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文档简介
2022-2023学年南京市天印高级中学高二第二学期期初考试
一.选择题(共8小题)
1.函数f(x)=x2-7x在区间[1,2]上的平均变化率为()
A.TB.4C.-6D.6
2.抛物线》=4丁的准线方程是()
8
A.x=—4B.x=—2C.y=-4D.y=-2
3.箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子,现从箱子中同时取出两只袜子,则取出的两只
袜子正好可以配成一双的概率为()
11clc2
A.—B.—C.一D.一
4323
4.已知圆G:/+/一日+2y与圆C2+y2+@一4=。的公共弦所在直线恒过定点
P(a,b).且点尸在直线/nriy—2=o上贝卜〃〃的最大值是()
A31「11
A.—RB.一C.—Dn.—
4284
5.记正项等比数列{〃“}的前”项和为S„,若4=4,S4=5S2,则56=()
A.2B.-21C.32D.63
7.已知等差数列伍“}的前”项和为臬,S13<0,514>0,则当S,,取得最小值时,〃的值为
)
A.5B.6C.7D.8
8.在平面直角坐标系中,己知点4一1,0),8(2,0),圆C:(x—2)2+(y—m)2=L(m>()),在
4
圆上存在点P满足1PAi=2|PB|,则实数机的取值范围是()
B•弓亭c.(0,争
A.D.
二.多选题(共4小题)
9.豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0〜10的分值(一星2分,二星4分,三星6
分,以此类推),以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的
豆瓣评分情况如图,假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星,则下列说法正确的
是()
A.m的值是32%
B.随机抽取100名观众,则一定有24人评价五星
C.随机抽取一名观众,其评价是三星或五星的概率约为0.56
D.若从已作评价的观众中随机抽取3人,则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2
人评价五星”是互斥且不对立事件
10.下列结论错误的是()
A.过点A(l,3),8(-3,1)的直线的倾斜角为30。
B.若直线2x-3y+6=0与直线ca+y+2=0垂直,则。=一不
C.直线x+2y—4=0与直线2x+4y+l=0之间的距离是当
D.己知A(2,3),8(—1,1),点P在x轴上,则|PA|+|P8|的最小值是5
11.2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈,其中雪花造型惊艳全球.有一个同学为了画出漂
亮的雪花,将一个边长为1的正六边形进行线性分形.如图,图(〃)中每个正六边形的边长
是图(〃-1)中每个正六边形的边长的记图(〃)中所有正六边形的边长之和为凡,则下列
2
说法正确的是()
图(I)图(2)图(3)
A.图(4)中共有294个正六边形
1029
BR.
C.{““}是一个递增的等比数列
D.记(SJ为数列仅“}的前〃项和,则对任意的weN*且〃..2,都有a„>S.T
12.下列不等关系中正确的()
A.百/〃2<及3B.73/M2>In3
C.sin3<3sinlcoslD.sin3>3sinIcosl
三.填空题(共4小题)
13.曲线y=d+l在点(-1,。)处的切线方程为一.
14.已知双曲线C:f—方=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为耳、尸2,过耳的直线/与C的
左、右支分别交于A,8两点.若,且△8耳工的面积为△4耳且面积的4倍,则
C的离心率为•
15.设函数/(x)与g(x)是定义在同一区间切上的两个函数,若对任意的h],
都有"(%)-g(x)|,,l,则称/(x)与g(x)在切上是“密切函数。区间[〃,句称为“密
切区间设函数/(x)=/nx与g(x)=2〃z+x,在[Le]上是“密切函数”,则实数团的取值
e
范围是—•
n
16.设5.为数列他”)的前〃项和,己知q=L,—=—+2,则仆=_,5100=_.
2«„+la„
四.解答题(共6小题)
17.已知等差数列伍“}的前”项和为S",其中生=17,$7=147;等比数列也}的前〃项和
为7“,其中4="|,"=备.
(1)求数列伍“},{么}的通公式;
(2)记c“=a”+(,求数列{%}的前"项和。”.
18.已知A(-l,2),以点A为圆心的圆被y轴截得的弦长为2G.
(1)求圆A的方程;
(2)若过点8(1,-2)的直线/与圆A相切,求直线/的方程.
19.己知函数/(犬)=犬2+2a//ir
(1)求函数/(x)的单调区间.
(2)若函数g(x)=2+/(x)在[1,2]上是减函数,求实数。的取值范围.
X
20.已知数列{《,}的前及项和为S“,,nwN*.
