2015高中数学 初高中衔接教程 第六讲 圆练习 新人教版

第六讲圆

一、知识归纳

1、证明四点共圆的方法有：

(1)到一定点的距离相等的点在同一个圆上

(2)同斜边的直角三角形的各顶点共圆

(3)线段同旁张角相等，则四点共圆。

(4)若一个四边形的•组对角再互补，那么它的四个顶点共圆

(5)若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆

(6)四边形ABCD对角线相交于点P,若PA•PC=PB-PD,则它的四个顶点共圆

(7)四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P,若PA•PB=PC•PD,则它

的四个顶点共圆。

2、圆幕定理

二、例题讲解

例1：如图，设AB为圆的直径，过点A在AB的同侧作弦AP、AQ交B处的切线于R、S,

求证：P、Q、S、R同点共圆。

例2：圆内接四边形ABCD,0为AB上一点，以0为圆心的半圆与BC,CD,DA相切，求

证：AD+BC=AB

例3：如图，设A为。0外一点，AB,

AC和00分别切于B,C两点，APQ为。0

的一条割线，过点B作BR〃AQ交。0于点R,

连结CR交A0于点M,试证：A,B,C,0,M五点共圆。

例4：如图，PA切。。于A,割线PBC交00于B,C两点，D为PC中点，且AD延长线

交。0于点E,又BE?=0E-EA,求证：(1)PA=PD；(2)2BD?=ADDE.

例5：如图，PA,PB是。0的两条切线，PEC是•条割线，D是AB与PC的交点，若PE

长为2,CD=1,求DE的长度。

三、课堂练习

1、如图，已知点P在。。外一点，PS,PT是。。的两条切线，过点P作。0的割线PAB,

交。0于A,B两点，并交ST于点C,求证：-=-(—+—)

PC2PAPB

2、如图，A是。。外一点，AB、AC和。0分别切于点B、C,APQ为。0的一条割线，过

B作BR//AQ交。0于R,连CR交AQ于M

试证：A,B,C,0,M五点共圆。

3、设。01、。0八。。3两两外切，M是。0卜的切点，R、S分别是。0卜。。2与。

0：,的切点，连心线。02交。6于P，。。2于Q，求证：P、Q、R、S四点共圆。

第六讲圆

例题讲解答案

例1：证明：连PQ、QB内四边形ABQP内接于圆

，ZQBA=ZRPQ

又•rSB为切线，AB为直径

...NABS=NAQB=90°,故NQBA=/QSB

AZRPQ=ZQSB

••.P、Q、S、R四点共圆

例2：解：在AB上截取BE=BC,连结OC,OD,DE,CE«

.,.ZBEC=-(180°-ZB)

2

VABCD内接于圆,

A180°-ZB=ZADC

/BEC=-ZADC

2

又DA,DC为半圆切线，

二-ZADC=ZAD0=Z0DC

2

/.ZBEC=Z0DC,即C、E、0、D四点共圆。

AZAED=Z0CD=-ZBCD=-(180°-ZA),

/.ZADE=180o-ZA-ZAED=180°-ZA--(180°-ZA)=-(180°-ZA)

22

AZADE=ZAED,

例3：解答:连接OB,OC,BC,则OBLAB,0CLAC,

AA,B,0,C四点共圆,VBR//AQ,

/GBR=/BAQ,而NGBR=NBCR,

；.NBAQ=NBCR,即NBAM=NBCM,C四点共圆，但A,B,C三点确定一个圆,

.♦.A,B,C,0,M五点共圆。

例4：解：（1）连接AB

RFEA

•：BE2=DEEA,•：—

DEBE

VZE=ZF

，ABDE^AABE,，ZDBE=ZBAD

：PA切。0于点A,AZE=ZPAB

，ZDBE+ZE=ZBAD+ZPAB

.\ZPAD=ZBDA,PD=PA

(2)：PA切。0于点A,APA2=PBPC

为PC中点，；.PC=2PD,：PD=PA,

PD2^PB-2PD,.,.DP=2PB,

；.B为PD中点，DC=2BD,:.AD•DE=BD-DC=BD2BD=2BD?

例5：解答：连PO交AB于H,设DE=x,则”2=PE/C=2(X+3),

在Rt^APH中，AP2^AH2+PH2

：.AH2+PH2^2(x+3)①

在Rt^PHD中，PH2+DH2^(x+2)2②

由相交弦定理，知=

而=+。〃)=