2024年黄浦区高考数学二模试卷含答案

2024年黄浦区高考数学二模试卷含答案2024年4月〔完卷时间：120分钟总分值：150分〕一、填空题〔本大题共有12题，总分值54分.其中第1~6题每题总分值4分，第7~12题每题总分值5分〕考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．函数的定义域是．2．假设关于的方程组有无数多组解，那么实数_________．3．假设“〞是“〞的必要不充分条件，那么的最大值为．4．复数，(其中i为虚数单位)，且是实数，那么实数t等于．5．假设函数(a>0,且a≠1)是R上的减函数，那么a的取值范围是．6．设变量满足约束条件那么目标函数的最小值为．7.圆和两点，假设圆上至少存在一点，使得，那么的取值范围是．8.向量，，如果∥，那么的值为．〔第11题图〕9．假设从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，那么以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是〔第11题图〕．10．假设将函数的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，那么的最小值是．11．三棱锥满足：，，，，那么该三棱锥的体积V的取值范围是．12．对于数列，假设存在正整数，对于任意正整数都有成立，那么称数列是以为周期的周期数列．设，对任意正整数n都有 假设数列是以5为周期的周期数列，那么的值可以是．(只要求填写满足条件的一个m值即可)二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分．〕每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分．13．以下函数中，周期为π，且在上为减函数的是 〔〕A．y=sin(2x+ B．y=cos(2x+C．y=sin(x+ D．y=cos(x+14．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的外表积是 〔〕A． B．C． D．15．双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，那么其渐近线方程为 〔〕A． B．C． D．16．如以下列图，，圆与分别相切于点，，点是圆及其内部任意一点，且，那么的取值范围是 〔〕A． B．C． D．三、解答题〔本大题共有5题，总分值76分．〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分．如图，在直棱柱中，，，分别是的中点．〔1〕求证：；〔2〕求与平面所成角的大小及点到平面的距离．18．〔此题总分值14分〕此题共有2小题，第小题总分值6分，第小题总分值8分．在中，角的对边分别为，且成等差数列．〔1〕求角的大小；〔2〕假设，，求的值．19．〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．如果一条信息有n种可能的情形〔各种情形之间互不相容〕，且这些情形发生的概率分别为，那么称〔其中〕为该条信息的信息熵．．〔1〕假设某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中〞的信息熵的大小；〔2〕某次比赛共有n位选手〔分别记为〕参加，假设当时，选手获得冠军的概率为，求“谁获得冠军〞的信息熵关于n的表达式．20．设椭圆M:的左顶点为、中心为，假设椭圆M过点，且．〔1〕求椭圆M的方程；〔2〕假设△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；xy〔3〕过点作两条斜率分别为的直线交椭圆M于两点，且，求证：直线恒过一个定点．xy21．假设函数满足:对于任意正数，都有，且，那么称函数为“L函数〞．〔1〕试判断函数与是否是“L函数〞；〔2〕假设函数为“L函数〞，求实数a的取值范围；〔3〕假设函数为“L函数〞，且，求证：对任意，都有．高三数学参考答案与评分标准一、填空题：〔1~6题每题4分；7~12题每题5分〕1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.〔或，或〕．二、选择题：〔每题5分〕13.A14.D15.C16.B三、解答题：〔共76分〕xyzO17．解：〔1〕以A为坐标原点、AB为x轴、为yxyzO为z轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知，故，…4分由，可知，即．…6分〔2〕设是平面的一个法向量，又，故由解得故．…………9分设与平面所成角为，那么，…………12分所以与平面所成角为，点到平面的距离为．…14分18．解：〔1〕由成等差数列，可得，…2分故，所以，………4分又，所以，故，又由，可知，故，所以．…6分〔另法：利用求解〕〔2〕在△ABC中，由余弦定理得，…8分即，故，又，故，………………10分所以…12分，故．…14分19．解：〔1〕由，可得，解之得.…2分由32种情形等可能，故，……4分所以，答：“谁被选中〞的信息熵为．……6分〔2〕获得冠军的概率为，……………8分当时，，又，故，……11分，以上两式相减，可得，故，答：“谁获得冠军〞的信息熵为．……14分20．解：〔1〕由，可知，又点坐标为故，可得，……………2分因为椭圆M过点，故，可得，所以椭圆M的方程为．……………4分〔2〕AP的方程为，即，由于是椭圆M上的点，故可设，……………6分所以……………8分当，即时，取最大值．故的最大值为．……………10分法二：由图形可知，假设取得最大值，那么椭圆在点处的切线必平行于，且在直线的下方．…………6分设方程为，代入椭圆M方程可得，由，可得，又，故．…………8分所以的最大值．……………10分〔3〕直线方程为，代入，可得，，又故，，………………12分同理可得，，又且，可得且，所以，，，直线的方程为，………………14分令，可得．故直线过定点．………………16分〔法二〕假设垂直于轴，那么，此时与题设矛盾．假设不垂直于轴，可设的方程为，将其代入，可得，可得，………12分又，可得，………………14分故，可得或，又不过点，即，故．所以的方程为，故直线过定点．………………16分21．解：〔1〕对于函数，当时，，又，所以，故是“L函数〞.………………2分对于函数，当时，，故不是“L函数〞.………………4分〔2〕当时，由是“L函数〞，可知，即对一切正数恒成立，又，可得对一切正数恒成立，所以．………………6分由，可得，故，又，故，由对一切正数恒成立，可得，即．………………9分综上可知，a的取值范围是．