(1)求数列{4}的通项公式;
(2)记勿=-----4------7;是数列{〃,}的前〃项和,若对任意的〃£**,
©TH)«
求实数”的取值范围.
在下面三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
“2+”
①S,=2a“-2;②多+墨+……+果=〃;③……4=22
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
21.己知点Q(也,且)在椭圆c£+马=im>b>0)上,且点。到曲线C的两焦点的距离
22a'b'
之和为2夜.
(1)求。的方程;
(2)设圆O:f+y2=-上任意一点尸处的切线/交c于点M、N,求cosNMON的值.
3
_ex~}2
22.已知函数f(x)=—r—(i(lnx4—)(</GR).
x~x
(1)若4=1,求/(X)的单调区间;
(2)若/(X)在(0,2)上有两个极值点为,x2(x,<x2).
①求实数。的取值范围;
②求证:A1A2<1.
2022-2023学年南京市天印高级中学高二第二学期期初考试
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
1.函数/(x)=V-7x在区间口,2]上的平均变化率为()
A.-4B.4C.-6D.6
【解答】解:,/\y=f(2)-f(1)=4一14-1+7=4
2—1
故选:A.
2.抛物线x=的准线方程是()
8
A.x=-4B.x=-2C.y=-4D.y=-2
【解答】解:抛物线x=gV可化为V=8x,
.•.抛物线的焦点在x轴上,且开口向右,2P=8
.,P=2,
2
抛物线x=工V的准线方程是x=-2.
8-
故选:B.
3.箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子,现从箱子中同时取出两只袜子,则取出的两只
袜子正好可以配成一双的概率为()
1112
A.4-B.-32-D.3-
【解答】解:由题意分别记一双红色袜子和一双黑色袜子的编号为A,B,C,D,
则从箱子中同时取出两只袜子,共有=6种,
取出的两只袜子正好可以配成一双的共有(48),(C,0)2种情况,
故所求的概率为P=2=,,
63
故选:B.
4.已知圆C]+y2一奴+2y=0与圆C”:£+y2+@一4=0的公共弦所在直线恒过定点
P(a,b).且点P在直线中一2=0上则,〃"的最大值是()
31C11
A.-4B.2-8-D.4-
【解答】解:由圆£一心;+2y=。,圆。2"2+V+母一4=0,
得圆G与圆。2的公共弦所在直线方程为:ZQ+y)-2y-4=0,
(x+y=°yfx=2
联乂\,解得\,a即rla=2,b=—2j
[—2y—4=0[y=-2
又P(2,-2)在直线--2=0上,
/.2m+2w—2=0,即n=\—m.
/.mn=m(\—in)=—zn2+m=—(m——)2+—„—.
244
.••,”〃的最大值为:
4
故选:D.
5.记正项等比数列{““}的前〃项和为S“,若4=4,S4=5与,则品=()
A.2B.-21C.32D.63
【解答】解:根据题意,设等比数列{4}的公比为《,(夕>0)
若邑=5工,则”1,则皿二Q=5X空匕虫,解可得。2=4,
\-q\-q
又由q>0,则g=2,
又由%=4,贝(Jq=乌=1,
q-
则§6=小匕虫=63,
i-q
故选:D.
6.函数y=j(其中e为自然对数的底)的大致图象是()
【解答】解:方法一:排除法:
当x=0时,y=0,故排除C,
当x<0时,故y<0,故排除A,
当x-»+00时,y->0,故排除D,
方法二:yJ®2
ex
由y>o,可得x<3,函数单调递增,
由y<o,可得》>3,函数单调递减,
故只有3符合,
故选:B.
7.已知等差数列{可}的前"项和为S,513<0,5,4>0,则当5,取得最小值时,”的值为
A.5B.6C.7D.8
【解答】解:等差数列{《,}的前〃项和为S“,513<0,514>0,
二线+%>0,47Vo.即4>0,%<0,
那么:前$<0,
当S“取得最小值时,〃的值为:7
故选:C.
8.在平面直角坐标系中,已知点A(-l,0),5(2,0),圆C:(x—2)2+(y—,〃)2=,Q">0),在
圆上存在点P满足IPA1=212例,则实数机的取值范围是()
A.格当B.5,争C.唔
【解答】解:设P(x,y),由1PAi=2|P8|,
可得(x+4+y2=4(x-2)2+4丁,
化简得(X-3)2+V=4,即点p的轨迹是圆心为。(3,0),半径r=2的圆,
•点P在圆C:(x-2)2+(y-m)2=」(〃?>0)上,.•・圆。和圆C有公共点,
4
:\2--\^DC\\2+-\,即3掰斤二/则工殁笳包,
222244
则实数机的取值范围是[丁,苧].
