>b,c>d=a+c>b+d.

5.（可乘性）a>b>0,c>d>0=>ac>bd;a>b>0,c<d<0=>ac<bd.

6.（可乘方性与可开方性）a>b>0=an>bn（nGN+,n>2];

a>b>0=>Va>Vb（nGN+,n>2）.

六、基本不等式及其应用

1.基本不等式:竽2VHF(a20,bN0),当且仅当a=b时，等号成立.

2.利用基本不等式求最值：

已知x>0,y>0,则

Q2

(1)若x+y=s(s为定值)，则当且仅当x=y时,xy取得最大值简记:和定积最大)

(2)若xy=p(p为定值)，则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2G.(简记:积定和最小)

七、一元二次不等式与相应函数、方程的关系

设y=ax2+bx+c(a>0),判别式A=b2-4ac

判别式△>0A=0A<0

方程y=X1,X2X1=X2

_b_没有实数根

0的解(X1<X2)=-2a

\Ryk

函数\2

y=ax2+bx+

c(a>0)的

图象

~~0X=XX

不b)

y>0{x|x<Xi,或X>X2)R

等

式

的

解y<0{X|X1<X<X2)00

集

八、函数的概念与表示

1.函数的三要素

函数的三要素意义

定义域在函数匕f因距A中，集合A＞为函数的定义域,x邺为自变量

值域集合｛f(现＜£A｝称为函数的值域，与x值对应的v值称为函数值

对应关系某种确定的对应关系f(在定义域下求值域的运算法则)

2.函数的表示法:解析法、列表法、图象法.

九、函数的单调性

增函数减函数

设图数y呸)的定义域是D,如果对于任意的咨£D,当飞＜2时，都有

定义f(Xi)＜f(X2),那么就称函数

f(xi)＞f(x2),那么就称函数y=f(x)是减函数

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

十、函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

设函数f(x)的定义域是A,如果对任意

奇函数的xWA,有-x£A,且f(-x)=-f(x),那么称关于原点对称

函数f(x)为奇函数

设函数f(x)的定义域是A,如果对任意

偶函数的xWA,有-xWA,且f(-x)=f(x),那么称函关于y轴对称

数f(x)为偶函数

十二、指数运算与指数函数

1.实数指数幕的运算性质(a>O,b>O,a*dR)

(l)aa-aP=aa+P;

(2)(aa]P=aaP;

(3)(ab)a=aaba.

2.指数函数的图象和性质

十三、对数运算与对数函数

1.对数的概念与运算

一般地，如果a(a>0,且aWl)的b次幕等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN=b.其中a叫作对数的底数N叫作

概念

真数

对数式与指数式的互化:ax=Nox=logaN(a>0,且aW1)

logal=OJogaa=l,a"°°aN=NjogaaN=N(a>0,且aWl)

若a>0,且a#l,M>O,N>O,b£RjU!J

运算(l)10ga(M-NJ=10gaM+10gaN；

M

(2)10ga—=10gaM-10gaN；

(3)10gaMb=bl0gaM

log_b

logab=(a>0,b>0,c>0,且aWl,cW1),

换底]oga

n

公式J^T&：log/7mN=^logbN,logbN=j^—^(N>O,b>O,m#O,SNWl,bWl)

2.对数函数的图象和性质

在定义域(0,+8)上是增函数.在定义域(0,+8)上是减函数.

单调性当X值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大;当X值趋近当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大;当X值趋近

于0时，函数值趋近于负无穷大于0时，函数值趋近于正无穷大

函数值x£(0,l)时,y£(-8,0);x£(O,l)时,yW(0,+8)；

特点xG[l,+oo)Hj-,ye[0,+ooJXG[1,+oo)0^,y£(-oo,0]

函数y=logx的图象与函数y=logix的图象关于x轴对称

对称性a

a

设yi=logaX,y2=logbX,其中a>l,b>l,

补充性质⑴当x>l时，"底大图低"，即若a>b,则yivyz；

(2)当0<x<l时，"底大图高"，即若a>b,则yi>y2

十四、函数的零点

概念使得f(xo］=O的数xo称为方程f(x)=O的解，也称为函数f(x)的零点

方程的根与函数

方程f(x)=O有实数根0函数y=f(x)有零点=函数y=f(x)的图象与x轴有交点

零点的关系

若函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负即f(a)-f(b)<0厕在开区

零点存在定埋

间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=O至少有一个解

十五、二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤

1.确定零点X0的初始区间［a,b］,验证f(a>f(b)<0,给定精确度s.

2.求区间(a,b)的中点c.

3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间：

⑴若f(c)=O(此时xo=c),则c就是函数的零点;

(2)若f(a>f(c)<0(此时xoG(a,c)),则令b=c;

(3)若f(c)-f(b)<0(此时xoG(c,b)),则令a=c.

4.判断是否达到精确度e:若|a-b|<e,则得到零点近似值(可以是［a,b］中的任意一个值)否则重复步骤2~4.

十六、抽样

一般地，从N(N为正整数)个不同个体构成的总体中，逐个不放回地抽取n(lWn<N)个个体组成样本，并且每次抽取时总体内

简单随机抽样

的每个个体被抽到的可能性相等，这样的抽样方法通常叫作简单随机抽样

将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层工然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽

分层随机抽样

样方法通常叫作分层随机抽样

十七、频率分布直方图

在频率分布直方图中，纵轴表示咛，数据落在各小组内的频率用小矩形的面积来表示，各小矩形的面积总和等于1.

组a巨

十八、用样本估计总体的数字特征

1.样本的数字特征

Xl,X2,...,Xn的平均数是又=L(Xl+X2+...+Xn)

平均数

众数一组数据中出现次数最多的数据

中位数将一组数据按从小到大的顺用非列后"中间"的那个数据

1--

方差S2=-[(X1-X]2+(X2-X)2+...+(Xn-X]2]

标准差S=J；[(X1闻2+&和+…+囱种

2.分层随机抽样的均值与方差

⑴分层随机抽样的平均数:设样本中不同层的平均数分别为自拓，…,心相应权重分别为W1,W2，…,W”则这个样本的平

+

均数为W1元1+W2元2+…+WnKp为了简化表示，弓|进求和符号，记作W1XX+W2X2—+WnXn=幺WiXj.

i=l

(2)分层随机抽样的方差:设样本中不同层的平均数分别为五为，…,屁,方差分别为统田，…,s/相应的权重分别为

W1,W2，…,Wn,则这个样本的方差为s2=X郎］，其中元为这个样本的平均数.

1=1

3.百分位数:一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p6(0,1),总体的p分位数有这样的特点:总体数据中的任

意一个数小于或等于它的可能性是p.

十九、随机事件的运算

定义符号表示

交事件(积事件)由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件)ACIB（或AB）

由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生，或B