故选:D.
二.多选题(共4小题)
9.豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0〜10的分值(一星2分,二星4分,三星6
分,以此类推),以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的
豆瓣评分情况如图,假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星,则下列说法正确的
是()
A.机的值是32%
B.随机抽取100名观众,则一定有24人评价五星
C.随机抽取一名观众,其评价是三星或五星的概率约为0.56
D.若从已作评价的观众中随机抽取3人,则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2
人评价五星”是互斥且不对立事件
【解答】解:显然〃=1-0.976=0.024,
由已知得0.24+0.329+0.087+〃?=0.976,解得机=0.32,故A正确;
随机抽取100名观众,则一定有24人评价五星,显然不对,因为概率只是反映了在一定条
件下某个事件发生的可能性大小,故8错误;
评价是三星或五星的频率之和为0.32+0.24=0.56,用频率估计概率时,随机抽取一名观众,
其评价是三星或五星的概率约为0.56,故C正确;
从己作评价的观众中随机抽取3人,评价五星的人数可能是0,1,2,3,则事件“至多1
人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件,故。正确.
故选:ACD.
10.下列结论错误的是()
A.过点A(l,3),8(-3,1)的直线的倾斜角为30。
9
B.若直线2x-3y+6=0与直线ox+y+2=0垂直,则。=一*1
C.直线无+2y—4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是手
D.已知4(2,3),B(-l,1),点尸在x轴上,贝IJ|R4|+|PB|的最小值是5
【解答】解:过点4(1,3),8(-3,1)的直线的斜率为%=1,
1+32
又直线倾斜角的取值范围为[0,左),
所以直线的倾斜角为arctan-,
2
故选项4错误;
若直线2x-3y+6=0与直线方+y+2=0垂直,
则2々一3=0,解得a=—
2
故选项3错误;
直线x+2y-4=0,即2x+4y—8=0,
所以直线x+2y-4=0与直线2x+4),+l=0之间的距离是=爷,
故选项C错误;
因为点B(T,1)关于x轴的对称点为,
^\\PA\+\PB\=\PA\+\PB'\..\AB'\=7(-1-2)2+(-1-3)2=5,
所以1PAi+1尸31的最小值是5,
故选项。正确.
故选:ABC.
11.2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈,其中雪花造型惊艳全球.有一个同学为了画出漂
亮的雪花,将一个边长为1的正六边形进行线性分形.如图,图(〃)中每个正六边形的边长
是图(〃-1)中每个正六边形的边长的记图(〃)中所有正六边形的边长之和为。“,则下列
2
说法正确的是()
A.图(4)中共有294个正六边形
C.{〃“}是一个递增的等比数列
D.记{$“}为数列{4}的前"项和,则对任意的且〃..2,都有4>S.T
【解答】解:对于A,由图可知,图(1)至图(〃)中正六边形的个数构成以1为首项,7为
公比的等比数列,故图(4)中共有7'=343个正六边形,A错误;
l
对于3,由题可知,图⑺中每个正六边形的边长为(;尸,«n=6x(|r,
对于C,4=6xg)"T是底数大于1的指数型函数,.•.{%}是一个递增的等比数列,C正
确;
7
6x(i-(-rj
对于O,an=6xg)"T,/.q=6,q=}
nwN*
777
6xll-(-/-1]12-12x(-)N-112+I8x(-)N-1
a「S,“=6xq严———=6x(-r*+-----=------------->0,
二.对任意的〃£M且也.2,都有〃〃>,_],£)正确.
故选:BCD.
12.下列不等关系中正确的()
A.6ln2<IniB.乖dn2>ln3
C.sin3<3sinlcoslD.sin3>3sinlcosl
【解答】解:设f(x)=处,xe(O,e),贝IJr(x)=_L坐>o,
Xx~
则f(x)在(0,e)为增函数,
又0<6<2<C,
则叫㈣,
G2
即2/"6<回2,
即ln?,<后〃2,
即选项5正确,选项A错误;
设函数g(X)=XS,(乙,乃),
x2
则g,(x)=xcos…inx<0,
厂
则g(K)在《㈤单调递减,
又工<2<3<%,
2
m.isin2sin3
贝I」--->----,
23
即3sin2>2sin3,
即3sinlcosl>sin3,
故选项C正确,选项。错误,
故选:BC.
三.填空题(共4小题)
13.曲线y=Y+l在点(-1,0处的切线方程为_3x-y+3=0一
【解答】解:因为y=d+l,所以。=(_1)3+1=0,因此切点为(-1,0),
又y'=3/,所以曲线y=X3+1在点(-1,0)处的切线的斜率k=y'L-=3,
故所求切线方程为:y=3(x-(-l)),即3x-y+3=0
故答案为:3x-y+3=0.
22
14.已知双曲线C:0-多■=1(。>0,。>0)的左、右焦点分别为耳、K,过尸।的直线/与C的
ab'
左、右支分别交于A,3两点.若8耳,85,且的面积为△A片且面积的4倍,则
c的离心率为叵.
一3一
【解答】解:△8耳鸟的面积为44耳心面积的4倍,门84|=4|44|,
设|4月|=x,则|8/"=4x,
由双曲线定义得I4行|-|44|=2a,|BFt|-|BF2\=2a,
/.|AF2\=2a+x9|BF21=4x—2a,
在RtAAB耳中,由勾股定理得|福『=|照『+|AB|2,即(2a+上)2=(4x-2a)2+9d,解得
5
x=a,
6
104
:.\BF^—a,\BF2\=-a,
在放鸟中,由勾股定理得|耳6|2=|BE『+|B7"2,即4c2=3片+他/,解得
99
V29
e=---,
3
故答案为:叵.
3
15.设函数/(幻与g(x)是定义在同一区间团,加上的两个函数,若对任意的h]9
都有17(%)-g(x)|,,l,则称/(幻与g(x)在[〃,句上是“密切函数”,区间上,切称为“密
切区间”.设函数/'(x)=加^与g(x)=2〃z+x,在[Le]上是“密切函数”,则实数m的取值
e
范围是」—1,1—负_.
【解答】解:由题意在上I加-%-2川,,1恒成立,2m-Influx-x2m+1,
e
ii_x1
设〃(x)=/zix-x,则〃(%)=——1=——一,当一<%<1时,h\x)>0,〃(x)递增,
xxe
当Ivxve时,/f(x)<0,〃(外递减,所以跃x)g=fi(1)=-1,
又//(—)=,h(e)=1—e<-1--,
eee
所以〃3〃而=1一《,
所以解得一啜1n一
故答案为:
16.设S.为数列{4}的前〃项和,已知q=工,丝1="+2",则4=_2_,SIM=
2a向4一2"一
【解答】解:由弓=1,"1=2+2",
2an+lan
可得_1=2,"一2=2",
4%+i册
以上〃—1个式子相加可得,—--=2+22+...+2n-'=2(i~2n')=2"-2,
a.,a、1-2
n
%—+..q
2n222〃
两式相减可得,会
_2n2+〃
:=2--------=2------
sT2nT
.s=2-四=2-2
一aio()一乙2,<X)-2"*
故答案为:4=爰;2-^-.
四.解答题(共6小题)
17.已知等差数列{”“}的前〃项和为S,,其中q=17,5,=147;等比数列{包,}的前〃项和
为T.,其中伪=£,〃6=/.
(1)求数列{4},他,}的通公式;
(2)记q,=%+7;,求数列{%}的前"项和Q,,.
【解答】解:(1)设等差数列{%}的公差为d,等比数列{包}的公比为q,
S-j—7%—-147,=21,/.d=—%=4,
4=%+(〃-3)d=17+4(〃-3)=4〃+5;
2
9
717
(2)由(1)知4=2,
...c〃=4〃+5+3一(g)”T=4〃—(g)”T+8,
=4(1+2++〃)-[1+(4)|+(q)〜+,+(q)"]+(8+8++8)
1-(-/
.(1+ri)n3cc21八13
=4-------------------三——F8〃=2〃~+10〃+
2.12
18.已知A(-1,2),以点A为圆心的圆被y轴截得的弦长为2G.
(1)求圆A的方程;
(2)若过点B(l,-2)的直线/与圆A相切,求直线/的方程.
【解答】解:(1)设圆A的半径为r,
以点A为圆心的圆被),轴截得的弦长为26,
所以r=F+(6)2=4,
所以圆A的方程为(x+1)2+(y-=4;
(2)当直线/的斜率不存在时,方程为x=l,经检验与圆A相切,符合题意,
当直线/的斜率存在时,设方程为y+2=&(x-l),即"-y-"2=0,
所以上与上£二曲=2,解得上=_3,
所以切线方程为3x+4y+5=0,
综上所述,直线/的方程为x=l或3x+4y+5=0.
19.已知函数〃x)=x2+
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)若函数g(x)=±+/,(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
x
【解答】解:(1)f\x)=2x+—=2x'+2a,函数/,(X)的定义域为(0,+8).
XX
①当a.O时,.广(x)>0,的单调递增区间为(0,+8);
②当a<0时,f,(x)=2(x+E(x3),
当x变化时,r(x),/(x)的变化情况如下:
X
(o,G)\[—a{y[-a,4-00)
f\x)—0+
fM递减极小值递增
由上表可知,函数/(幻的单调递减区间是(0,&);
单调递增区间是(工工,+oo).
2
(2)由g(x)=—+f+2a/nx,
x
得g'(x)---^-+2x4--,
厂X
由己知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,则在[1,2]上恒成立,
即-4+2x+生,,0在[1,2]上恒成立.即4,工一/在口,2]上恒成立.
XXX
令〃(x)=」—x2,在口,2]上〃(x)=-4—2x=-(二+2幻<0,
XXX
77
所以〃(x)在口,2]上为减函数,h(x)M,=h(2)所以q,—
故实数。的取值范围为{a14,-?}.
20.已知数列{a,,}的前〃项和为S“,,neN*.
(1)求数列仅“}的通项公式;
(2)记勿=-----4-------,7;是数列{"}的前”项和,若对任意的”eN*,Tn>l--,
(«„-D(a„+l-1)n
求实数k的取值范围.
在下面三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
+“
①,=2。“-2;②言+号■+……+才=";③4%的……%=22
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【解答】解:(1)选择①:
由S,=2a,,-2知,当〃..2时,S„_l=2a„_l-2,
两式相减得,an=2an-2a“_1,BPan=24T(n..2),
在S,,=2a“-2中,令〃=1,则4=d=2q-2,所以q=2,
所以数列{a,,}是首项为2,公比为2的等比数列,
故为=2•2"-'=2".
选择②:由幺+/+……+&=〃知,当”..2时,有幺+与+…+芸=〃一1,
2222"222
两式相减得,2="-(〃-1)=1("..2),
在幺+与+……+”=〃中,令〃=1,则幺=1,满足上式,
2222"2
所以娶=l(〃eN*),即a“=2"("eN*).
“2+〃(w-l)2+(n-l)n2-n
22
选择③:由4a2%...4=2知,当儿.2时,有%a2a3..........4T=2=22,
n2+nn2-n
两式相除得,a,t=2----「=2"(〃..2),
在...“〃=22中,令〃=1,则q=2,满足上式,
所以a〃=2〃(〃£N*).
(2)b=______—______=_____________=__!_______]
〃(4一1)(%一1)Q”-D(2D2“-12N+,-l'
所以北=(1-勺+(2)+(;-占+…+(“-t)=1-+,
k
因为对任意的nwN*,Tn>1——,
设/(〃)=»%,
z—I
所以/(n+1)-/(«)=泰占-5七=后;)<0恒成立,即,+1)</("),
所以/(〃)单调递减,
所以/(〃)2=/°)=:,
故实数k的取值范围为(:,+oo).
21.已知点Q(等,弓)在椭圆C:*•+4=l(a>b>0)上,且点Q到曲线C的两焦点的距离
之和为20.
(1)求C的方程;
(2)设圆O:f+y2=±上任意一点P处的切线/交c于点M、N,求cosZMON的值.
3
【解答】解:(1)点。(也,也)在椭圆c:[+£=im>b>o)上,且点。到c的两焦点
22a~h~
的距离之和为20.
2a=203=应
1+A=r••^=1-
144b2
所以椭圆。的方程为:y+/=l;
(2)当直线/的斜率存在时,设方程为:y-kx+tn.设〃(芭,y),N(x2,y2),
直线/与圆O:/+y2=2相切,所以&J==2,即加2=2(1+",
■3VF7FV3
联立,整理可得:(2k2+l)x2+4kmx+2m2-2=0,
[x2+2/=2
4km2m2-2
又因为
2
OM•ON=x}x2+(kx{+m)(kx2+m)=(k+1)$毛+km(x1+/)+nr=伙+D,/"-2)+Tb:+nr=的"-'产=0
2k+12k+12k+1
所以OM_LCW;
所以cosNMON=0;
当直线/的斜率不存在时,根据对称性得M,N的坐标分别为(半净(孚-日),
此时有0M-ON=0,所以cosNMON=0,
综上知co
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